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文檔簡介
千里之行,始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦《高等數(shù)學》各章知識點總結——第1章第1章函數(shù)與極限總結
1、極限的概念(1)數(shù)列極限的定義
給定數(shù)列{xn},若存在常數(shù)a,對于隨意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,使得對于n>N時的一切n,恒有
|xn-a|>)有定義,假如存在常數(shù)A,對于隨意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正數(shù)δ,(或存在X)使得當x滿足不等式0時)恒有|f(x)-A|?>當00:xxxxδ-?>當()xXxX或時,恒有()fxAε-使得對,nN
+
?∈恒有nxM≤
(ii)若0
lim()xxfxA→=,則0M?>當0:0xxxδ>當xX>時,有()fxM≤
(3)局部保號性
(i)若axnn=∞
→lim且0(0)aa>時,恒有0(0)nnxx>當0:0xxxδ時有nnnyxz≤≤
②limlimnnnnyza→∞
→∞
==,
則limnnxa→∞
=
給定函數(shù)(),(),()fxgxhx,
若①當0
0(,)xUxr∈(或xX>)時,有()()()gxfxhx≤≤②00()
()
lim()lim()xxxxxxgxhxA→∞→∞→→==,
則0()
lim()xxxfxA→∞→=
(ii)單調有界準則
給定數(shù)列{}nx,若①對nN+?∈有11()nnnnxxxx++≤≥或②()Mm?使對nN+?∈有
()nnxMxm≤≥或則limnnx→∞
存在
若()fx在點0x的左側鄰域(或右側鄰域)單調有界,則0
lim()xxfx-→(或0
lim()xxfx+→)存在
4、極限的運算法則
(1)若0()
lim()xxxfxA→∞→=,0()
lim()xxxgxB→∞→=
則(i)0()
lim[()()]xxxfxgxAB→∞→±=±
(ii)0()
lim[()()]xxxfxgxAB→∞→?=?
(iii)0()
()lim
()xxxfxA
gxB
→∞→=?(0B≠)
(2)設(i)0
0()lim()xxugxgxu→==且(ii)當0
0(,)xUxδ∈時0()gxu≠
(iii)0
lim()uufuA→=
則0
lim[()]lim()xxuufgxfuA→→==
5、兩個重要極限
(1)
0sinlim
1
xx
x→=()0sin()
lim
1()uxuxux→=
sinlim
0xxx∞→=,1limsin1xxx→∞=,01
limsin0xxx
→=
(2)1lim1x
xex→∞?
?+=???)
()(1lim1;()xuuxeux→∞??+=???
1
lim(1)x
xxe
→+=()
()0
1()
lim1();vxxvvxe→+=
6、無窮小量與無窮大量的概念(1)
若0()
lim
()0xxxxα→∞→=,即對0,0,εδ?>?>當0:0xxxδ)
時有()xαε?>>或當0:0xxxδ)時有()fxM>則稱當0()()xxxfx→→∞或,無窮大量
7、無窮小量與有極限的量及無窮大量的關系,無窮小量的運算法則(1)00()
()
lim()()(),lim
()0xxxxxxfxAfxAxxαα→∞→∞→→=?=+=其中
(2)00()
()
1
lim()0()0lim
()
xxxxxxfxfxfx→∞
→∞→→=≠?=∞()(3)00
()
()
1
lim()lim
0()xxxxxxgxgx→∞→∞→→=∞?=(4)0()
lim()0,xxxfxM→∞
→=∞?>且當0:0xxxδ)時有()gxM≤,則
0()
lim[()()]xxxfxgx→∞→+=∞
(5)0()
lim()00,xxxfxM→∞→=?>且當0:0xxxδ)時有()gxM≤,則
0()
lim[()()]0xxxfxgx→∞→?=
(6)0()
lim()0(1,2,,)kxxxfxkn→∞→==L則01
()lim
()0,n
k
xkxxf
x→∞
=→=∑01
()lim
()0,n
k
xkxxf
x→∞
=→=∏
8、無窮小量的比較
000()
()
()
lim()0,lim()0,lim()0→∞→∞→∞→→→===xxxxxxxxxfxgxxα
若(1)0()
()
lim
0,()
xxxfxCgx→∞→=≠,則稱當0()xxx→→∞或時,()fx與()gx是同階無窮小。
(2)0()
()
lim
1()
xxxfxgx→∞→=,則稱當0()xxx→→∞或時,()fx與()gx是等價無窮小,記作()()fxgx:(0()xxx→→∞或)
。(3)0()
()
lim
0()
xxxfxgx→∞
→=,則稱當0()xxx→→∞或時,()fx是()gx是高階無窮小,記作()(())fxogx=(0()xxx→→∞或)。
(4)0M?>0
0(,)xUxδ?∈(或xX>),有()
()
fxM
gx≤,則記()(())fxOgx=(0()xxx→→∞或)
(5)0
()
()
lim0(0)[()]k
xxxfxCkxα→∞→=≠>,則稱當0()xxx→→∞或時,()fx是()xα是k階無窮小,
9、常用的等價無窮小
當0x→時,有(1)sin~~arcsin~tan~arctan~ln(1)~1,+-x
xxxxxxe
(2)2
11cos~
.2
xx-(3)1~ln(01),xaxaa-?>當0:xxxδ-<時,有0()().fxfxε-<
則稱函數(shù)()yfx=在點0x處延續(xù)
設()yfx=在點00(,]xxδ-內有定義,若0
0lim()()xxfxfx-→=,則稱函數(shù)()yfx=在點0
x處左延續(xù),
設()yfx=在點00[,)xxδ+內有定義,若0
0lim()()xxfxfx+→=,則稱函數(shù)()yfx=在點0
x處右延續(xù)
若函數(shù)()yfx=在(,)ab內每點都延續(xù),則稱函數(shù)()yfx=在(,)ab內延續(xù)
若函數(shù)()yfx=在(,)ab內每點都延續(xù),且lim()()xa
fxfa+→=,lim()()xb
fxfb-
→=,則稱函數(shù)()yfx=在[,]ab上延續(xù),記作()[,]fxCab∈
(2)函數(shù)的間斷點
設()yfx=在點0x的某去心鄰域()o
Ux內有定義
若函數(shù)()yfx=:
(i)在點0x處沒有定義
(ii)雖然在0x有定義,但0
limxx→f(x)不存在;
(3)雖然在0x有定義且0
limxx→f(x)存在,但0
limxx→f(x)≠f(0x);
則函數(shù)f(x)在點0x為不延續(xù),而點0x稱為函數(shù)f(x)的不延續(xù)點或間斷點。
設點0x為()yfx=的間斷點,
(1)0
0lim()lim()()xxxxfxfxfx+-→→?≠,則稱點0x為()yfx=的可去間斷點,若(2)
00
lim()lim()xxxxfxfx+
-?
→→≠,則稱點0x為()yfx=的跳動間斷點,
可去間斷點與跳動間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點
(3)0
lim()lim()xxxxfxfx+-→→=∞=∞或則稱點0x為()yfx=的無窮型間斷點,
(4)若0
lim()lim()xxxxfxfx+-→→或不存在且都不是無窮大,則稱點0x為()yfx=的振蕩型間
斷點,
無窮間斷點和振蕩間斷點統(tǒng)稱為其次類間斷點11、延續(xù)函數(shù)的運算(1)延續(xù)函數(shù)的四則運算若函數(shù)()fx()gx在點0x處延續(xù)
則0()
()(),()(),
(()0)()
fxfx
gxfxgxgxgx±?≠在點0x處也延續(xù)(2)反函數(shù)的延續(xù)性,
若函數(shù)()yfx=在區(qū)間xI上單調增強(或單調削減)且延續(xù),則其反函數(shù)1
()xfy-=在其
對應的區(qū)間{(),}yxIyyfxxI==∈上也單調增強(或單調削減)且延續(xù)。(3)復合函數(shù)的延續(xù)性
設函數(shù)[()]yfgx=由函數(shù)(),()yfuugx==復合而成,0()fgUxD?o,
若(1)0
000lim()(lim()())xxxxgxugxgxu→→===或
(2)0
0lim()()uufufu→=則0
0lim[()][lim()]()xxxxfgxfgxfu→→==
(或0
00lim[()][lim()][()]()xxxxfgxfgxfgxfu→→===)
(4)初等函數(shù)的延續(xù)性
一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是延續(xù)的(5)閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質
(i)有界性若()[,]fxCab∈,則()yfx
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