高中生能聽懂的有關三大幾何作圖難題的探討

高中生能聽懂的有關三大幾何作圖難題的探討第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二1.尺規(guī)作圖的由來尺規(guī)作圖是起源于古希臘(公元前800年-公元前146年)的數(shù)學課題。只使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。歐幾里得在《幾何原本》中對規(guī)則作了總結。

第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二2.尺規(guī)作圖的基本方法（1）通過兩個已知點可作一直線。

（2）已知圓心和半徑可作一個圓。

（3）若兩已知直線相交，可求其交點。

（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。

（5）若兩已知圓相交，可求其交點。第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二3.尺規(guī)作圖的五種基本圖形（1）作一個角等于已知角

（2）平分已知角

（3）作已知直線的垂直平分線

（4）作一條線段等于已知線段

（5）過一點作已知直線的垂線第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二4.三大幾何問題（1）化圓為方求作一正方形，使其面積等于一已知圓（2）三等分角分任意角為三等分（3）倍立方體求作一正方體，使其體積等于已知正方體體積的2倍。第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積。三大幾何問題（1）：化圓為方第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二你能把長方形化為等面積的正方形嗎？作圖演示第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數(shù)學家、力學家。后人常把阿基米德和牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數(shù)學家。阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德螺線你能想象嗎？時鐘上的指針在作勻速轉動，假如有一只小蟲子從時鐘的中心，沿指針作勻速爬動，那么蟲子最終走出的軌跡是怎么樣的？幾何畫板演示阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德螺線化圓為方阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二達芬奇式化圓為方意大利著名藝術大師達芬奇利用巧妙方法來解決化圓為方.達芬奇的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二π是一個超越數(shù)化圓為方能用尺規(guī)作圖“化圓為方”的本質第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三大幾何問題（2）：三等分角先退一步任意給你一個角，你能把它而等分嗎？第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三大幾何問題（2）：三等分角任意給你一個角，請你把它三等分。這么簡單的事，居然是歷史難題！第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德的非尺規(guī)作圖“三等分角”第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二非尺規(guī)作圖“三等分角”O(jiān)ABRR母線：3R底面半徑：R3R3RBAV1896年，奧布里給出圓錐妙法第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二非尺規(guī)作圖“三等分角”O(jiān)ABOAB第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二沒有有理根第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三大幾何問題（3）：倍立方體作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二據說，公元前四百多年，在古希臘雅典流行傷寒病。萬分驚惶的雅典人，向太陽神阿波羅祈禱消除災難。太陽神指示：要消災免禍，必須把殿前立方體香案的體積擴大兩倍。雅典人聽了非常高興，覺得這個要求很容易辦到。于是就把香案的各條棱都擴大了兩倍，做了個新立方體香案。不料太陽神大為震怒。原來新香案的體積并不是舊香案的兩倍，而是舊香案的八倍。那么，怎樣才能把立方體香案的體積正好擴大兩倍呢？如果設原來香案的棱長為1，新香案的棱長就必須是2的立方根。當時沒人能解決的。于是，只好去請教久負盛名的大學者柏拉圖。非尺規(guī)作圖“倍立方體”第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二柏拉圖先畫了兩條互相垂直相交于O點的直線m和l，在l上截取線段OC＝1；在m上截取線段OD＝2。再把兩個木匠用的角尺，像下圖那樣放在上面，使兩把角尺的直角點A、B，分別在兩條直線上，并且另外兩條臂分別通過C、D兩點(如圖)：非尺規(guī)作圖“倍立方體”第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍不是有理根第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二（1）三等分任意角（2）倍立方直尺與圓規(guī)不能做出一般的立方根（無理數(shù)）三等分任意角和倍立方不可能尺規(guī)作圖（3）化圓為方π是一個超越數(shù)，即是一個不能通過有理系數(shù)求根得到的數(shù)?；瘓A為方也不可能尺規(guī)作圖第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二從方程角度理解“尺規(guī)作圖”（1）通過兩個已知點可作一直線。

（2）已知圓心和半徑可作一個圓。

（3）若兩已知直線相交，可求其交點。

（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。

（5）