空間幾何二面角解題技巧練習(xí)

知識點：二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立體幾何計算與運用中的一個重點和難點.直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，間接法可利用投影、異面直線、空間向量等。常用的方法有以下幾種：方法一（定義法）即從二面角棱上一點在兩個面內(nèi)分別引棱的垂線如圖1。方法二（三垂線法）在二面角的一個面上一點P棱及另一個面分別引垂線PA、PB,連接AB,根據(jù)三垂線定理（或逆定理），NPAB為所求的二面角的平面角.如圖2。方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，則這個垂面與二面角兩個面的交線所夾的角就是二面角的平面角（圖3中DMAN）.方法四（投影面積法）一個平面a上的圖形面積為S,它在另一個平面b上的投影面積為S',這兩個平面的夾角為q,貝IS'=Scosq或cosq=s.S方法五（異面直線法）如圖4中，平面a、b相交成q角，AC、BD分別在a、b上，且與棱垂直.若AC=m,BD=n,CD=d，則有AB2=m2+n2+d2-2mncosq,故cosq=m2+n2+d2-AB? （1）2mn在已知二面角兩個面上兩點間距離（即|AB|）的情況下，可以用此公式來求q.說明：原來的公式中q理解為兩異面直線間的夾角，只取銳角（或直角），故根據(jù)A、B的位置情況公式是AB2=m2+n2+d2±2mncosq.但二面角可以取鈍角，故只需取“-”號得出公式（1）.TOC\o"1-5"\h\z方法六（空間向量法）如圖5,設(shè)n,n,是二面角a-1-P的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，12 ．另一個指向外側(cè)，則二面角a-1-P的平面角a=arccosnin2。. InIInI\o"CurrentDocument"1 2 ? ?二、例題： __例1.在棱長為1的正方體Aq中，⑴求二面角A-B1吁｝的大?。唬?）求平面C1BD與底面ABCD所成二面角C1-BD-C的平面角大小+例2.如果二面角a-1-P的平面角是銳角，點P到a,p,1的距離分別為2\：2,4,4J2，求二面角的大小.（垂面法）。例3.在正方體AC1中，E是BC中點，F(xiàn)在AA1上，且A1F：FA=1：2,求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角.例4.矩形ABCD的兩邊AB=1,AD=.、3，以BD為棱折成二面角，使AC=二.求二面角A-BD-C的大小.C—BP—C11例5.正三棱柱ABC-ABC的所有棱長均為2,P是側(cè)棱AA上任意一點.當(dāng)bcC—BP—C11的大小.例6.如圖，ABI平面BCD,BD±CD，若AB=BC2BD,求二面角B-AC-D的正弦值,例7.如圖，在空間四邊形ABCD中，^BCD是正三角形，^ABD是等腰直角三角形，且/BAD=90，又二面角A-BD-C為直二面角，求二面角A-CD-B的大小.三、課堂練習(xí)題.如圖，ABCD-Ap1c1D1是正方體，E、F分別是AD、DD1的中點，則面EFC^和面BCJ所成二面角的正切值等于(C)PA，底面ABCD,PA=AB,Q是PA，底面ABCD,PA=AB,Q是PC中點.AC,BD交于O點.(I)求二面角Q-BD-C(I)求二面角Q-BD-C的大?。?0°(n)求二面角B—QD—C的大小.60°3.已知平面3.已知平面a，平面瓦交線為AB,CWa,DwP,BD=8．AB=AC=BC=4<3,E為BC的中點，AC，BD,②求證：平面AED②求證：平面AED，平面BCD；①求證：BD，平面a；③求二面角B-AC-D的正切值.

B〃4

tgZBFD= =BF3.如圖，4ABC和4DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD,/ABC=/DBC=120°,求⑴A、D連線和直線BC所成角的大小；(2)二面角A—BD—C的大小90°.n—arctg2..正方形ABCD中，以對角線BD為折線，把AABD折起，使二面角A'-BD-C為60°,求二面角B-A/C-D的余弦值。-17.如圖平面SAC，平面ACB,ASAC是邊長為4的等邊三角形，AACB為直角三角形，/ACB=90°,BC=4^2,求二面角S-AB-C的余弦值。立課后練習(xí)：.三棱柱ABC-A1B1cl中，/BAC=90o,AB=BB1=1,直線B1c與平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。 111 1 1 1A

二面角B-B1C-A的正弦值為36。.已知菱形ABCD邊長為a,且其一條對角線BD=a,沿對角線BD將AABD折起與ABCD所在平面成直面角，點E、F分別是BC、CD的中點。⑴求AC與平面AEF所成的角的余弦值⑵求二面角A-EF-B的正切值。.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90o,AB=a,AD=3a,sin/ADC=g，又PA,平面ABCD,.3PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：a