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臺球中的碰撞分析第一頁,共十頁,編輯于2023年,星期二本文不過多考慮碰撞前后的運動細(xì)節(jié)。只考慮碰撞的兩球的速度變化以及此后的大致運動狀況。
ABV如圖所示,球A具有速度v,角速度w,而球B靜止的位于臺面上。球A正向球B運動過去。下面將就角速度w的大小和方向來討論兩球相撞后的運動狀況。W第二頁,共十頁,編輯于2023年,星期二1.角速度w=0此時,兩個臺球碰撞時可分為正碰和斜碰兩種,如圖1和圖2所示:圖1圖2vva,.正碰很簡單,球A與球B相互交換速度,即球A靜止,而球B以速度v向前運動ABABvAB第三頁,共十頁,編輯于2023年,星期二AABBVvBvA其中,vB為沿球A與球B的圓心連線方向vA與vB垂直,并且它們的合向量就是球A的初速度v。b.球A與球B發(fā)生斜碰時,在碰撞的瞬間,若忽略兩球間的摩擦力,則兩球只在球心連線方向上用作用力,由于兩球的碰撞近似于彈性碰撞,所以碰后球的運動將如下圖所示:vBvAV第四頁,共十頁,編輯于2023年,星期二2.角速度w不為零,且方向為從里向外。vWABa.先來看兩球發(fā)生正碰時的情況碰撞后的瞬間,球B獲得了速度v,而球A相對于臺面,已沒有了初速度v,只剩下轉(zhuǎn)動的角速度w。此后,對于球A,由于受到球與臺面間的摩擦力的作用,將向后加速,并且由牛頓定律,和角動量定理,可列出如下方程:vWAB第五頁,共十頁,編輯于2023年,星期二mdv=-f;Idw=-fr;即0.4mrdw=-f;所以:mv+0.4mwr是個守恒量;由純滾動時:v=wr得:v=2/7wr:就是說,若球A沒碰到什么阻礙,它將最終達(dá)到一個速度v,且v略小于2/7wr,此時球A將作純滾動,并在滾動摩擦力矩的作用下漸漸停止。對于球B,也類似,只不過它的最終速度為v=5/7v0,即若球B沒碰到什么阻礙,它將最終達(dá)到速度v,且v略小于5/7v0,此時球B將作純滾動,并在滾動摩擦力矩的作用下漸漸停止。V1=5/7vABvA=2/7wr第六頁,共十頁,編輯于2023年,星期二b.當(dāng)兩球發(fā)生斜碰時,情況基本與正碰相仿,只是此時球A還具有一個初速度va。這時球受到兩個摩擦分力的作用f1和f2在f1作用下,球A將具有一個向后的速度在f2的作用下,球A的角速度w將改變一個方向所以球A的運動軌跡將向后偏離,如下圖所示:AvBv0vaA球B的運動與正碰中相似。vaf1f2va1第七頁,共十頁,編輯于2023年,星期二2.角速度w不為零,且方向為從外向里。vWABa.若兩球發(fā)生正碰碰撞后的瞬間,球B獲得了速度v,而球A相對于臺面,只有轉(zhuǎn)動的角速度w。由前面的計算,球A將加速向前運動,并且最終速度將略小于v=2/7wr所以,若Va=2/5wr比V1大了較多(即2wr>>5v0),那么若球B沒有受阻礙,或沒有進(jìn)洞,球A追上球B并與之再次碰撞。v1=5/7v0WABva=2/7wr第八頁,共十頁,編輯于2023年,星期二若Va=2/5wr并不比V1大了較多,那么球A只是會向球B運動,但不會與球B相碰。b.若兩球發(fā)生斜碰此時的情況與前面相似。球B獲得初速度后將向前運動。即若沒碰到什么阻礙,它將最終達(dá)到速度v,且v略小于5/7v0,然后球B將作純滾動,并在滾動摩擦力矩的作用下漸漸停止。
球A在碰后的瞬間也是既有角速度,又有初速度,且兩速度在水平面上并不垂直,在摩擦力的作用下,球A將沿一曲線運動,如下所示:AvBv0vaAva1第九頁,共十頁,編輯于2
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