經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D二重積分的計算

1第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一★復(fù)習定積分的基本計算方法(1)微積分基本公式:(2)定積分的換元公式：(3)定積分的分部積分公式：★復(fù)習定積分的特殊計算方法第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一n

為奇數(shù)★復(fù)習定積分的特殊計算方法n

為偶數(shù)第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一1.二重積分定義:知識回顧2.性質(zhì):線性性，可加性，積分不等式，估值定理，積分中值定理.4.利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化計算二重積分.3幾何意義:第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一(1)oX—型區(qū)域5.區(qū)域D的幾種簡單類型(2)oY－型區(qū)域第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一將D投影到x軸上，若投影區(qū)間為[a,b],用一組平行于y軸且與y軸同方向的直線穿越D，入口線方程為出口線方程為[X－型]區(qū)域D:o對[Y－型]同樣可用平行線穿越法.于是有：平行線穿越法把區(qū)域表示為不等式組的方法是：第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一注意：1.有的區(qū)域可以看成X-型區(qū)域,D:2.若為如圖所示的復(fù)雜區(qū)域D，則可以分割為:o而均為簡單區(qū)域.也可看成Y-型區(qū)域.xoyDcadb如矩形區(qū)域第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分

二、利用極坐標計算二重積分二重積分的計算法

第十章第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一假設(shè)：(1)且在D上連續(xù)，(2)其中：在上連續(xù).oD由二重積分的幾何意義，應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,而一、利用直角坐標計算二重積分第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一oD固定于是得到：則則x對應(yīng)的截面面積是第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一記注意：叫累次積分,也叫二次積分.2.本質(zhì)：化二重積分為二次定積分,先計算內(nèi)積分,后計算外積分.3.注意公式所對應(yīng)的積分區(qū)域的類型.4.若被積函數(shù)可積,上述公式都成立.叫內(nèi)積分；叫外積分.第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一定理1定理2［Y－型］［X－型］第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,

為計算方便,可選擇積分次序,必要時還可以交換積分次序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例1.計算其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的三角形區(qū)域.解:(1)作出區(qū)域D的圖形o12xy(2)定限(平行線穿越法)(3)化為累次積分：(4)計算(先內(nèi)后外)y=xy=1x第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一另解:例1.計算其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的三角形區(qū)域.(1)作出區(qū)域D的圖形(2)定限(平行線穿越法)(3)化為累次積分：(4)計算(先內(nèi)后外)o2xyy=xy=1y12第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一解:例2.求其中D是由拋物線和所圍平面區(qū)域.兩曲線的交點則oxyx第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一另解:［Y－型］oxyy第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一分析:例3.如圖.則xyo11解:y第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例4.計算其中D是由所圍的區(qū)域.解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)－12區(qū)域D的圖形如右陰影部分，解方程組得交點坐標為(1,－1),(4,2),則D：于是第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一則有

若積分區(qū)域D既是X-型又是Y-型，若按X-型(先對y

后對x)區(qū)域計算比較麻煩時，應(yīng)選取Y-型區(qū)域，先對x后對y進行積分.xyox=y+2(4,2)(1,-1)-12第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一求二重積分的步驟:1.作圖求交點(在平面直角坐標系內(nèi)).2.確定積分次序(原則:內(nèi)積分易積,積分區(qū)域簡單);函數(shù)原則，區(qū)域原則.4.計算(先內(nèi)積分后外積分;計算內(nèi)積分時把外積分變量看成常數(shù)).

故應(yīng)掌握交換積分次序,特別是有些累次積分不易積時,應(yīng)考慮交換積分次序.3.定限(定X-型或Y型,把D寫成不等式形式).外限定限方法------投影法內(nèi)限定限方法--平行線穿越法第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例5.改變積分次序D:解:積分區(qū)域如圖:所以原式=1oxy1-1x=1+yx=1-yD注：改變積分次序的一般步驟：(1)由二次積分將區(qū)域D用不等式組表示；(2)由上面不等式組作出D的圖形