第2課正弦定理二

第2課正弦定理（二）一、教學(xué)目標(biāo)。1．能靈活運用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理和三角形的面積公式解決實際問題。2.理解擴(kuò)充的正弦定理，即理解比值—=—=—的幾何意義。sinAsinBsinC3．能運用正弦定理及其變形進(jìn)行簡單的三角恒等變換。（注：根據(jù)課標(biāo)的要求，不必在恒等變形上進(jìn)行過于頻繁的訓(xùn)練）二、教學(xué)重點。運用正弦定理及其變形解三角形三、教學(xué)難點。比值q= =工=2R的幾何意義sinAsinBsinC四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境上述課我們學(xué)習(xí)了正弦定理及三角形的面積公式，請同學(xué)們回顧上述內(nèi)容。啟發(fā)學(xué)生回答，在口ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對邊的邊長，S為口ABC的面積，則有S=LabsinC=LbcsinA=O-acsinB，2 2 2abcsinAsinBsinC在三角形中，各邊與它所對角的正弦的比值相等（即為一個常數(shù)），這個結(jié)論叫三角形的正弦定理。引導(dǎo)學(xué)生思考下列問題。問題1在直角三角形中，正弦定理表明：一邊的長同它所對的角的正弦值之比是一個常數(shù)，那么這個常數(shù)的幾何意義是什么呢？啟發(fā)學(xué)生分析：。=1，由正弦定理得在R,ABC中，當(dāng)/C=90。時，如圖8-8，sinC=sin90。=1，由正弦定理得 = = = =csinAsinBsinC sin90。由此看出，這個常數(shù)是Rt口ABC斜邊的長，而直角三

角形外接圓的直徑為斜邊，所以這個常數(shù)為Rt口ABC外接圓的直徑。問題2對于一般的三角形，這個常數(shù)的幾何意義又是什么呢？圖8-8這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的擴(kuò)充的正弦定理。（二）探究新知設(shè)口ABC為銳角三角形，圓O為口ABC的外接圓，R為圓O的半徑，過B作圓O的直徑B。，如圖8-9。啟發(fā)學(xué)生分析下列問題：圖8-9①ZD與ZA有什么關(guān)系，為什么？圖8-9由學(xué)生得出：ZD=ZA，在同圓中同弧所對的圓周角相等。②ZBCD多大，為什么？由學(xué)生得出：ZBCD=90。，半圓弧上的圓周角為直角。③你能用圓O的半徑R和角A表示圖中BC邊的邊長a嗎?啟發(fā)學(xué)生得出：在R\ABC中，因為ZBCD=90。，BD=2R，ZD=ZA，故a=BC=BDsinD=2RsinA。即-a-=2RsinA因此a_b

sina_b

sinAsinBcsinC這個結(jié)果稱為擴(kuò)充的正弦定理，并且解釋了二=—L=上的幾何意sinAsinBsinC義，這個常數(shù)實際上個ABC的外接圓的直徑。如果口ABC為鈍角三角形，這個結(jié)論也成立，留給學(xué)生課外去證明。由二=-b-=工=2R，可得到正弦定理的那些變形呢？sinAsinBsinC引導(dǎo)學(xué)生得出：a-2RsinA；b-2RsinB；c—2RsinC；a:b:c-sinA:sinB:sinC（三）應(yīng)用舉例例1（教材P.7例4）在口ABC中，已知它的外接圓半徑為R—1，a—1，

ZB=20。，求b及1ABC的面積S。分析：①本題有兩解，先讓學(xué)生用作圖方法看出滿足已知條件的三角形確實有兩個，也可以列式進(jìn)行判斷。因為ZB=20。為銳角，a=1,b=2R^in20。x0.68，ajin20。=1叫20。=0.34，所以有a口sin20。<b<a，故滿足已知條件的三角形有兩個。②題中告訴了這個三角形外接圓的半徑R的長度，因此利用擴(kuò)充的正弦定理來計算較方便。解：由擴(kuò)充的正弦定理，得b=2RsinB=2sin20ox0.68，sinA=—=-，2R 2可得ZA=30?；?50。（1）當(dāng)ZA=30o時，ZC=130。，S=2abinCsin令0siif1x30 0.26（2）當(dāng)/A=150。時，ZC=10o，S=2abinCsin si。!或00.06所以，^EABC中，b=0.68，面積S=0.26或0.06。例2（教材P.8例5）設(shè)R是口ABC的外接圓的半徑，S是口ABC的面積，求證：（1）S二也；4R（2）S=2R2叫1竺inline分析：因為在等式中已知口ABC的外接圓半徑R和面積S。因此證明時用擴(kuò)充的正弦定理和三角形的面積公式來證較為簡便。證明：（1）所以(2)證明：（1）所以(2)由擴(kuò)充的正弦定理，得sinC=-，2R1cabcS=—absinC=—ab^——= 。2 口2尺 4R由a=2RsinA，b=2RsinB，得S=LabsinC=—2Rsin22A2RsinB》nC=2R2sinA^inB^inC例3在口ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C所對的邊長，且有2B=A+C，2b=a+c，試判斷口ABC的形狀。分析：由2B=A+C，A+B+C=180。，可以得到ZB=60。，因此運用擴(kuò)充的正弦定理把2b=a+c轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來解答較簡便。

解：2B=A+C,A+B+C=180°,/.ZB=60。又2b=a+c,b=2RsinB,a=2RsinA,c=2RsinC,/2sinB=sinA+sinCsinA+sCn=12s。拄60，而ZC=120?！猌AsinAsinA+sinC-sinA+sin(120°—A)-sinA+ -cosA+—sinA—<32< 2<且sinA+1cosA-13sin且sinA+1cosA-1由正弦的和角公式，得sin(A+30°)—1。0。<A+30。<180°/A+30。=90。,/.ZA=60。。/ZA-ZB-ZC-60。a2—ba2—b2 sin(A—B)c2sinC例4在口ABC中，角A,B,C的對邊分別a,b,c,求證:證明：設(shè)口ABC的外接圓半徑為R,則由擴(kuò)充的正弦定理得a2—b2 (2RsinA)2—(2RsinB)2 sin2A—sin2Bc2 (2RsinC)2 sin2C_(siA+sBn)(A—inBsin)siqsCnTOC\o"1-5"\h\zA+B A— B A+ B A— B2si^ 「c-o-s—「 2c0s———s4n= 2口2 口2 口 2siC.siMA-(B~~)1sin4+B「)siA—(B)AinB )--。siCusiA*B) Cin故原等式成立。點評：:ABC的正弦定理點評：:ABC的正弦定理sinAsinBsinC=2R有許多變式，即a=黑，sinA a a ba=b，sinA——sinB及a-2RsinA，b—2RsinB，sinA———，sinB———sinB b 2R 2R在口ABC中，a在口ABC中，a求角A的度數(shù)。解：b=2a，2RsinB=7?sinA,XB=A+60o,等，證題時應(yīng)靈活應(yīng)用。（四）課堂練習(xí)1.教材P.8練習(xí)3.42．補(bǔ)充練習(xí)。b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若b=2a,B=A+60。,60=) 2Asinin os600+cosA/in600=2sinA,-sinA+苴cosA=2sinA,3sinA=旦osA,「.tanA=亙,2 2 2 2 30o<A<180,o；.zA=30o（五）課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生歸納下列內(nèi)容：1．三角形的面積定理（即面積公式）222S=LabsinC=b-bcsinA=a-acsinB2222．正弦定理及其變形absinabsinAsinB丘=2R，（R為夕卜接圓半徑）a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC；a:b:c=sinA:sinB:sinC3．；利用正弦定理，可以解決哪兩類三角形的問題？啟發(fā)學(xué)生回答：可以解決下面兩類三角形的問題。（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他角。五、思考與拓展當(dāng)口ABC為鈍角三角形時，證明2=-b-=二=2R（R為三角形外接sinAsinBsinC圓的半徑）六、課外作業(yè)1.教材P.9習(xí)題8.14,5題2.補(bǔ)充題（1）在口ABC中，已知a=1,b=<3,ZA=30。，求（A,/B和ZC。TOC\o"1-5"\h\z（答案：-L-二_b_,sinB二史,b>a,:.ZB=60?；?20。，ZC=90。sinAsinB 2或30。，故c=2或1)（2）在［ABC中，已知AB=3,AC=1, AZBAC=60。，AD是ZBAC的平分