高數(shù)課程下冊第十章104冪級數(shù)

第四節(jié)冪級數(shù)函數(shù)項級數(shù)的概念冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)的運算冪級數(shù)求和小結(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.定義:2.收斂點與收斂域:函數(shù)項級數(shù)的部分和余項(x在收斂域上)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù))(xs,稱)(xs為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)例如,

等比級數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明如果級數(shù)?￥=0nnnxa在)0(001=xxx處收斂,則它在滿足不等式0xx<的一切x處絕對收斂;如果級數(shù)?￥=0nnnxa在0xx=處發(fā)散,則它在滿足不等式0xx>的一切x處發(fā)散.由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?冪級數(shù)的收斂域可能為:稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.證明由比值審斂法,定理證畢.例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為解由達朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;練習三、冪級數(shù)的運算1.代數(shù)運算性質(zhì):(1)加減法(其中(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)注:(2)(3)中收斂半徑不變,但收斂域可能改變,具體要討論區(qū)間端點的收斂性.四、冪級數(shù)的和函數(shù)解：通過簡單計算可得，級數(shù)的收斂半徑為R=1，原級數(shù)的收斂域為：問題：求常數(shù)項級數(shù)的和轉(zhuǎn)化相應冪級數(shù)的求和問題.兩邊積分得熟練后，簡潔的求和步驟為：簡潔的求和步驟為：練習:解：練習:解：簡潔步驟為解解收斂區(qū)間(-1,1),常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)冪級數(shù)代數(shù)變形逐項積分逐項求導幾何級數(shù)求和和函數(shù)求導或積分冪級數(shù)和函數(shù)幾何級數(shù)等可直接計算的級數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)注意：寫清和函數(shù)的定義域（原級數(shù)的收斂域）常用求和函數(shù)的方法:(重點)常用求和函數(shù)的方法：(重點)練習1、分析級數(shù)的收斂域,并求和函數(shù).四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R，收斂域3.冪級數(shù)的運算:分析運算性質(zhì)1.函數(shù)項級數(shù)的概念:4.求冪級數(shù)的和函數(shù):1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.2)在收斂區(qū)域內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導和求積分.思考題

冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是作業(yè)P2531、(2)(4)(6)(7)2、偶數(shù)3、練習.求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,收斂,收