《高等數(shù)學(xué)》各章知識點(diǎn)總結(jié)-第1章

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦《高等數(shù)學(xué)》各章知識點(diǎn)總結(jié)——第1章第1章函數(shù)與極限總結(jié)

1、極限的概念（1）數(shù)列極限的定義

給定數(shù)列{xn}，若存在常數(shù)a，對于隨意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,使得對于n>N時的一切n,恒有

|xn-a|>）有定義，假如存在常數(shù)A,對于隨意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正數(shù)δ,（或存在X）使得當(dāng)x滿足不等式0時）恒有|f(x)-A|?>當(dāng)00:xxxxδ-?>當(dāng)()xXxX或時，恒有()fxAε-使得對,nN

+

?∈恒有nxM≤

（ii）若0

lim()xxfxA→=，則0M?>當(dāng)0:0xxxδ>當(dāng)xX>時，有()fxM≤

（3）局部保號性

（i）若axnn=∞

→lim且0(0)aa>時，恒有0(0)nnxx>當(dāng)0:0xxxδ時有nnnyxz≤≤

②limlimnnnnyza→∞

→∞

==，

則limnnxa→∞

=

給定函數(shù)(),(),()fxgxhx，

若①當(dāng)0

0(,)xUxr∈（或xX>）時，有()()()gxfxhx≤≤②00()

()

lim()lim()xxxxxxgxhxA→∞→∞→→==，

則0()

lim()xxxfxA→∞→=

（ii）單調(diào)有界準(zhǔn)則

給定數(shù)列{}nx，若①對nN+?∈有11()nnnnxxxx++≤≥或②()Mm?使對nN+?∈有

()nnxMxm≤≥或則limnnx→∞

存在

若()fx在點(diǎn)0x的左側(cè)鄰域（或右側(cè)鄰域）單調(diào)有界，則0

lim()xxfx-→（或0

lim()xxfx+→）存在

4、極限的運(yùn)算法則

（1）若0()

lim()xxxfxA→∞→=，0()

lim()xxxgxB→∞→=

則(i)0()

lim[()()]xxxfxgxAB→∞→±=±

(ii)0()

lim[()()]xxxfxgxAB→∞→?=?

(iii)0()

()lim

()xxxfxA

gxB

→∞→=?（0B≠）

（2）設(shè)（i）0

0()lim()xxugxgxu→==且（ii）當(dāng)0

0(,)xUxδ∈時0()gxu≠

（iii）0

lim()uufuA→=

則0

lim[()]lim()xxuufgxfuA→→==

5、兩個重要極限

（1）

0sinlim

1

xx

x→=()0sin()

lim

1()uxuxux→=

sinlim

0xxx∞→=，1limsin1xxx→∞=，01

limsin0xxx

→=

（2）1lim1x

xex→∞?

?+=???)

()(1lim1;()xuuxeux→∞??+=???

1

lim(1)x

xxe

→+=()

()0

1()

lim1();vxxvvxe→+=

6、無窮小量與無窮大量的概念（1）

若0()

lim

()0xxxxα→∞→=，即對0,0,εδ?>?>當(dāng)0:0xxxδ）

時有()xαε?>>或當(dāng)0:0xxxδ）時有()fxM>則稱當(dāng)0()()xxxfx→→∞或，無窮大量

7、無窮小量與有極限的量及無窮大量的關(guān)系，無窮小量的運(yùn)算法則（1）00()

()

lim()()(),lim

()0xxxxxxfxAfxAxxαα→∞→∞→→=?=+=其中

（2）00()

()

1

lim()0()0lim

()

xxxxxxfxfxfx→∞

→∞→→=≠?=∞（）（3）00

()

()

1

lim()lim

0()xxxxxxgxgx→∞→∞→→=∞?=（4）0()

lim()0,xxxfxM→∞

→=∞?>且當(dāng)0:0xxxδ）時有()gxM≤，則

0()

lim[()()]xxxfxgx→∞→+=∞

（5）0()

lim()00,xxxfxM→∞→=?>且當(dāng)0:0xxxδ）時有()gxM≤，則

0()

lim[()()]0xxxfxgx→∞→?=

（6）0()

lim()0(1,2,,)kxxxfxkn→∞→==L則01

()lim

()0,n

k

xkxxf

x→∞

=→=∑01

()lim

()0,n

k

xkxxf

x→∞

=→=∏

8、無窮小量的比較

000()

()

()

lim()0,lim()0,lim()0→∞→∞→∞→→→===xxxxxxxxxfxgxxα

若（1）0()

()

lim

0,()

xxxfxCgx→∞→=≠，則稱當(dāng)0()xxx→→∞或時，()fx與()gx是同階無窮小。

（2）0()

()

lim

1()

xxxfxgx→∞→=，則稱當(dāng)0()xxx→→∞或時，()fx與()gx是等價無窮小，記作()()fxgx:（0()xxx→→∞或）

。（3）0()

()

lim

0()

xxxfxgx→∞

→=，則稱當(dāng)0()xxx→→∞或時，()fx是()gx是高階無窮小，記作()(())fxogx=（0()xxx→→∞或）。

（4）0M?>0

0(,)xUxδ?∈（或xX>），有()

()

fxM

gx≤，則記()(())fxOgx=（0()xxx→→∞或）

（5）0

()

()

lim0(0)[()]k

xxxfxCkxα→∞→=≠>，則稱當(dāng)0()xxx→→∞或時，()fx是()xα是k階無窮小，

9、常用的等價無窮小

當(dāng)0x→時，有（1）sin~~arcsin~tan~arctan~ln(1)~1,+-x

xxxxxxe

（2）2

11cos~

.2

xx-（3）1~ln(01),xaxaa-?>當(dāng)0:xxxδ-<時，有0()().fxfxε-<

則稱函數(shù)()yfx=在點(diǎn)0x處延續(xù)

設(shè)()yfx=在點(diǎn)00(,]xxδ-內(nèi)有定義，若0

0lim()()xxfxfx-→=，則稱函數(shù)()yfx=在點(diǎn)0

x處左延續(xù)，

設(shè)()yfx=在點(diǎn)00[,)xxδ+內(nèi)有定義，若0

0lim()()xxfxfx+→=，則稱函數(shù)()yfx=在點(diǎn)0

x處右延續(xù)

若函數(shù)()yfx=在(,)ab內(nèi)每點(diǎn)都延續(xù)，則稱函數(shù)()yfx=在(,)ab內(nèi)延續(xù)

若函數(shù)()yfx=在(,)ab內(nèi)每點(diǎn)都延續(xù)，且lim()()xa

fxfa+→=，lim()()xb

fxfb-

→=，則稱函數(shù)()yfx=在[,]ab上延續(xù)，記作()[,]fxCab∈

（2）函數(shù)的間斷點(diǎn)

設(shè)()yfx=在點(diǎn)0x的某去心鄰域()o

Ux內(nèi)有定義

若函數(shù)()yfx=：

（i）在點(diǎn)0x處沒有定義

（ii）雖然在0x有定義,但0

limxx→f(x)不存在;

(3)雖然在0x有定義且0

limxx→f(x)存在,但0

limxx→f(x)≠f(0x);

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)0x為不延續(xù),而點(diǎn)0x稱為函數(shù)f(x)的不延續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。

設(shè)點(diǎn)0x為()yfx=的間斷點(diǎn)，

（1）0

0lim()lim()()xxxxfxfxfx+-→→?≠，則稱點(diǎn)0x為()yfx=的可去間斷點(diǎn)，若（2）

00

lim()lim()xxxxfxfx+

-?

→→≠，則稱點(diǎn)0x為()yfx=的跳動間斷點(diǎn)，

可去間斷點(diǎn)與跳動間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)

（3）0

lim()lim()xxxxfxfx+-→→=∞=∞或則稱點(diǎn)0x為()yfx=的無窮型間斷點(diǎn)，

（4）若0

lim()lim()xxxxfxfx+-→→或不存在且都不是無窮大，則稱點(diǎn)0x為()yfx=的振蕩型間

斷點(diǎn)，

無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為其次類間斷點(diǎn)11、延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算（1）延續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算若函數(shù)()fx()gx在點(diǎn)0x處延續(xù)

則0()

()(),()(),

(()0)()

fxfx

gxfxgxgxgx±?≠在點(diǎn)0x處也延續(xù)（2）反函數(shù)的延續(xù)性，

若函數(shù)()yfx=在區(qū)間xI上單調(diào)增強(qiáng)（或單調(diào)削減）且延續(xù)，則其反函數(shù)1

()xfy-=在其

對應(yīng)的區(qū)間{(),}yxIyyfxxI==∈上也單調(diào)增強(qiáng)（或單調(diào)削減）且延續(xù)。（3）復(fù)合函數(shù)的延續(xù)性

設(shè)函數(shù)[()]yfgx=由函數(shù)(),()yfuugx==復(fù)合而成，0()fgUxD?o，

若（1）0

000lim()(lim()())xxxxgxugxgxu→→===或

（2）0

0lim()()uufufu→=則0

0lim[()][lim()]()xxxxfgxfgxfu→→==

（或0

00lim[()][lim()][()]()xxxxfgxfgxfgxfu→→===）

（4）初等函數(shù)的延續(xù)性

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的（5）閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（i）有界性若()[,]fxCab∈，則()yfx