2021年安徽省滁州市天長(zhǎng)仁和中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021年安徽省滁州市天長(zhǎng)仁和中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中點(diǎn)，G是棱DD′的中點(diǎn)，則異面直線GB與B′E所成的角為（）A．120° B．90° C．60° D．30°參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】以D為原點(diǎn)，建立空間直線坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出異面直線GB與B′E所成的角．【解答】解：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為2，則G（0，0，1），B（2，2，0），B′（2，2，2），E（1，2，0），∴，，∵=﹣2+0+2=0，∴，∴異面直線GB與B′E所成的角為90°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成的角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．2.直線(t為參數(shù))過(guò)圓x2+y2-2ax+ay+=0的圓心，則圓心坐標(biāo)為（

）（A）（--）

(B)（-）

（（C）（-）

(D)（）參考答案：3.若復(fù)數(shù)的積為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于

（

）

A．3

B．5

C．6

D．7

參考答案：A略4.要得到函數(shù)y=sin（2x-)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象(

)

A．向右平移

B．向右平移

C．向左平移

D．向左平移參考答案：B略5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.復(fù)數(shù)=A．2i B．-2i C．2 D．-2參考答案：A7.已知集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為

A．5

B．4

C．3

D．2參考答案：D8.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于C,=2,則BCF與ACF的面積之比=（

）A． B．

C． D．

參考答案：A

9.試在拋物線上求一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（

)(A).第10項(xiàng)

（B).第9項(xiàng)（C).第8項(xiàng)（D):第7項(xiàng)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量x,y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)________.參考答案：312.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是參考答案：48種略13..某校某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為密度曲線如右圖，已知該校學(xué)生總數(shù)是10000人,則成績(jī)位于的人數(shù)約是

.

參考答案：9544略14.若點(diǎn)（m，n）在直線4x+3y﹣10=0上，則m2+n2的最小值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】由題意知所求點(diǎn)（m，n）為直線上到原點(diǎn)距離最小值的平方，由此能求出m2+n2的最小值【解答】解：解：由題意知m2+n2的最小值表示點(diǎn)（m，n）為直線上到原點(diǎn)最近的點(diǎn)，由原點(diǎn)到直線的距離為，∴m2+n2的最小值為4；故答案為：4．15.如圖1，圓O上的一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為

．

參考答案：10略16.圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線3x+4y+8=0距離的最小值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)Q為過(guò)圓心作直線的垂線與圓的交點(diǎn)的時(shí)候，Q到已知直線的距離最短，所以利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后減去半徑即可求出最短距離．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，所以圓心A（1，1），圓的半徑r=1，則圓心A到直線3x+4y+8=0的距離d==3，所以動(dòng)點(diǎn)Q到直線距離的最小值為3﹣1=2故答案為：217.如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP=α，則矩形ABCD的面積最大是．參考答案：【考點(diǎn)】扇形面積公式．【專題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來(lái)，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解答】解：如圖，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，=tan60°=，所以O(shè)A=DA=BC=sinα．所以AB=OB﹣OA=cosα﹣sinα．設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB?BC=（cosα﹣sinα）sinα=sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣=sin（2α+）﹣．由于0＜α＜，所以當(dāng)2α+=，即α=時(shí)，S最大=﹣=．因此，當(dāng)α=時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，求解問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，點(diǎn)M是棱AA1的中點(diǎn)．（1）求證：A1C∥平面BMD；（2）求證：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱錐B﹣AMD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可證明A1C∥平面BMD；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明A1O⊥平面ABCD；（3）利用體積轉(zhuǎn)化法即可求三棱錐B﹣AMD的體積．【解答】證明：（1）連結(jié)MO，則?MO∥AC，∵M(jìn)O?平面BMD，A1C?平面BMD，∴A1C∥平面BMD．（2）∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥平面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD=60°，∴AO=，AA1=，cos∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD；（3）體積轉(zhuǎn)換法：∵A1O⊥平面ABCD，M為A1O的中點(diǎn)，∴M到平面ABCD的距離為，三角形ABD的面積為，．19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0且x≠1）.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）已知2＞xa對(duì)任意x∈（0，1）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1）f′(x)=-，若f′(x)=0,則x=.列表如下：x（0，）（，1）（1，+）+0--f(x)單調(diào)增極大值f()單調(diào)減單調(diào)減

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（0,），單調(diào)減區(qū)間為（,1）和（1，+∞）.（2）在2＞xa兩邊取對(duì)數(shù)，得ln2＞alnx.由于x∈(0,1)，所以＞.

①由（1）的結(jié)果知，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)≤f（）=-e.為使①式對(duì)所有x∈(0,1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)＞-e,即a＞-eln2.略20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值；（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值.參考答案：（1）

（2）時(shí)略21.（本小題滿分13分）

已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意N，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出

的最小值，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：解：設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則……………4分所以……………6分（2）存在正實(shí)數(shù)，使不等式恒成立，即對(duì)任意N