2018屆中考數(shù)學復習專題三圓的證明與計算試題含答案

/專題三圓的證明與計算類型一切線的判定判定某直線是圓的切線.首先看是否有圓的半徑過直線與圓的交點.有半徑則證垂直；沒有半徑.則連接圓心與切點.構(gòu)造半徑證垂直．<2016·XX>如圖.⊙O的直徑為AB.點C在圓周上<異于A.B>.AD⊥CD.<1>若BC＝3.AB＝5.求AC的值；<2>若AC是∠DAB的平分線.求證：直線CD是⊙O的切線．[分析]<1>根據(jù)直徑所對的圓周角為直角.利用勾股定理求AC的長；<2>連接OC.利用AC是∠DAB的平分線.證得∠OAC＝∠CAD.再結(jié)合半徑相等.可得OC∥AD.進而結(jié)論得證．1．<2016·六盤水>如圖.在⊙O中.AB為直徑.D.E為圓上兩點.C為圓外一點.且∠E＋∠C＝90°.<1>求證：BC為⊙O的切線；<2>若sinA＝eq\f<3,5>.BC＝6.求⊙O的半徑．2．<2017·XX>如圖.已知⊙O的直徑AB＝12.弦AC＝10.D是eq\o<BC,\s\up8<︵>>的中點.過點D作DE⊥AC.交AC的延長線于點E.<1>求證：DE是⊙O的切線；<2>求AE的長．類型二切線的性質(zhì)已知某條直線是圓的切線.當圓心與切點有線段連接時.直接利用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑；當圓心與切點沒有線段相連時.則作輔助線連接圓心與切點.再利用切線的性質(zhì)解題．<2016·資陽>如圖.在⊙O中.點C是直徑AB延長線上一點.過點C作⊙O的切線.切點為D.連接BD.<1>求證：∠A＝∠BDC；<2>若CM平分∠ACD.且分別交AD.BD于點M.N.當DM＝1時.求MN的長．[分析]<1>連接OD.由切線的性質(zhì)可得∠CDB＋∠ODB＝90°.由AB是直徑.可得∠ADB＝90°.進而可得∠A＋∠ABD＝90°.進而求得∠A＝∠BDC；<2>由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.再根據(jù)勾股定理求得MN的長．3．<2016·XX>如圖.PA.PB是⊙O切線.A.B為切點.點C在PB上.OC∥AP.CD⊥AP于點D.<1>求證：OC＝AD；<2>若∠P＝50°.⊙O的半徑為4.求四邊形AOCD的周長<精確到0.1.參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77.cos50°≈0.64.tan50°≈1.19>．4．<2017·XX>如圖.AB與⊙O相切于點C.OA.OB分別交⊙O于點D.E.eq\o<CD,\s\up8<︵>>＝eq\o<CE,\s\up8<︵>>.<1>求證：OA＝OB；<2>已知AB＝4eq\r<3>.OA＝4.求陰影部分的面積．類型三圓與相似的綜合圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合.一般結(jié)合切線的判定及性質(zhì)綜合考查.求線段長或半徑．一般的解題思路是利用切線的性質(zhì)構(gòu)造角相等.進而構(gòu)造相似三角形.利用相似三角形對應邊成比例求出所求線段或半徑．<2016·XX>如圖.AB是⊙O的直徑.AD是⊙O的弦.點F是DA延長線的一點.AC平分∠FAB交⊙O于點C.過點C作CE⊥DF.垂足為點E.<1>求證：CE是⊙O的切線；<2>若AE＝1.CE＝2.求⊙O的半徑．[分析]<1>連接CO.證得∠OCA＝∠CAE.由平行線的判定得到OC∥FD.再證得OC⊥CE即可；<2>連接BC.由圓周角定理得到∠BCA＝90°.再證得△ABC∽△ACE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得半徑．5．<2017·XX>如圖.已知Rt△ABC.∠C＝90°.D為BC的中點．以AC為直徑的⊙O交AB于點E.<1>求證：DE是⊙O的切線；<2>若AE∶EB＝1∶2.BC＝6.求AE的長．6．<2017·黃岡>如圖.已知MN為⊙O的直徑.ME是⊙O的弦.MD垂直于過點E的直線DE.垂足為點D.且ME平分∠DMN.求證：<1>DE是⊙O的切線；<2>ME2＝MD·MN.7．<2016·XX>如圖.AB是⊙O的直徑.點C在AB的延長線上.CD與⊙O相切于點D.CE⊥AD.交AD的延長線于點E.<1>求證：∠BDC＝∠A；<2>若CE＝4.DE＝2.求AD的長．參考答案[例1]<1>∵AB是⊙O的直徑.點C在⊙O上.∴∠ACB＝90°.∴AC＝eq\r<AB2－BC2>＝4.<2>如圖.連接OC.∵AC平分∠DAB.∴∠OAC＝∠CAD.∵OA＝OC.∴∠OAC＝∠OCA.∴∠OCA＝∠CAD.∴OC∥AD.∵AD⊥CD.∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半徑.∴直線CD是⊙O的切線．[變式訓練]1．<1>證明：∵∠A與∠E所對的弧都是eq\o<BD,\s\up8<︵>>.∴∠A＝∠E.∵∠E＋∠C＝90°.∴∠A＋∠C＝90°.∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC.∵AB是直徑.∴BC為⊙O的切線．<2>解：∵sinA＝eq\f<BC,AC>＝eq\f<3,5>.BC＝6.∴AC＝10.在Rt△ABC中.AB＝eq\r<AC2－BC2>＝8.∴AO＝eq\f<1,2>AB＝4.即⊙O的半徑是4.2．<1>證明：如圖.連接OD.∵D是eq\o<BC,\s\up8<︵>>的中點.∴eq\o<BD,\s\up8<︵>>＝eq\o<DC,\s\up8<︵>>.∴∠BOD＝∠BAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC.∴∠AED＝90°.∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線．<2>解：如圖.過點O作OF⊥AC于點F.∵AC＝10.∴AF＝CF＝eq\f<1,2>AC＝eq\f<1,2>×10＝5.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°.∴四邊形OFED是矩形.∴FE＝OD＝eq\f<1,2>AB＝6.∴AE＝AF＋FE＝5＋6＝11.[例2]<1>如圖.連接OD.∵CD是⊙O的切線.∴∠ODC＝90°.∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直徑.∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD.∴∠OBD＝∠ODB.∴∠A＋∠ODB＝90°.∴∠A＝∠BDC.<2>∵CM平分∠ACD.∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC.∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°.DM＝1.∴DN＝DM＝1.∴MN＝eq\r<DM2＋DN2>＝eq\r<2>.[變式訓練]3．<1>證明：∵PA是⊙O的切線.A為切點.∴OA⊥PA.即∠OAD＝90°.∵OC∥AP.∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°.∵CD⊥PA.∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°.∴四邊形AOCD是矩形.∴OC＝AD.<2>解：∵PB切⊙O于點B.∴∠OBP＝90°.∵OC∥AP.∴∠BCO＝∠P＝50°.在Rt△OBC中.sin∠BCO＝eq\f<OB,OC>.OB＝4.∴OC＝eq\f<4,sin50°>≈5.22.∴矩形OADC的周長為2<OA＋OC>＝2×<4＋5.22>≈18.4.4．<1>證明：如圖.連接OC.∵AB與⊙O相切于點C.∴∠ACO＝90°.∵eq\o<CD,\s\up8<︵>>＝eq\o<CE,\s\up8<︵>>.∴∠AOC＝∠BOC.∴∠A＝∠B.∴OA＝OB.<2>解：由<1>可知△OAB是等腰三角形.∴BC＝eq\f<1,2>AB＝2eq\r<3>.∴sin∠COB＝eq\f<BC,OB>＝eq\f<\r<3>,2>.∴∠COB＝60°.∴∠B＝30°.∴OC＝eq\f<1,2>OB＝2.∴S扇形OCE＝eq\f<60π×4,360>＝eq\f<2π,3>.S△OCB＝eq\f<1,2>×2eq\r<3>×2＝2eq\r<3>.∴S陰影＝S△OCB－S扇形OCE＝2eq\r<3>－eq\f<2π,3>.[例3]<1>如圖.連接CO.∵OA＝OC.∴∠OCA＝∠OAC.∵AC平分∠FAB.∴∠OAC＝∠FAC.∴∠OCA＝∠FAC.∴OC∥FD.∵CE⊥FD.∴CE⊥OC.∵OC是⊙O的半徑.∴CE是⊙O的切線．<2>如圖.連接BC.在Rt△ACE中.AC＝eq\r<AE2＋EC2>＝eq\r<5>.∵AB是⊙O的直徑.∴∠BCA＝90°.∴∠BCA＝∠CEA.∵∠CAE＝∠BAC.∴△ACE∽△ABC.∴eq\f<CA,AB>＝eq\f<AE,AC>.即eq\f<\r<5>,AB>＝eq\f<1,\r<5>>.∴AB＝5.∴AO＝eq\f<1,2>AB＝2.5即⊙O的半徑是2.5.[變式訓練]5．<1>證明：如圖.連接OE.CE.∵AC是⊙O的直徑.∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∵D是BC的中點.∴ED＝eq\f<1,2>BC＝DC.∴∠1＝∠2.∵OE＝OC.∴∠3＝∠4.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.即∠OED＝∠ACD.∵∠ACD＝90°.∴∠OED＝90°.即OE⊥DE.又∵E是⊙O上一點.∴DE是⊙O的切線．<2>解：由<1>知∠BEC＝90°.在Rt△BEC與Rt△BCA中.∠B為公共角.∴△BEC∽△BCA.∴eq\f<BE,BC>＝eq\f<BC,BA>.即BC2＝BE·BA.∵AE∶EB＝1∶2.設(shè)AE＝x.則BE＝2x.BA＝3x.又∵BC＝6.∴62＝2x·3x.∴x＝eq\r<6>.即AE＝eq\r<6>.6．證明：<1>∵ME平分∠DMN.∴∠OME＝∠DME.∵OM＝OE.∴∠OME＝∠OEM.∴∠DME＝∠OEM.∴OE∥DM.∵DM⊥DE.∴OE⊥DE.∵OE是⊙O的半徑.∴DE是⊙O的切線．<2>如圖.連接EN.∵DM⊥DE.MN為⊙O的直徑.∴∠MDE＝∠MEN＝90°.∵∠NME＝∠DME.∴△MDE∽△MEN.∴eq\f<ME,MD>＝eq\f<MN,ME>.∴ME2＝MD·MN.7．<1>證明：如圖.連接OD.∵CD是⊙O的切線.∴∠ODC＝90°.即∠