數(shù)理方程4課件

數(shù)學(xué)物理方程主講：王正斌E_mail:wangzb@BBS:科技教育/物理研究答疑：周二下午3：30～5：00，教2＃605室南京郵電大學(xué)、數(shù)理學(xué)院、應(yīng)用物理系第四章、特殊函數(shù)常微分方程勒讓德方程

貝塞爾方程

勒讓德多項式貝塞爾函數(shù)在球坐標(biāo)系解三類偏微分方程：在柱坐標(biāo)系解三類偏微分方程：拉普拉斯方程的一般形式為1、在球坐標(biāo)系下，表示為：解：設(shè)分離變量形式的試探解代入方程得到一、勒讓德方程的導(dǎo)出式中第一個方程為歐勒型常微分方程,解得第二個方程為球函數(shù)方程，對該方程繼續(xù)做分離：代入球函數(shù)方程得到式中第一個方程由自然邊界條件構(gòu)成本征值和本征函數(shù)第二個方程可以改寫為

令該方程稱為階連帶勒讓德方程或階締合勒讓德方程。如果球坐標(biāo)的極軸為對稱軸

階勒讓德方程在柱坐標(biāo)系下解拉普拉斯方程：分離變量得二、貝塞爾方程的導(dǎo)出n階貝塞爾方程(1)情況。作代換，則得

(2)情況。作代換，則得

n階虛宗量貝塞爾方程三、亥姆霍茲方程(a)、三維波動方程為:設(shè)分離變量解為:代入方程，并移項得到：

得HelmholtzEquation（b)、三維輸運方程為：分離時間變量和空間變量，得：代入方程，并移項得到：得HelmholtzEquation在球坐標(biāo)系下解亥姆霍茲方程：亥姆霍茲方程：在球坐標(biāo)系下的形式為：分離變量，得：展開得球貝塞爾方程階貝塞爾方程

在柱坐標(biāo)系下解亥姆霍茲方程：利用柱坐標(biāo)系的Laplace方程的表達(dá)式可得柱坐標(biāo)系Helmholtz方程的表達(dá)式:分離變量，得：代入原方程得：記常數(shù)，也即，那么上面第三個方程可以寫成：對自變量做變換，那么上式變成該式即為n階Bessel方程。冪級數(shù)展開定義：各項均為冪函數(shù)的無窮級數(shù)：稱為以為展開中心的冪級數(shù)。其中都是復(fù)常數(shù)。1、達(dá)朗貝爾判別法：若則冪級數(shù)絕對收斂。

斂散性：2、根值判別法：若，則冪級數(shù)絕對收斂；

泰勒(Taylor)級數(shù)展開洛朗(Laurent)級數(shù)展開冪級數(shù)展開泰勒(Taylor)級數(shù)展開可展開為冪級數(shù)稱為泰勒展開系數(shù)。泰勒(Taylor)定理：若在內(nèi)解析，則在此圓內(nèi)，，其中為圓周，且展開唯一。(要多精確有多精確)

解析：若函數(shù)f(z)在點z0及其鄰域上處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0點解析。幾個基本初等函數(shù)的泰勒展開式：解析函數(shù)：若函數(shù)f(z)在區(qū)域B上每一點都解析，則稱f(z)是區(qū)域B上的解析函數(shù)。洛朗(Laurent)級數(shù)展開洛朗(Laurent)定理：設(shè)在環(huán)形區(qū)域則對環(huán)域上任一點可展為冪級數(shù)，其中一周的任一閉合曲線。洛朗展開也是唯一的。

的內(nèi)部單值解析，，積分路徑為位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)園洛朗(Laurent)級數(shù)展開方法：將待展開式分解為奇異項和非奇異項，然后將非奇異項展開為Taylor級數(shù)，再和非奇異項合并特殊函數(shù)方程的級數(shù)解法

熟悉的特殊函數(shù)：在球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對拉普拉斯方程、波動方程、輸運方程進(jìn)行分離變量，得到連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)；

未知的特殊函數(shù)：在其它坐標(biāo)系對其它數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離，還會出現(xiàn)其它各種各樣的特殊函數(shù)方程。

級數(shù)解法：就是在某個任選點的鄰域上，把待求的解表示為系數(shù)為待定的級數(shù)，代入原方程以逐個確定系數(shù)。常微分形式：線性二階常微分方程方程的常點：常微分方程中系數(shù)和在選定的點的鄰域中是解析的，則點稱為方程的常點。一、常點鄰域上的級數(shù)解該解可以表示為此鄰域上的泰勒級數(shù)的形式:求解步驟：把展開級數(shù)代入方程，合并同冪項，令合并后的各系數(shù)分別為零,找到系數(shù)之間的遞推關(guān)系，最后用已給的初值來確定各個系數(shù)。方程的奇點：常微分方程中系數(shù)和在選定的點的鄰域中是或的奇點，則點稱為方程的奇點。泰勒級數(shù)形式及其導(dǎo)數(shù)為化簡之后得到(1)勒讓德方程在的級數(shù)解要使各冪次合并后的系數(shù)分別為零，則得到系數(shù)的遞推公式為其中為偶次冪，是偶函數(shù)，為奇次冪，是奇函數(shù)。(2)解的收斂半徑由系數(shù)的遞推公式可以得到因此級數(shù)和收斂于，而發(fā)散于。由于階勒讓德方程中,所以其解是收斂的。(3)解在的收斂性根據(jù)高斯判別法可以證明，級數(shù)解和在是發(fā)散的。（4）解退化為多項式若，而從項起所有系數(shù)含有項均為零若再取，那么解為只含偶次冪的l階多項式選取適當(dāng)?shù)牡玫揭粋€特解，稱為l階勒讓德多項式若，而從項起所有系數(shù)含有項均為零若再取，那么解為只含奇次冪的l階多項式選取適當(dāng)?shù)牡玫揭粋€特解，稱為l階勒讓德多項式(5)自然邊界條件定解問題的解在空間都是有限的，而經(jīng)過分離變量法得到的勒讓德方程在也必須為有限的成為勒讓德方程的自然邊界條件。因此，勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問題，其本征值是l(l+1)(l為零或正整數(shù))，所以本征函數(shù)為l階勒讓德多項式。二、奇點鄰域上的級數(shù)解（1）n階貝塞爾方程在的鄰域上的解代入Bessel方程，合并同類項得：比較等式兩邊系數(shù)，可得一系列方程：第二個方程(1)、先取，遞推公式成為因此貝塞爾方程的一個特解為:該級數(shù)的收斂半徑為:通常取：因此只要有限，級數(shù)就是收斂的。此時把這個解稱為n階第一類貝塞爾函數(shù)，記為：(2)、再取，遞推公式成為

因此貝塞爾方程的另一個特解為:該級數(shù)的收斂半徑為:因此只要有限，級數(shù)就是收斂的。通常取此時把這個解稱為-n階第一類貝塞爾函數(shù)，記為：因此，n階貝塞爾方程的通解就是兩個特解的線性疊加

：可證明，當(dāng)n為整數(shù)時，與線性相關(guān)，而當(dāng)n不為整數(shù)時，他們線性無關(guān)。貝塞爾方程對應(yīng)的特解為：

貝塞爾方程對應(yīng)的特解為：

只要，則是負(fù)整數(shù)

負(fù)整數(shù)的函數(shù)為無限大

證明:當(dāng)n為整數(shù)時，與線性相關(guān)當(dāng)n為整數(shù)時，第二個特解實際上是和第一個特解線性相關(guān)的不能表示為n階Bessel方程的解若取

：代入通解中可以得到另外一個特解，該特解可以作為n階貝塞爾方程的第二個線性獨立的特解，稱為第二類貝塞爾函數(shù)或諾伊曼函數(shù):因此n階貝塞爾方程的通解還可以寫成

：不論n是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可以用上式表示！當(dāng)n為整數(shù)時，還需要另外一個線性無關(guān)的特解！（2）在的鄰域上求解階貝塞爾方程：解：根據(jù)整數(shù)階貝塞爾方程的求解，可得同理，可求得另外一個特解：因此方程的通解為由此可以推廣到半奇數(shù)階貝塞爾方程的求解

根據(jù)Bessel函數(shù)之間的遞推關(guān)系，可求得任意半奇數(shù)階Bessel函數(shù)。n為偶數(shù)時，為偶函數(shù)n為奇數(shù)時，為奇函數(shù)第三類貝塞爾函數(shù)：漢克爾（Hankel）函數(shù)Bessel函數(shù)的奇偶性三類柱函數(shù)貝塞爾函數(shù)諾伊曼函數(shù)漢克爾函數(shù)或所以對應(yīng)于貝塞爾方程的通解為或還可