2020-2021河南省洛陽市某校高一（上）期中考試數(shù)學試卷

2020-2021河南省洛陽市某校高一(上)期中考試數(shù)學試卷

一、選擇題

1.設(shè)集合4={a,l},B={2,3,4),4nB={2},則4UB=()

A.{2,3,4}B.{3}C.{1,2,3,4}D.{2,4}

2.函數(shù)/(x)=^^+log2X的定義域是()

A.(0,+oo)B.[-l,+oo)

C.(-l,0)U(0,+oo)D.(-l,+oo)

3.下列函數(shù)中，/(x)與g(x)是相等函數(shù)的為()

A./(x)=x,g(x)=|x|

B./(x)—|x|,g(x)=

C./(x)=(Vx)2,g(x)=濘

logaX

D./(x)=x,g(x)=a(a>0且QH1)

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A/(x)=2㈤B./(x)=點

C./(x)=ln(Vl+x2—x)D,/(x)=ex-e~x

5.若x>l,a=x3,b=(J,c=logix,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

6.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(xy)=/(x)+/(y),且/'(4)=8,則f(⑨=()

A.V2B.2C.4D.6

7.已知函數(shù)/(乃=/+2團-3,則的值域為()

A.[—4,4-00)B.[—3,+8)C.[0;+8)D.[0,4]

8.已知函數(shù)f(x)與g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/(x)-g(x)=e。則

/■⑴=()

9.函數(shù)/'(%)=#，g(x)=logax(a>0,且a。1)在同一直角坐標系中的部分圖象

可能是()

10.函數(shù)/(x)=log2x+x+1的零點所在的區(qū)間是()

B?(浦c-(H)嗚1)

11.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(%)=-"％+1),當OWxW：時，/(%)=

則下列結(jié)論錯誤的是()

A.方程f(x)-x+a=0最多有四個解

B.函數(shù)/⑺的值域為卜當，同

C.函數(shù)/'(X)的圖象關(guān)于直線x=:對稱

D./(2020)=0

12.已知函數(shù)/(x)=Ij3°'若存在互不相等的實數(shù)a,b,c,d滿足|f(a)|=

l/WI=l/(c)|=|/(d)|,則a+b+c+d的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.(-2,+oo)c.(2,"D.(0,同

二、填空題

函數(shù)y=loga(2x-l)+2(a>0,且aHl)的圖象恒過定點的坐標為.

若/(2%-1)=X2+3工，貝廳⑶=.

試卷第2頁，總19頁

若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x之0時，f(x)=G)*—2x+m(m為常數(shù))，則當

x<0時，/(%)=___.

有以下結(jié)論：

①將函數(shù)y=e團的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)=e因t的圖象；

②函數(shù)/(x)=蜻與g(x)=Inx的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

③對于函數(shù)/(%)=a?a>0,且。,1),一定有/(空)式色學應(yīng)；

2

④函數(shù)f(x)=log2(x-x+2)的圖象恒在x軸上方.

其中正確結(jié)論的序號為.

三、解答題

已知全集〃=氏集合4={x|拉2y8},8={亦<6一2或刀>771+2}.

(1)若AnQB={%|0WxW3},求實數(shù)小的值；

(2)若4UB=B,求實數(shù)m的取值范圍.

求下列各式的值.

⑴8。25XV2+J(-|)5x(/+2x3-1；

(2)J(lg2)2+lg吊+4-lgV2-log100125.

已知函數(shù)/(x)=a-島為奇函數(shù).

(1)求實數(shù)a的值；

(2)判斷函數(shù)/■(》)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

(3)解不等式f(Inx)>0.

已知函數(shù)/'(x)=X2—2(a—l)x+a2—2.

(1)若f(x)存在一正，一負兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(x)在區(qū)間(—8,2］上是減函數(shù)，求f(x)在［La］上的最大值.

某工廠可以生產(chǎn)甲、乙兩類產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為月，力百萬元，

根據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，年利潤與前期投入資金百萬元的關(guān)系分別為%=mV7T4+a.

y2=bx,(其中m,a,b都為常數(shù))，函數(shù)yi,y2的圖象分別是如，C2,如圖所示，

曲線C1，C2均過點(5,1)

(2)若該工廠用于投資生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品共有5百萬元資金，問：如何分配資金能使一年

的總利潤最大，最大總利潤是多少萬元？

因函數(shù)y=x+：(t>0)的圖象形狀象對勾，我們稱形如“y=x+：(t>0)''的函數(shù)為

“對勾函數(shù)”，該函數(shù)具有性質(zhì)：在(0,"]上是減函數(shù)，在(VF,+8)上是增函數(shù).

⑴已知/(乃=2%+3-5,xe[l,3],利用上述性質(zhì)，求函數(shù)”支)的單調(diào)區(qū)間和值

ZX—1

域；

(2)對于(1)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=x2-mx+4,若對任意與e[1,3],總存在亞e

[1,3],使得9(X2)</(尤1)成立，求實數(shù)血的取值范圍.

試卷第4頁，總19頁

參考答案與試題解析

2020-2021河南省洛陽市某校高一(上)期中考試數(shù)學試卷

一、選擇題

1.

【答案】

c

【考點】

并集及其運算

交集及其運算

【解析】

由集合A={l,a},B={2,3,4},ACB={3},求出a的值，由此能求出AUB的值.

【解答】

解:「集合4={a,1),B={2,3,4},4nB={2},

/.a=2,

：.AUB={1,2,3,4}.

故選c.

2.

【答案】

A

【考點】

函數(shù)的定義域及其求法

【解析】

本題考查函數(shù)定義域問題，通過定義域中偶次更號下的數(shù)大于零，分母不為零，對數(shù)

函數(shù)真數(shù)大于零的要求進行求解即可

【解答】

解：由題意蹴：Q>0,

解得x>0,

所以函數(shù)/'(尤)=-=+10g2X的定義域是(0,+8).

故選4

3.

【答案】

B

【考點】

判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)

【解析】

本體主要通過函數(shù)三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)即可

【解答】

解f(x)的值域為R,g(x)的值域為@+8),兩個函數(shù)值域不同，所以f(x)與g(x)

不是相等函數(shù)，故力錯誤；

B,兩個函數(shù)的定義域都是R,值域都是［0,+8),以及對應(yīng)關(guān)系都一樣，所以/(x)與

g(x)是相等函數(shù)，故B正確；

c,/(X)的定義域為［0,+8),貝尤)的定義域為R,兩個函數(shù)定義域不同，所以/(x)與

9。)不是相等函數(shù)，故c錯誤；

D,f(x)的定義域為R,g(x)=aiogaX=%定義域為(0,+8),兩個函數(shù)定義域不同,

所以f(x)與g(x)不是相等函數(shù)，所以。錯誤.

故選B.

4.

【答案】

D

【考點】

奇偶性與單調(diào)性的綜合

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】

本題通過奇函數(shù)的定義以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可

【解答】

解：4/(-x)=21Tl=2團=f^x),f(x)為偶函數(shù)，故4錯誤；

B,式一功=品=-專=一詢，

/'(X)為奇函數(shù)，

由鬲函數(shù)的性質(zhì)知，此函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

C,f(-x)=ln(Vl+x2+x)=In

=-ln(Vl+x2-x)=-/(%),所以/'(x)為奇函數(shù)，

令t=+/一4=無點彳在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)，

而y=Int為增函數(shù)，

故f(x)=ln(Vl+4-x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,故C錯誤；

D,f(-%)=e~x-ex=-/(x),為奇函數(shù),

/(X)=靖一e-x在(0,+8)上單調(diào)遞增，故。正確.

故選。.

5.

【答案】

C

【考點】

指數(shù)式、對數(shù)式的綜合比較

【解析】

利用備函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得解.

【解答】

解：由題設(shè)x>1,

得a=x3>1,

0Vb=G)”<1,

試卷第6頁，總19頁

c=logix<0,

2

所以c<b<a.

故選C.

6.

【答案】

B

【考點】

函數(shù)的求值

【解析】

由題設(shè)得令X=y=2,解得:/(2)=4,利用X=y=或可得解.

【解答】

解:由題設(shè)x,yeR,/(xy)=f(x)+/(y),

8=/(4)=f(2X2)=f(2)+/(2)=2/(2),

解得：/(2)=4,

所以4=f(2)=/(V2xV2)=/(V2)+/(V2)=2/(V2),

解得：/(V2)=2.

故選&

7.

【答案】

B

【考點】

函數(shù)的值域及其求法

【解析】

根據(jù)絕對值的意義，分x20、x<0兩種情況去掉絕對值，即可得到函數(shù)/(x)分段函

數(shù)形式的解析式；

【解答】

解：:當xNO時，f(x)=x2+2x—3,

對稱軸為直線》=-1,函數(shù)f。)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

/(0)=-3,/(%)>-3；

當x<0時，/(x)=x2-2%-3,

對稱軸為直線X=1,函數(shù)/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

/(0)=-3,/(%)>-3,

綜上，函數(shù)的值域為：［-3,+8).

故選B.

8.

【答案】

B

【考點】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)的求值

【解析】

將/(x)+g(x)=靖中的x換成—%.可得/(一%)+g(—x)=e-x,然后利用奇偶性可得

八為=胃二，從而可解出〃1).

【解答】

解：因為/'(x)-g(x)=〃，①

所以/'(r)-g(r)=e~x,

因為fO)是奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，

所以/(一%)=-/■(%),g(-%)=g(x),

所以-f(x)-g(x)=e~x,②

由①②可得f(x)=《A，

故選B.

9.

【答案】

A

【考點】

對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

幕函數(shù)的圖像

【解析】

結(jié)合對數(shù)函數(shù)和募函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當0<a<1時和當a>1時兩種情況，討論

函數(shù)/'(x)=20),g(x)=loga光的圖象，比照后可得答案.

【解答】

解：當o<a<l時，函數(shù)/"(x)=xa,g(X)=10gaX的圖象為：

此時選項4滿足要求；

當a>l時，函數(shù)/'(x)=%a,g(x)=logaX的圖象為：

無滿足要求的答案.

故選4

10.

試卷第8頁，總19頁

【答案】

C

【考點】

函數(shù)零點的判定定理

【解析】

連續(xù)函數(shù)/'(%)=10g2%+x+l在(0,+8)上單調(diào)遞增，推出/G)<0,/(》>0,根據(jù)

函數(shù)的零點的判定定理可求.

【解答】

解:,:連續(xù)函數(shù)/'(x)=log2%+x+1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

/(|)=10g2|+1+1<Iog2^+|+1=-i<0,

/(；)=log2;+;+l=-2+J=-^<0,

11114

/(.)=唾2弓+弓+1=1%/弓

=log2GX25)=log2乎<log2詈=°，

/(1)=log2|+|+l=1>0,

/(I)=0+1+1=2>0,

f(x)=log2x+X+1的零點所在的區(qū)間為Gj).

故選c.

II.

【答案】

A

【考點】

函數(shù)的值域及其求法

函數(shù)的周期性

函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

函數(shù)的對稱性

【解析】

由已知可分析出函數(shù)的對稱軸以及周期，值域，進而可以判斷B,C,。是否正確，而

選項4需將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題進行求解即可.

【解答】

解：由/⑶=-r(x+1)可得：&+i)=-/(%+2),

則/(X)=/'(%+2),所以函數(shù)八X)的周期為2.

所以/(2020)=/(0)=0,故。正確；

因為/(%)=-f(.x+1),/(%)=一/'(一%),

所以/(一x)=/(%+1),

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線％對稱，故C正確；

當0W尤若時，當x)=&e[0,爭,

又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)的值域為卜￥，￥],故B正確；

由圖可得y=f(x)與y=X-a最多有3個交點，

所以方程/(%)-久+a=0至多有3個解，故A錯誤.

故選4.

12.

【答案】

D

【考點】

分段函數(shù)的應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】

由題意如圖所示，要使足如a)|=|f(b)|=|/(c)|=|f(d)|,可得a與川c與d的關(guān)系,

進而可得。+8+?+4的表達式，再由c的范圍由函數(shù)的單調(diào)性可得其范圍.

【解答】

解：令lf(a)l=I/WI=lf(c)|=|/(d)|=k.

?€(0,1],

設(shè)a<b<c<d,

如圖所示：a+b=-2,Ige=-Igd,可得cd=1,且1<d<10,

試卷第10頁，總19頁

令g(d)=-2+5+山則g(d)在(1,10］上單調(diào)遞增，

所以g(d)6(0,鬻

即a+b+c+d的取值范圍為(0,舞.

故選。,

二、填空題

【答案】

。2)

【考點】

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】

令真數(shù)*-1=1,求出x的值和此時y的值，即可得到函數(shù)的圖象過的定點坐標.

【解答】

解：令差一1=1得：x=1,

此時

y=logal+2=0+2=2,

所以函數(shù)的圖象恒過定點(1,2).

故答案為：Q2).

【答案】

13

【考點】

函數(shù)的求值

【解析】

令2%-1=3,可得x=2,將x=2代入/(2%-1)=%2+3'即可得到答案.

【解答】

解：令2%-1=3,

可得x=2,

/(3)=22+32=4+9=13.

故答案為：13.

【答案】

-2X-2x+1

【考點】

函數(shù)的求值

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)解析式的求解及常用方法

【解析】

由題意f(0)=0解得m=-1,當x<0時，-x>0,則/(x)==-+

2x-l]=-2x-2x+l.

【解答】

解：因為/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

當x20時，/(x)=G)x-2x+m(m為常數(shù))，

所以/(0)=C)+m=l+m=0,

解得TH=-1,

當x<0時，一%>0,

則/(%)=-/(-%)=一[(J+2%-1]

=—2X—2x+l.

故答案為：一2乂-2%+1.

【答案】

②③④

【考點】

函數(shù)的圖象與圖象變化

函數(shù)的圖象

反函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】

①根據(jù)圖象的平移規(guī)律，直接判斷選項；

②根據(jù)指對函數(shù)的對稱性，直接判斷；

③根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特點，判斷選項；

④先求/-x+2的范圍，再和0比較大小

【解答】

解：①根據(jù)平移規(guī)律可知y=e因的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)=elx-il的圖象，故①

不正確；

②函數(shù)f(x)=峭與g(x)=Inx互為反函數(shù)，

函數(shù)/(%)=/與g(x)=Inx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，故②正確；

③如圖，

試卷第12頁，總19頁

設(shè)a>1,/■(空)對應(yīng)的是曲線上橫坐標為弩的點C的縱坐標,

電芋應(yīng)是線段48的中點。的縱坐標，

由圖象可知/(弩)《小亭心),

同理，當0<a<l時，結(jié)論一樣，故③正確；

2

④%2—%+2=(x—工)4-->->1,

\2/44

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知10g2(/-X+2)>log2l=0,

2

所以函數(shù)/(x)=log2(x-x+2)的圖象恒在x軸上方，故④正確.

故答案為：②③④.

三、解答題

【答案】

解：(1)由已知得A={x|-l<%<3],

C(jB={x\m-2<%<m4-2},

??,AfyCuB=(x\0<x<3},

...『二父?‘即

(m+2>3,(.m>1,

m=2.

(2)VA\JB=B,

：.AQB.

m-2>3或m+2<—1,

/.m>5或zn<—3.

即實數(shù)小的取值范圍為{mlm>5或巾<-3).

【考點】

交、并、補集的混合運算

集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

補集及其運算

指、對數(shù)不等式的解法

集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)由已知得4={%|-1<%<3},

CuB={x\m-2<%<m+2},

VnCyB={x|0<x<3},

.(m-2=0,0(m=2,

一(m+2>3,R|(m>1,

m=2.

(2)VAUB=B,

JAQB.

m-2>3或m4-2<—1,

m>5或?n<—3.

即實數(shù)小的取值范圍為>5或m<-3}.

【答案】

解：⑴原式=⑵"x2?+(|)5x(丁+|

=2+-+-=-.

333

(2)原式=V(lg2)2-41g2+4-1lg2-|lg5

13

=2-lg2--lg2--lg5

=2--3lg2--3lg5=2--3=i1.

2b2622

【考點】

有理數(shù)指數(shù)幕的化簡求值

根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化及其化簡運算

對數(shù)的運算性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)原式=(23%X2；+(丁xg)5+1

(2)原式=J(lg2)2-41g2+4-jlg2-|lg5

13

=2-lg2--lg2--lg5

=2--lg2--lg5=2--=i.

2b2b22

【答案】

解：(1)：峭+1力0的解集是艮

???f(x)的定義域是R.

又；"》)是奇函數(shù)，

二/(0)=0,/./(0)=cz—l=0,即a=1.

經(jīng)檢驗知，當a=1時，/(-x)=-/(X),符合題意.

試卷第14頁，總19頁

(2)/(%)在R上是增函數(shù).

證明：由⑴知/(%)=1一島,

經(jīng)判斷可知f(x)在R上是增函數(shù).

任取與，%2eR,且<x2,

貝好(右)一/熾2)=1—焉一1+品

2(〃1一。》2)

一(e%】+l)(e、2+i)'

X1X2

*.*y=e”為增函數(shù)，x-i<%2.**-0<e<e,

：.eX1+1>0,e%2+i>oeX1-eX2<0,

???fM-f(X2)<0,即f(%i)Vf(%2)，

???f(%)在R上是增函數(shù).

(3)由f(%)=1—2，

可得/(lnx)=l-嬴=12_￡-1

x+1-X+l'

x>0,

解得X>1,

原不等式的解集為(1,+8).

【考點】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

其他不等式的解法

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：⑴；婚+lH0的解集是R,

???/(X)的定義域是R.

又?:"%)是奇函數(shù)，

/(0)=0,，/(0)=a—1=0,即a=1.

經(jīng)檢驗知,當a=1時,/(-x)=-/(%),符合題意.

(2)/(%)在R上是增函數(shù).

證明：由⑴知/。)=1一島,

經(jīng)判斷可知/G)在R上是增函數(shù).

任取與，%2eR,且<x2,

貝療-)一/(孫)=1一磊一1+品

2(e*i_e*z)

一(e*i+i)(e、z+i)'

y=e*為增函數(shù)，Xi<x2,0<eA<eXz,

/.eX1+1>0,eX2+1>0,eX1-eXz<0,

???f(Xi)-f(x2)<0,EP/(X1)</(X2),

???f(x)在R上是增函數(shù).

(3)由f(x)=l一島,

可得/Qnx)=1—；-|-=1---=

‘'elnx+ix+ix+1

.(―>0,

..U+1,

lx>0,

解得x>1,

A原不等式的解集為(1,+8).

【答案】

解：(1)若存在一正、一負兩個零點，

則a?-2<0,

解得一夜<a<V2.

a的取值范圍為(一夜,企).

(2)若f(x)在區(qū)間(-8,2］上是減函數(shù)，

則函數(shù)圖象的對稱軸x=a-l>2,解得a>3,

當xe［l,a-1］時,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當xe［a—l,a］時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

且/(I)=a?-2a+1,f(a)=2(a-1),

；?/(I)-/(a)=(a2-2a+1)-2(a-1)

=a2-4a+3=(a-2)2-1.

*/a>3,，/(I)-/(a)>0.

故/(x)在［l,a］上的最大值為a?-2a+1.

【考點】

根與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)若存在一正、一負兩個零點，

則a?-2<0,

解得—<a<V2.

???a的取值范圍為(一企,夜).

(2)若/(x)在區(qū)間(-8,2］上是減函數(shù)，

則函數(shù)圖象的對稱軸x=a-l>2,解得a>3,

當時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

當xe［a-l,a］時,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

且/⑴=a2-2a+1,/(a)=2(a-1),

f(1)—f(a)=(a?—2a+1)—2(a—1)

=a2—4a+3=(a—2)2—1.

a>3,：./(I)-/(a)>0.

故/(x)在［l,a］上的最大值為a?-2a+1.

【答案】

解：(1)由函數(shù)月的圖象過點(0,0),(5,1)得［2m+a=0,

3m+a=1,

所以『二匕

試卷第16頁，總19頁

由函數(shù)的圖象過點(0,0)，(5,1)得防=1,

所以b=*.

所以％=所+4-2,y2=^x.

(2)設(shè)投資甲產(chǎn)品為x百萬元，則投資乙產(chǎn)品為(5-x)百萬元，0WXW5,

則總利潤y=yj+y2=Vx+4-2+i(5-%)

=Vx+4—-1,

設(shè)，％+4=t,2<t<3,

則y=t—1(t2—4)-1=—|t2+t-1

1/.5\2,21

所以"I即X=3時，V最大為親

即投資甲產(chǎn)品225萬元，投資乙產(chǎn)品275萬元，獲得最大利潤為105萬元.

【考點】

函數(shù)解析式的求解及常用方法

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)由函數(shù)y1的圖象過點(0,0),(5,1)得3：to-?1

(D/Tt-ru,—1f

m=1,

a=-2.

由函數(shù)”的圖象過點(0,0),(5,1)得5匕=1,

所以b=)

所以乃=Vx+4-2,y2=^x.

(2)設(shè)投資甲產(chǎn)品為x百萬元，則投資乙產(chǎn)品為(5-X)百萬元，0W%W5,

則總利潤y=7