臺球中的碰撞分析

臺球中的碰撞分析第一頁，共十頁，編輯于2023年，星期二本文不過多考慮碰撞前后的運(yùn)動細(xì)節(jié)。只考慮碰撞的兩球的速度變化以及此后的大致運(yùn)動狀況。

ABV如圖所示，球A具有速度v，角速度w，而球B靜止的位于臺面上。球A正向球B運(yùn)動過去。下面將就角速度w的大小和方向來討論兩球相撞后的運(yùn)動狀況。W第二頁，共十頁，編輯于2023年，星期二1.角速度w=0此時，兩個臺球碰撞時可分為正碰和斜碰兩種，如圖1和圖2所示：圖1圖2vva,.正碰很簡單，球A與球B相互交換速度，即球A靜止，而球B以速度v向前運(yùn)動ABABvAB第三頁，共十頁，編輯于2023年，星期二AABBVvBvA其中，vB為沿球A與球B的圓心連線方向vA與vB垂直，并且它們的合向量就是球A的初速度v。b.球A與球B發(fā)生斜碰時，在碰撞的瞬間，若忽略兩球間的摩擦力，則兩球只在球心連線方向上用作用力，由于兩球的碰撞近似于彈性碰撞，所以碰后球的運(yùn)動將如下圖所示:vBvAV第四頁，共十頁，編輯于2023年，星期二2.角速度w不為零，且方向?yàn)閺睦锵蛲?。vWABa.先來看兩球發(fā)生正碰時的情況碰撞后的瞬間，球B獲得了速度v,而球A相對于臺面，已沒有了初速度v,只剩下轉(zhuǎn)動的角速度w。此后，對于球A,由于受到球與臺面間的摩擦力的作用，將向后加速，并且由牛頓定律，和角動量定理，可列出如下方程：vWAB第五頁，共十頁，編輯于2023年，星期二mdv=-f；Idw=-fr；即0.4mrdw=-f;所以：mv+0.4mwr是個守恒量；由純滾動時：v=wr得：v=2/7wr：就是說，若球A沒碰到什么阻礙，它將最終達(dá)到一個速度v,且v略小于2/7wr，此時球A將作純滾動，并在滾動摩擦力矩的作用下漸漸停止。對于球B,也類似，只不過它的最終速度為v=5/7v0,即若球B沒碰到什么阻礙，它將最終達(dá)到速度v,且v略小于5/7v0，此時球B將作純滾動，并在滾動摩擦力矩的作用下漸漸停止。V1=5/7vABvA=2/7wr第六頁，共十頁，編輯于2023年，星期二b.當(dāng)兩球發(fā)生斜碰時，情況基本與正碰相仿，只是此時球A還具有一個初速度va。這時球受到兩個摩擦分力的作用f1和f2在f1作用下，球A將具有一個向后的速度在f2的作用下，球A的角速度w將改變一個方向所以球A的運(yùn)動軌跡將向后偏離，如下圖所示：AvBv0vaA球B的運(yùn)動與正碰中相似。vaf1f2va1第七頁，共十頁，編輯于2023年，星期二2.角速度w不為零，且方向?yàn)閺耐庀蚶?。vWABa.若兩球發(fā)生正碰碰撞后的瞬間，球B獲得了速度v,而球A相對于臺面，只有轉(zhuǎn)動的角速度w。由前面的計(jì)算，球A將加速向前運(yùn)動，并且最終速度將略小于v=2/7wr所以，若Va=2/5wr比V1大了較多(即2wr>>5v0)，那么若球B沒有受阻礙，或沒有進(jìn)洞，球A追上球B并與之再次碰撞。v1=5/7v0WABva=2/7wr第八頁，共十頁，編輯于2023年，星期二若Va=2/5wr并不比V1大了較多,那么球A只是會向球B運(yùn)動，但不會與球B相碰。b.若兩球發(fā)生斜碰此時的情況與前面相似。球B獲得初速度后將向前運(yùn)動。即若沒碰到什么阻礙，它將最終達(dá)到速度v,且v略小于5/7v0，然后球B將作純滾動，并在滾動摩擦力矩的作用下漸漸停止。

球A在碰后的瞬間也是既有角速度，又有初速度，且兩速度在水平面上并不垂直，在摩擦力的作用下，球A將沿一曲線運(yùn)動，如下所示：AvBv0vaAva1第九頁，共十頁，編輯于2