2021-2022學年北京市西城區(qū)高一年級上冊學期期中數(shù)學試題含答案

2021-2022學年北京市海淀區(qū)高一上學期期中數(shù)學試題

一、單選題

I,設(shè)集合"={123},8={x[-l<x<2,xeZ},則入8=（）

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】C

【分析】首先用列舉法表示集合8,再根據(jù)并集的定義計算可得；

【詳解】解：因為8={M-l<x<2，xeZ}={0,l},'={1,2,3},所以"°B={0,1,2,3}

故選：C

2.命題“*爾國+八0,,的否定是（）

AyxeR,|x|+x2<0gxeR,|x|+x2<0

c3xoeR,|x0|+x；>0D三x°eR,.聞+x：<0

【答案】D

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識確定正確答案.

【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結(jié)論，

所以命題“VXCR，忖+/20,,的否定是mx°eR,間+x；<0,

故選：D

3.在下列四個函數(shù)中，在。+8）上為增函數(shù)的是（）

A.小)=32

B/(X)=X-3X

2%-2

f(x)=./(x)=-kl

C.x+1D

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.

【詳解】A選項，/（“）=3是常數(shù)函數(shù)，不符合題意.

,=3

B選項，/（x）=--3x的開口向上，對稱軸為“一],

所以在I2J上遞減，不符合題意.

、2x-22(x+l)-4.4

f(x)=-----=-------=2-----小、

C選項，.'/x+1x+1x+1,在(°，+8)上為增函數(shù)，符合題意.

D選項，當x>0時，/(x)=TM=-x,在(0,+W上遞減，不符合題意.

故選：C

4.若函數(shù)/(x)=/(xeA),則函數(shù)V=/(—x)在其定義域上是

A.單調(diào)遞減的偶函數(shù)B.單調(diào)遞減的奇函數(shù)

C.單調(diào)遞增的偶函數(shù)D.單調(diào)遞增的奇函數(shù)

【答案】B

【詳解】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

/(-X)=(-X)3=-J,定義域為凡因為記g(x)=f(-x)=-/，貝I]

g(-X)=-(-X)3=x3=_g(X),所以函數(shù)/1)=(田=-/是奇函數(shù)；設(shè)

X,eR,x2<x2;g(x,)-g(x3)=-x；-(-x；)=g-x；=5-x,)(x；+x{x2+x；)

=(一心+箏，再又(%+尹+苧

>0所以g區(qū))>g(》2)，則函數(shù)

〃-x)=(-X)3=-x3在定義域R上是減函數(shù).故選B

5.下列命題中，正確的是()

A.若a>b,c>d,貝ac〉6dB.若ac>bc,貝！Ia>6

-±<A

22

C.若。c,則。<6D.若a>b,c>d,則aiZlc>6匚d

【答案】C

【分析】通過舉反例判斷選項A,D,利用不等式的性質(zhì)判斷選項B,C的真假.

【詳解】解：令。=1,6=口1,。=口1,1=口5,顯然A、D不成立，

對于B：若cVO,顯然不成立，

對于C：由<;2>0,得a<b,故C正確，

故選：C.

6.已知不等式aW_5x+6>0的解集為囪_3<工<_2},則不等式反?—5x+a>0的解集為()

ix\x<--x>--l

B.I2或3/

{x|-3<x<2}

cD.{x[x<-3或無>2}

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的解集求得a力，進而求得正確答案.

【詳解】由于不等式"2-5》+6>0的解集為

Q<0

?—=-3+（-2）

a

-=-3x（-2）

所以1a,解得〃=-1/=-6,

222

所以不等式Z>x-5x+a>0,g|j-6x-5x-1>0,6x+5x+1<0；

（3x+l）（2x+l）<0,解得T<x<T,

/I111

/x\—<x<—>

所以不等式加-5x+a>0的解集為123j.

故選：A

7.若〃>0/>0,貝+是的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取

”力的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能

力的考查.

【詳解】當時，a+b22贏,則當。+后4時，有2疝4a+b44,解得"44,充分

性成立；當a=L6=4時，滿足於《4,但此時。+6=5>4,必要性不成立，綜上所述,+644,，是“

外44，，的充分不必要條件.

【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值

法”，通過特取“力的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

8.某人從甲地到乙地往返的速度分別為“和人（°<“<與，其全程的平均速度為V,則（）

a+b

v=------

A.2B.v=>/ab

疝<"二

Qa<v<4abD.2

【答案】C

【分析】根據(jù)平均速度的知識求得V,結(jié)合基本不等式求得正確答案.

【詳解】設(shè)甲乙兩地距離為S,

2S2ab

V=--------=-------

5Sa+b

則0石,其中。

2

a+b

lab2

a+b

v=------<—

所以a+ba+b2

2ablab

V=-------<--r===瘋出>而r-

a+b2Jab,2,所以"Jab

lablab

v=------>-------=a

由于a+bb+b

綜上所述，"V<M

故選：c

9.設(shè)函數(shù).口2,調(diào)2,若/(a+l)2/(2a-l),則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,1]B.(~°°,2]

C.[2,6]D,[2,+00)

【答案】B

【分析】判斷出/（X）的單調(diào)性，由此化簡不等式/（"+1）2/（2°一1）,從而求得°的取值范圍.

【詳解】畫出/（X）的圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知/G）在R上遞增，

由/'（"+1）“（2"1）得a+122a-l,解得a42.

10.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不

同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是

燃油效率（km/L）

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

【答案】D

【詳解】解：對于/，由圖象可知當速度大于40h”//）時，乙車的燃油效率大于

當速度大于40h*/〃時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于北m,故N錯誤：

對于8,由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當速度相同時，消耗1升汽油，甲車

的行駛路程最遠，

以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故8錯誤；

對于C,由圖象可知當速度為80的明時，甲車的燃油效率為10勃?遼，

即甲車行駛10筋?時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80筋?，燃油為8升，故C錯誤；

對于。，由圖象可知當速度小于80面/〃?時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，

用丙車比用乙車更省油，故。正確

故選。.

【解析】1、數(shù)學建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.

二、填空題

H.函數(shù)y=&F的定義域是.

【答案】（YO,0]U[2,+8）

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)y=有意義,則滿足2x20,

即x(x-2)20,解得xWO或X22,即函數(shù)的定義域為(-^，。山⑵田)

故答案為：(Y°，0］U［2,+8).

12.若函數(shù)〃幻=/+2辦+3在區(qū)間［-4,6］上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

【答案】或此4

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得。的取值范圍.

【詳解】二次函數(shù)〃x)=x2+2ar+3的開口向上，對稱軸為x=-a,

由于/(x)在區(qū)間卜4,6］上是單調(diào)函數(shù)，

所以-a4-4或-aN6,

解得°4-6或a44.

故答案為：或a24

13.設(shè)”=2a(a-l),N=(4+1)(。-3),則〃，N的大小關(guān)系為.

【答案】M>N

【分析】利用差比較法確定正確答案.

,*.M—N=2a--2a—(ci~—2a_3)=+3>0

【詳/解tT3】')，

所以

故答案為：M>N

14.某公司一年需要購買某種原材料400噸，計劃每次購買x噸，已知每次的運費為4萬元，一年

總的庫存費用為4x萬元，為了使總運費與總庫存費用之和最小，則x的值是.

【答案】20

【分析】利用基本不等式研究總運費與總庫存費用之和，由此確定正確答案.

400,,1600,.1600

---x4+4x=----+4x>2——-4x=160

【詳解】總運費與總庫存費用之和xx

—4YY—770

當且僅當X一’一時等號成立.

故答案為：2°

三、雙空題

15.某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件:

(i)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；

(ii)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為.

【答案】612

【詳解】試題分析：設(shè)男生人數(shù)、女生人數(shù)、教師人數(shù)分別為。、bc,則2c>"b>cM,6,ceN[

①8>〃>b>4=bnux=6,

②=3,6>a>b>3=a=5,b=4=a+b+c=12.

【名師點睛】本題主要考查了命題的邏輯分析、簡單的合情推理，題目設(shè)計巧妙，解題時要抓住關(guān)

鍵，逐步推斷，本題主要考查考生分析問題、解決問題的能力，同時注意不等式關(guān)系以及正整數(shù)這個

條件.

四、解答題

16已知集合4=*W-2x-340,xeR},5={c|[x-(m-3)][x-(m+3)]>0,xeR)

(1)求集合A,B

(2)若/AS=[1,3],求實數(shù)機的值；

(3)若"=(48),求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴"二[T3],5=(-<?,w-3]o[w+3,+a))

⑵機=-2

⑶0<加<2

【分析】(1)解不等式求得集合48.

(2)根據(jù)4cB求得用.

(3)根據(jù)"=(48)列不等式，由此求得加的取值范圍.

【詳解】⑴“-2》-3=(》-3)(》+1)40,解得所以“十同

[x-(m-3)][x-(w+3)]>0,解得xVw-3或xW/n+3,

所以8=（YO,W_3］U［/M+3,+8）

（2）若力口8=［1,3］,貝|j機_3<_1,tn+3-\=>m--2

（3）［<8=（機-3,加+3）,

若/UQB）,

則［加+3>3,解得0<加<2.

17.已知函數(shù)3x+〃是奇函數(shù)，且''3.

⑴求實數(shù)"，和"的值；

（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)/（X）在區(qū)間（-8,T］上是增函數(shù)；

（3）求函數(shù)/（X）在區(qū)間［一2，一”上的最值，并指出最值點.

【答案】（1嚴=2,〃=°

（2）證明詳見解析

_5_4

（3）最小值點為-2,最小值為一5：最大值點為-1,最大值為一§

/（2）=-

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及3求得"?，〃.

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明.

（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)/（X）在區(qū)間卜2，-1］上的最值.

./、mx1+2

/（x）=

【詳解】（I）依題意，函數(shù).3x+〃是奇函數(shù)，

n

X0—

由3x+〃wO得3,奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以"=0.

、mx+2「54加+22m+15

f(x)=------/(2)=------=-----=-,J的二2

3x,由八J3得633

則小)==［小1丁=-小)，/(

"）是奇函數(shù)，符合題意.

f^=2￡+2

(2)由(1)得3x,

再4一1,“占)一/&)=雪旦宇2

任取3玉5*2

=-X

其中x1x2-l>o,x1-x2<0,XjX2>0,所以/（*）—/（、2）<°，/（E）</（工2）,

所以/（無）在區(qū)間（-8，T］上是增函數(shù).

（3）由（2）可知，函數(shù)/G）在區(qū)間［一2，一日上遞增，

所以，最小值點為-2,最小值為-63.

/（-1）=212=_4

最大值點為T,最大值為-33.

18.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)100臺該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元,

設(shè)該產(chǎn)品的產(chǎn)量為x（單位：百臺），其總成本為名^）（單位：萬元）（總成本=固定成本+生產(chǎn)成

—0.5廠+7x-10.5,0?xW7

本），并且銷售收入'（X）（單位：萬元）滿足13.5,x>7

.設(shè)工廠利潤為

/（X）（利潤=銷售收入-總成本），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述信息求下列問題:

⑴求/（X）的解析式

（2）要使工廠有盈利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

（3）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，盈利最大？

-0.5x~+6x13.5,0x7

=<

［答案］（"（x）［10.5-x,x>7

⑵（3,10.5）

（3）當生產(chǎn)6百臺時，盈利最大

【分析】（1）根據(jù)利潤=銷售收入-總成本求得正確答案.

（2）由/G）>°求得x的范圍.

（3）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.

【詳解】（1）gG）=3+"

—0.5廠+6x—13.5,0x7

“x尸㈤-g（x）=

10.5-x,x>7

（2）當0WxW7時，由-OS—+64-13.5>0,

得/一12X+27=(X-3)(X-9)<0,解得3<X〈7

當x>7時,由10.5-x>0,解得7Vx<10.5.

所以x應(yīng)控制的范圍是(3/°6).

(3)當。"47時，/(x)=-0.5廠+6x73.5,開口向下，對稱軸為》=6,

所以當x=6時，"x)取得最大值為，⑹=-18+36-13.5=4.5

當x>7時，10.5-x<3.5,

所以當生產(chǎn)6百臺時，盈利最大.

19.已知函數(shù)/(幻=加+云+1(°,/,為實數(shù))XGR

(1)若且函數(shù)/a)的值域為求/a)的解析式；

(2)在(1)的條件下，當x*[-2,2]時,g(x)=〃x)-丘是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)出的取值范圍;

(3)若"x)為偶函數(shù)，且4>°,設(shè)1-/(幻,x<0,用〃<0,m+n>0,判斷

尸(“)+尸(〃)是否大于零，請說明理由.

【答案】(1)f(x)=(x+l)2；(2)(-8,-2]U[6,”O(jiān))；⑶證明見解析

【解析】(1)由題得"6+1=0①，4。-從=0②，解方程即得解；

?72<-2—-2>2

(2)由題得2或2"，解不等式得解；

(3)先求出尸(X)的解析式，再求出外⑼+即得證.

【詳解】解:(l)；/(T)=°,，a-b+l=°①

(bY4a-b24a-b2

y=a\x-^~—+------___=o

又函數(shù)〃x)的值域為[°，E),，aw由.I2a)4a，知4a,

即4a-〃=o②,解①②，得。=1,/>=2.

f(x)=x2+2x+1=(x+1)2

g(x)=f(x)-kx=x22x+\-kx=x2+(2-k)x4-1=fx+-_+]―0二?)

⑵由⑴得I2J4

...當xe[-2,2]時,g(x)=/(x)-6是單調(diào)函數(shù),

----<-2----〉2

2或2，即Y-2或修6,

故實數(shù)k的取值范圍為(Y°，-2]U[6,+8)

(3)+尸(〃)大于零.理由如下:；/(X)為偶函數(shù)，

ax~+l,x>0,

??/(X)h/2\

/(x)=ax2[-(ox+l)x<0n.

不妨設(shè)用>〃,貝ij“<°?由加+”>°,得機>一“>°,,」“1>1一"I又“>°,

.0.F(m)+F(n)=—f(n)=(an2+1)一(an2+1)=Q(〃/_/)>0

"("?)+尸5)大于零.

【點睛】關(guān)鍵點睛：第(1)題，利用值域的性質(zhì)列方程求解；第(2)題利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行

求解；第(3)題的解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的奇偶性進行轉(zhuǎn)化，得出廠(切)+%〃)=/(〃?)-/(〃)進

而求解；本題難度屬于中檔題

20.設(shè)集合s={4,4”“4},若集合S中的元素同時滿足以下條件：

①Wie{1,2,…㈤，4恰好都含有3個元素；

②MM{1,2,六九4r4為單元素集合;

③4n4n...n4=。

則稱集合s為“優(yōu)選集”.

⑴判斷集合P={(1，2,3),(2,4,5)},Q={(1,2,3),(1,4,5),(2,5,7)}是否為“優(yōu)選集,、

(2)證明：若集合S為“優(yōu)選集”，則Vx《4,x至多屬于S中的三個集合；

(3)若集合S為“優(yōu)選集”，求集合S的元素個數(shù)的最大值.

【答案】⑴P不是“優(yōu)選集”，。是“優(yōu)選集”；

(2)證明過程見詳解；

(3)7

【分析】(1)根據(jù)“優(yōu)選集''的定義判斷即可；

(2)先取,={4，"2,4'4'&4,4},其中4=(X/,Z),4=(x,c,d),

4=(%a，c),4=(y，6，"),4=(z,。,")，A7=(z,b,c)可得Wxe4,x可以屬于s中的三個集

合，再用反證法證明不存在xe4,使得x可以屬于s中的四個集合即可；

(3)結(jié)合(2)可知S中的元素個數(shù)可以為7,再用反證法證明不存在即可.

【詳解】⑴對于集合尸={(123)，(2,4,5)},

滿足條件①：°'2,3)和(2,4,5)恰好都含有3個元素；

滿足條件②：023)c(2,4,5)為單元素集合；

但不滿足條件③：(1'2,3)C(2,4,5)H°,則P不是，，優(yōu)選集，，；

對于集合。={(1,2,3),(1,4,5),(2,5,7)},

滿足條件①：°'2,3),(I")和(2,5,7)恰好都含有3個元素；

滿足條件②：(L2,3)C(1,4,5),(l,4,5)c(2,5,7),(l,2,3)c(2,5,7)為單元素集合；

滿足條件③：0