第4章離散傅里葉變換課件

第4章圖像變換

為了有效和快速地對圖像進(jìn)行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，并且利用圖像在這個空間的特有性質(zhì)進(jìn)行處理，然后通過逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。本章討論圖像變換重點介紹圖像處理中常用的正交變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。2023/6/71.一維連續(xù)傅里葉變換

設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果f(x)滿足下面的狄里赫萊條件：

(1)具有有限個間斷點；

(2)具有有限個極值點；

(3)絕對可積。則定義f(x)的傅里葉變換為：4.1連續(xù)傅里葉變換2023/6/7從F(u)恢復(fù)f(x)稱為傅里葉反變換，定義為：上述二式形成傅里葉變換對，記做：函數(shù)f(x)的傅里葉變換一般是一個復(fù)數(shù)，它可以由下式表示：F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)分別為F(u)的實部和虛部。寫成指數(shù)形式：4.1連續(xù)傅里葉變換2023/6/7F(u)為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角：

幅度：相角：幅度函數(shù)|F(u)|稱為f(x)的傅里葉譜或頻率譜，φ(u)稱為相位譜。稱為f(x)的能量譜或稱為功率譜。4.1連續(xù)傅里葉變換2023/6/72.二維連續(xù)傅里葉變換傅里葉變換可以推廣到兩個變量連續(xù)可積的函數(shù)f(x,y)若f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則存在如下傅里葉變化對：二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為：

2023/6/71.一維離散傅里葉變換

對一個連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個離散序列。設(shè)共采了N個點，則這個離散序列可表示為{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助這種表達(dá)，并令x為離散空域變量，u為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

傅里葉反變換定義由表示：

可以證明離散傅里葉變換對總是存在的。其傅里葉譜、相位和能量譜如下：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/72.離散傅里葉變換（DFT）的矩陣表示法由DFT的定義，N＝4的原信號序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里葉變換F(u)展開為：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

將e指數(shù)項化簡可寫成矩陣形式：

記作：可用復(fù)平面的單位圓來求W的各元素。如圖4-1所示。當(dāng)N=4時，參看圖4.1(a)。把單位圓分為N=4份，則正變換矩陣第u行每次移動u份得到該行系數(shù)。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7(a)(b)圖4.1復(fù)平面單位圓(a)N＝4(b)N＝84.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

同理N=8見圖4-1(b)的單位圓。N=8的W陣應(yīng)把單位圓分為8份，順時順次轉(zhuǎn)0份,1份、…,7份，可得W陣為:4.1.2離散傅里葉變換2023/6/74.1.2離散傅里葉變換2023/6/72.二維離散傅里葉變換一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。如果一幅二維離散圖像f(x,y)的大小為M*N，則二維傅里葉變換可用下面二式表示。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是M=N。正逆變換對具有下列對稱的形式：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/73.二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為使用提供了極大的方便。

1）分離性二維離散傅里葉變換具有分離性4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7分離性質(zhì)的主要優(yōu)點是可借助一系列一維傅里葉變換分兩步求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結(jié)果乘以1/N,取得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列取變換，再將結(jié)果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先行后列。如果采用先列后行的順序，其結(jié)果相同。如圖4.6所示。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7行變換列變換圖4.6把二維傅里葉變換作為一系列一維的計算方法4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

對逆變換f(x,y)也可以類似地分兩步進(jìn)行。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/72）平移性傅里葉變換和逆變換對的位移性質(zhì)是指：

由f(x,y)乘以指數(shù)項并取其乘積的傅立葉變換，使頻率平面的原點位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項乘以F(u,v)并取其反變換，將空間域平面的原點位移至(x0,y0)。當(dāng)u0=v0=N/2時，指數(shù)項為：

4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7即為：

這樣，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的傅里葉變換原點移動到N*N頻率方陣的中心，這樣才能看到整個譜圖。另外，對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值。此外，與連續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變換也具有周期性、共軛對稱性、線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處理圖像時有重要意義。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/73.DFT應(yīng)用中的問題

1）頻譜的圖像顯示

DFT在計算機(jī)圖像處理中計算的中間過程和結(jié)果要圖像化。對DFT來講不但f(x,y)是圖像,F(u,v)也要用圖像來顯示其結(jié)果。譜圖像就是把|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在傅里葉變換中F(u,v)隨u,v的衰減太快，其高頻項只看到一兩個峰，其余皆不清楚。由于人的視覺可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號為D(u,v),4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

即用顯示D(u,v)來代替只顯示|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救方法。譜的顯示加深了對圖像的視覺理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。如圖4.7為圖像的傅里葉頻譜圖像4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.7圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過變換后的結(jié)果(b)(c)4.1.2離散傅里葉變換a.a.2023/6/72.頻譜圖像的移中顯示常用的傅里葉正反變換公式都是以零點為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點移到顯示的中心。當(dāng)周期為N時，應(yīng)在頻域移動N/2。利用DFT的平移性質(zhì)，先把原圖像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再進(jìn)行傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移N/2的F(u,v)。圖4-8所示。應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實際F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留為原來的值。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.8頻譜圖像的移中顯示(a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像(a)(b)4.1.2離散傅里葉變換2023/6/73.旋轉(zhuǎn)性應(yīng)用中，對兩幅圖像進(jìn)行傅里葉變換后，為求兩幅圖像的相似性，常須對頻域圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時FT公式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對。設(shè)f(x,y)為原圖中任一點的坐標(biāo)，，θ為(x,y)點與x軸的夾角，則傅里葉變換對為：若空域頻域4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：上式表明，在空域中對圖像f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0對應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)θ0，類似的，對F(u,v)旋轉(zhuǎn)θ0也對應(yīng)于將其傅里葉反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7(a)(b)圖4.9傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性，對比圖4.84.1.2離散傅里葉變換2023/6/74.數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計特性

1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖4.10所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個角的周圍對應(yīng)于低頻成分，中央部位對應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上因子進(jìn)行傅里葉變換即可實現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點移動到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.10二維傅里葉變換的頻譜分布

4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.11頻率位移示例4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

圖4.11為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對中心點是共軛對稱的，利用這個特性，在數(shù)據(jù)存儲和傳輸時，僅存儲和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。

2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計分布（1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有：

它反映了原始圖像的平均亮度。

4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7（2）對大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點成為對圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖