高數(shù)下第十章第四節(jié)重積分的應(yīng)用

高數(shù)下第十章第四節(jié)重積分的應(yīng)用第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性——

用微元分析法(元素法)建立積分式分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn):畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法:第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求與S2的交線在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xOy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xOy

面上投影為則出的面積A.第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.(略)方法1利用球坐標(biāo)方程.第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二將

分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二同理可得則得形心坐標(biāo)：第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二若物體為占有xOy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x

軸的

靜矩—對(duì)y

軸的

靜矩第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:

利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:

取球心為原點(diǎn),z

軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例8.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:

取球心為原點(diǎn),z

軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例8.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二

,G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二若求xOy面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量,因此引力分量為則上式改為D上的二重積分,密度函數(shù)改為即可.例如,其中:第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例9.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由對(duì)稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例10.求半徑為R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)第二十八頁(yè)，共三