2022-2023學(xué)年山東省濟南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2022-2023學(xué)年山東省濟南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）（2x+iy的展開式中/的系數(shù)是（)

A.21B.42C.84D.168

2.（5分）下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）

A.（.-）'=X-2B.(2Ay=27/z2

X

C.{Inlxy^—D.(sin—/=cos—

2x66

3.（5分）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：

X3579

Y6.5542.5

得到經(jīng)驗回歸方程為》=去+4,則（）

A.a<0,h<0B.a>Q,h>0C.GvO,>0D.Zz>0,ft<0

4.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五個人站成一排，甲乙不相鄰的排列方法有（）

A.12種B.48種C.72種D.120種

5.（5分）目前國家為進一步優(yōu)化生育政策，實施一對夫妻可以生育三個子女政策.假定生

男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機選擇一個有三個小孩的家庭，如果已經(jīng)知道這個家庭有女

孩，那么在此條件下該家庭也有男孩的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

7247

6.（5分）濟南市為實現(xiàn)“節(jié)能減排，綠色出行”，自2018年起大力推廣新能源出租車、網(wǎng)

約車.截至目前，全市出租車已有38%換裝為新能源汽車，網(wǎng)約車中更是有51%的車輛為

新能源汽車.某人從泉城廣場通過手機軟件打車功能，同時呼叫出租車與網(wǎng)約車，該軟件平

臺向附近42輛出租車和21輛網(wǎng)約車推送接單信息（假設(shè)平臺呼叫范圍內(nèi)新能源車比例與全

市區(qū)域相同，每位司機接單機會相同），該乘客被新能源汽車接單的概率約為（）

A.42.3%B.44.5%C.46.7%D.50%

7.（5分）攣生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個數(shù)學(xué)問題之一，2013年華人數(shù)學(xué)

家張益唐證明了攣生素數(shù)猜想的一個弱化形式，可以直觀的描述為：存在無窮多個素數(shù)p,

使得p+2是素數(shù).素數(shù)對(p,p+2)稱為李生素數(shù)對.從8個數(shù)對(3,5),(5,7),(7,9),(9,11),

(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)中任取3個，設(shè)取出的攣生素數(shù)對的個數(shù)為X,則召(X)=(

)

33

A.B.2C.D.3

822

8.(5分)己知函數(shù)/(幻的定義域為R,Ax)>l,f(1)=一1,則/(x)>x-2的解集為

)

A.(-oo,l)B.(l,4^o)C.(-00,-1)D.(-l,+oo)

二、選擇題：本題共4小題.每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(5分)在d-xF的展開式中，下列說法正確的是()

X

A.常數(shù)項是20B.第4項的二項式系數(shù)最大

C.第3項是15/D.所有項的系數(shù)的和為0

10.(5分)目前有望戰(zhàn)勝新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接種預(yù)防.裝疫苗的玻璃瓶

用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)(簡稱：膨脹系

數(shù)).某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)X|服從正

態(tài)分布N(4.4,0.09),乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)X?服從正態(tài)分布N(4.7,0.01),則下

列選項正確的是()

附：若隨機變量X~N(〃,4),則尸(〃-cr<X<〃+<7)=0.6827.

A.甲生產(chǎn)線硼硅玻璃膨脹系數(shù)范圍在(4.1,4.7)的概率約為0.6827

B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中

C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃膨脹系數(shù)不能超過5.則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的硼硅玻璃符合標

準的概率更大

D.乙生產(chǎn)線所產(chǎn)的砌硅玻璃膨脹系數(shù)小于4.5的概率與大于4.8的概率相等

11.(5分)已知由樣本數(shù)據(jù)(x,,y),i=l,2,3,4,5,6求得的經(jīng)驗回歸方程為夕=2x+l,

且無=3.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一個樣本數(shù)據(jù)(8,12)誤差較大，去除該數(shù)據(jù)后重新求得的經(jīng)驗回歸直線/的

縱截距依然是1,則下列說法正確的是()

A.去除前變量x每增加1個單位，變量y一定增加2個單位

B.去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中x的平均數(shù)為2

C.去除后的經(jīng)驗回歸方程為9=2.5x+l

D.去除后相關(guān)系數(shù)r變大

12.（5分）已知函數(shù)=a為常數(shù),若函數(shù)f（x）有兩個零點玉，x,,則下列說

法正確的是（）

2

A.xtlnx2=x2lnxtB.2e<xt+x2<e

,11

C?%%>eD?---+---->2

lnxxlnx2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知隨機變量X的分布如表，則￡>（X）=.

X01

Pa2a

14.（5分）為調(diào)查某企業(yè)年利潤y（單位：萬元）和它的年研究費用x（單位：萬元）的相

關(guān)性，收集了5組成對數(shù)據(jù)（x,y）,如表所示：

X12345

Y50607080100

由上表中數(shù)據(jù)求得丫關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=12x+a,據(jù)此計算出樣本點（4,80）處的殘

差（殘差=觀測值-預(yù)測值）為一.

15.（5分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校舉行文藝匯演.該校音樂組9名教師

中3人只會器樂表演，5人只會聲樂表演，1人既會器樂表演又會聲樂表演，現(xiàn)從這9人中

選出3人參加器樂表演，4人參加聲樂表演，每人只能參加一種表演，共有一種不同的

選法.（用數(shù)字作答）

16.（5分）已知函數(shù)fM=e2x,g（x）=蛆里，若/（x）圖象向下平移左伏>0）個單位后與g（x）

X

的圖象有交點，則女的最小值為一.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知函數(shù)/。）=必？+6x2+CX+1在x=l處有極值，其圖象經(jīng)過點（2,3）,且

r（o）=-i.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)f（x）在x=-l處的切線方程.

18.（12分）為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對100名患者中的一部分患者采用了外科

療法，另一部分患者采用了化學(xué)療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形

圖，如下：

（1）根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2x2列聯(lián)表：

療法療效合計

未治愈治愈

外科療法

化學(xué)療法18

合計100

（2）依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析此種疾病治愈率是否與治療方法有關(guān).

n(ad-be)2

附：X2（如需計算X2，結(jié)果精確到0.001）

(a+h)(c+d))(a+c){b+d)

T獨立性檢驗中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

oD.o

9Mo?

'/

8oo

'/

7oo

-/

6oo口治愈

?

5o.o

'.

4oo口未治愈

3oo

/

2oo

?

1oo

-/

oo

19.（12分）某商場舉辦店慶活動，消費者憑借購物發(fā)票進行現(xiàn)場抽獎.抽獎盒中裝有3個

紅球和2個黃球，這些球除顏色外完全相同.抽獎規(guī)則為：抽獎?wù)咭淮螐闹忻?個小球,

若摸到2個紅球就中獎，否則均為不中獎.小球用后放回盒子，下一位抽獎?wù)呃^續(xù)抽獎.

（1）求每一位抽獎?wù)咧歇劦母怕剩?/p>

(2)現(xiàn)有甲，乙、丙三人依次抽獎，用X表示中獎的人數(shù)，求X的分布列及均值.

20.(12分)已知函數(shù)/'(x)=-(34+l)x+3a+2].

(1)當a=2時,求函數(shù)八力的極值;

(2)當a<l時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

21.(12分)2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.小明在做多選題的第

11題、第12題時通常有兩種策略：

策略A：為避免有選錯的得0分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選

題當作“單選題”來做.這種策略每個題耗時約3分鐘.

策略8：爭取將該問題得5分，選出自己認為正確的全部選項.這種策略每個題耗時約6

分鐘.某次數(shù)學(xué)考試臨近，小明通過前期大量模擬訓(xùn)練得出了其各種策略下11題和12題的

作答情況如下：

第11題：如果采用策略A,選對一個選項的概率為0.8,采用策略5,部分選對的概率為

0.5,全部選對的概率為0.4；第12題：如果采用策略A,選對一個選項的概率為0.7,采用

策略8,部分選對的概率為0.6,全部選對的概率為0.3.

如果這兩題總用時超過10分鐘，其他題目會因為時間緊張少得2分.假設(shè)小明作答兩題的

結(jié)果互不影響.

(1)若小明同學(xué)此次考試中決定11題采用策略8、12題采用策略A,設(shè)此次考試他11題

和12題總得分為X,求X的分布列；

(2)小明考前設(shè)計了以下兩種方案：

方案1:11題采用策略3,12題采用策略A；

方案2:11題和12題均采用策略8.

如果你是小明的指導(dǎo)老師，從整張試卷盡可能得分更高的角度出發(fā)，根據(jù)小明的實際情況,

你贊成他的第幾種方案，并說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=/nx-ar+l.

(1)若/(x),,0恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)求證：當“e%時，l+’H■—+…+!+2>岳(〃+1)+(1+工)"成立.

23nn

2022-2023學(xué)年山東省濟南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）（2x+l）7的展開式中/的系數(shù)是（）

A.21B.42C.84D.168

【解答】解：（2x+l）7二項展開式的通項公式為卻|=a-（2x）7，T=a"-Jx",

令7f=2,解得r=5,

所以f的系數(shù)是C；22=84.

故選：C.

2.（5分）下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）

A.（-7=%-2B.（2*）'=2*/〃2

X

\7T7T

C.（In2x）r=—D.（sin—/=cos—

2x66

【解答】解：=—V?（/〃2x）=—x2=—?（sin—）r=0?故A、C。錯誤.

x廠2xx6

故選：B.

3.（5分）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):

X3579

Y6.5542.5

得到經(jīng)驗回歸方程為9=去+4,則（）

A.a<0h<0B.a>0,>0C.a<0,h>0D.6>0,<0

【解答】解：由表格可知，丫隨著工的值增加而減小，

故各<0,

又當x=0時，y應(yīng)該大于6.5,

故4>0.

故選：D.

4.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五個人站成一排，甲乙不相鄰的排列方法有（）

A.12種B.48種C.72種D.120種

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析:

①先將丙、丁、戊三人排好，有用=6種排法，

②排好后，有4個空位，將甲乙安排在空位中，有片=12種排法，

則甲乙不相鄰的排列方法6x12=72種；

故選：C.

5.（5分）目前國家為進一步優(yōu)化生育政策，實施一對夫妻可以生育三個子女政策.假定生

男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機選擇一個有三個小孩的家庭，如果已經(jīng)知道這個家庭有女

孩，那么在此條件下該家庭也有男孩的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

7247

【解答】解：隨機選擇一個有三個小孩的家庭，知道這個家庭有女孩，

基本事件有：

（女女女），（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共7個，

其中該家庭也有男孩包含的基本事件有：

（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共6個，

，已經(jīng)知道這個家庭有女孩的條件下該家庭也有男孩的概率是P=-.

7

故選：D.

6.（5分）濟南市為實現(xiàn)“節(jié)能減排，綠色出行”，自2018年起大力推廣新能源出租車、網(wǎng)

約車.截至目前，全市出租車已有38%換裝為新能源汽車，網(wǎng)約車中更是有51%的車輛為

新能源汽車.某人從泉城廣場通過手機軟件打車功能，同時呼叫出租車與網(wǎng)約車，該軟件平

臺向附近42輛出租車和21輛網(wǎng)約車推送接單信息（假設(shè)平臺呼叫范圍內(nèi)新能源車比例與全

市區(qū)域相同，每位司機接單機會相同），該乘客被新能源汽車接單的概率約為（）

A.42.3%B.44.5%C.46.7%D.50%

【解答】解：新能源汽車接單的概率約為蹙學(xué)士”衛(wèi)“0.423=42.3%.

42+21

故選：A.

7.（5分）攣生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個數(shù)學(xué)問題之一，2013年華人數(shù)學(xué)

家張益唐證明了攣生素數(shù)猜想的一個弱化形式，可以直觀的描述為：存在無窮多個素數(shù)p,

使得p+2是素數(shù).素數(shù)對（p,p+2）稱為李生素數(shù)對.從8個數(shù)對（3,5）,（5,7）,（7,9）,（9,11）,

(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)中任取3個，設(shè)取出的攣生素數(shù)對的個數(shù)為X,則E(X)=(

)

313

A.-B.-C.-D.3

822

【解答】解：由題意可知,這8個數(shù)對中只有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)是李生素數(shù)對，

則X的可能取值為0,1,2,3,

故P(X=0)=等」，

C：14

2l

P(X=])=^C￡C=23,

C；7

[2

產(chǎn)(乂=2)=C/C"=士3

C；7

3

p(X=3)=-r°^c-=—1

c；14

I3313

所以E(X)=0x—+lx—+2*—+3x—=3.

1477142

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,f'(x)>1,f(1)=一1,則/(x)>x-2的解集為

()

A.(—oo,l)B.(l,4-oo)C.(-oo,-1)D.(—l,+oo)

【解答】解：不等式/(x)>x-2等價于/(x)—x+2>0,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=〃x)—x+2,

又尸(1)=f(1)一1+2=0,不等式等價于尸(x)>尸(1).

因為F，(x)=f(x)_l>0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增，所以不等式的解為x>l.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(5分)在(1-x)6的展開式中，下列說法正確的是()

X

A.常數(shù)項是20B.第4項的二項式系數(shù)最大

C.第3項是15/D.所有項的系數(shù)的和為0

【解答】解：(1一b6的二項展開式的通項公式為力+，=6.(1)6，(一幻’=€1；-針-6.(_1)，，

XX

對于A,當2—6=0,即r=3時，常數(shù)項為7；=C；《-1)3=-20,故選項A錯誤;

對于8,第4項的二項式系數(shù)為C；是最大的，故選項5正確；

對于C,第3項是[=C；-X-2《_I)2=]5X-2,故選項。錯誤；

對于。，令x=l,WJ(--x)6=(l-l)6=0,故所有項的系數(shù)的和為0,故選項。正確.

X

故選：BD.

10.(5分)目前有望戰(zhàn)勝新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接種預(yù)防.裝疫苗的玻璃瓶

用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)(簡稱：膨脹系

數(shù)).某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)X,服從正

態(tài)分布N(4.4,0.09),乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)服從正態(tài)分布N(4.7,0.01),則下

列選項正確的是()

附：若隨機變量X~N(〃Q2),貝IJP(〃-b<X<〃+b)*0.6827.

A.甲生產(chǎn)線硼硅玻璃膨脹系數(shù)范圍在(41,4.7)的概率約為0.6827

B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中

C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃膨脹系數(shù)不能超過5.則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的硼硅玻璃符合標

準的概率更大

D.乙生產(chǎn)線所產(chǎn)的砌硅玻璃膨脹系數(shù)小于4.5的概率與大于4.8的概率相等

【解答】解：對于A,由題意可知，M=4.4,cr,=0.3,4=4.7,cr2=0.1,

所以P(4.1<X1<4.7)=尸(4-0<X1+0)=0.6827,

故選項A正確；

對于由于6,>%，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨

脹系數(shù)數(shù)值更不集中，

故選項8錯誤；

對于C,

尸微?尸(必<澈、)？

(X15)=P(X]+2b)=g+XW+5)+PR+er,<X,4+=0.84135+P(4+cr,<X]4+2trt)

P(X掇5)=P(X24+初)=；+「(用<X費3+/)+P(〃2+%<X,任+3/)=0.84135+P(M+/<X/4+3%)

所以乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的硼硅玻璃符合標準的概率更大，

故選項C正確；

對于￡),P(X2<4.5)=P(X2<ju2-2(T,),

P(X2>4.8)=P(X2>/z2+2(T2),

則尸(X2<4.5)RP(X2>4.8),

故選項D錯誤.

故選：AC.

11.(5分)已知由樣本數(shù)據(jù)(x,,y),i=l，2,3,4,5,6求得的經(jīng)驗回歸方程為亍=2尤+1,

且5=3.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一個樣本數(shù)據(jù)(8』2)誤差較大，去除該數(shù)據(jù)后重新求得的經(jīng)驗回歸直線/的

縱截距依然是1,則下列說法正確的是()

A.去除前變量x每增加1個單位，變量y一定增加2個單位

B.去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中x的平均數(shù)為2

C.去除后的經(jīng)驗回歸方程為￡=2.5x+l

D.去除后相關(guān)系數(shù)r變大

【解答】解：當元=3時，y=2x3+l=7,

66

因為￡助=18,±6y=42,

/=1i=l

所以去掉樣本數(shù)據(jù)(8,12)的新數(shù)據(jù)中，

66

2y一12

x'=-^-----=2,7=-^-------=6,

55

設(shè)去除該數(shù)據(jù)后重新求得的回歸直線/為y=6+1,

又2。+1=6,解得。=2.5,故"2.5x+l,

對于力，去除前變量x每增加1個單位，變量y大于增加2個單位，故選項A錯誤；

對于8,去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中x的平均數(shù)為2,故選項8正確；

對于C,去除后的經(jīng)驗回歸方程為？=2.5x+l,故選項C正確；

對于。，去除了誤差較大的樣本數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)r變大，故選項。正確.

故選：BCD.

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=/nx-ar,。為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點不，x2,則下列說

法正確的是()

2

A.xjnx2=x2lnx]B.2e<xt+x2<e

C?%D?-----4------->2

lnxAbvc2

【解答】解：因為/(x)有兩個零點石，x2,不妨設(shè)王<￡，

所以/nx-ox=0在(0,+oo)上有兩個根，

即。=媽在(0,y)上有兩個根，

X

人/、欣/2

令y=Q，g(%)=——(x>0),

X

則y=a與^(x)=—(x>0)有兩個交點，

x

當x〉e時，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當Ovxve時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x),,g(e)=-,

e

所以0<。<一，O<X]<e,x2>e,

對于A：根據(jù)題意可得/g-叫=0,lnx2-ar2=0,

所以lnxx=axA,lnx2=ax2,

所以她="，

lnx2ax2

即%1吟=x2lnx1,故A正確；

對于8:

當a-?0+時，七一+8，此時再+工2>/,所以3錯誤,

對于C,

lnxx=ax],lnx2=ax2,令，=三>1,則占=歷，

所以她=

lnx2x2lnxx+lnttt-\

所以Inx^=ln(tx{)=lnt+Inx、=Int+上彳=

則/叫+lnx2-"+,下面證明lnx}+lnx2>2,

即證a+D包>2,即證/">也二D,即證/川一型二D>o,

t-\t+\r+1

令心)=.一箸'〃(加黑9°'

所以函數(shù)〃(幻在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，當x>l時，h(x)>h(1)=0,

所以/m-電——>0,所以/g+加占>2=>X]X>>/,故c正確.

r+1

對于。：不妨設(shè)％<工2,

則/叫-ax,=0,lnx2一%=0,

所以lnx2-bvcx=a(x2一玉)，

要證-L+」->2,

lnx}lnx2

只需證工+'->2。，

玉工2

只需證士也>a,

2x)x,

只需證：士+注:gT3

2xtx2X2-x,

只需證：互二仁〉/〃紅，

2X1X2%

只需證：/〃X<L(X_±),

%2X1

令”三Y>1,即證/〃11

%2t

設(shè)e(t)—Int——(f—),

2/-/2-1

則所學(xué)<0,

所以夕⑺在(1,+00)上單調(diào)遞減,

則(p(t)<(p(1)=0,

即「L+」—>2,故。正確;

lnxxlnx2

故選：ACD.

2

,則O(X)=_§_

122

￡(X)=Ox—+lx—=—.

333

7I7??

22

Z)(X)=(0--)x-+(l--)x-=-

33339

故答案為：

9

14.（5分）為調(diào)查某企業(yè)年利潤y（單位：萬元）和它的年研究費用X（單位：萬元）的相

差（殘差=觀測值-預(yù)測值）為

【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，亍J+2+3+4+5=3,

5

,50+60+70+80+100”

y=-------------------=72,

5

所以12x3+4=72,解得a=36,

所以y=12x+36，

當x=4時，y=4xl2+36=84,

所以殘差=觀測值-預(yù)測值=80-84=T.

故答案為：-4.

15.(5分)為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校舉行文藝匯演.該校音樂組9名教師

中3人只會器樂表演，5人只會聲樂表演，1人既會器樂表演又會聲樂表演，現(xiàn)從這9人中

選出3人參加器樂表演，4人參加聲樂表演，每人只能參加一種表演，共有30種不同

的選法.(用數(shù)字作答)

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①只會器樂表演的3人全部被選中，參加器樂表演，需要從剩下6人中選出4人參加聲樂表

演，有C：=15種選法，

②從只會器樂表演的3人選出2人，和既會器樂表演又會聲樂表演的1人共同參加器樂表演,

有C；C；=15種選法,

則有15+15=30種選法,

故答案為：30.

16.(5分)已知函數(shù)f(x)==色出，若/(x)圖象向下平移k(k>0)個單位后與g(x)

X

的圖象有交點，則&的最小值為2.

【解答】解：若/(x)圖象向下平移網(wǎng)%>0)個單位后與g(x)的圖象有交點,

貝IIf(x)-k=,在(0,內(nèi))上有解,

X

所以4=y(x)-"已=e2，-”里，在(0,”)上有解,

XX

人，,、2rInx+X

令h(x)=e-------,x>0,

7x-(/nx+l)2xVr+/ax

hXx)=2e2x2-2

令p(x)=2x2e2x+Inx,

p\x)=4%e2x+4x2e2v+-=4xe2'(l+x)+->0,

xx

所以p(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

且X—>0時，f(x)fHO；Xf+8時，/(x)->4-00,

所以存在%￡(0,+oo),使得p(Xo)=O,①

即+/"x0=0,

令"，則

f=2x0t+Int-2x0=0,

即2天)。-1)+"a=0,

令,則單調(diào)遞增,

q(t)=2x0(r-l)+Intq(t)

又，=1時，q(1)=0,

所以收/陽=1,即e2?0=’②

X。

所以由①得，在(0,%)上，p(x)<0,〃(幻<0,〃*)單調(diào)遞減，

在(％,+oo)上，p(x)>0,h\x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

t-r-..I2v/〃X0+12AX—+1

所以九f(x)加〃=〃f(/)=e%——--=e%------------------

/%

」，

i+2Aoe2%

把②代入得，瓜XM2xu

)”=h(x0)=2xoe=2,

所以及..2,

所以女的最小值為2.

故答案為：2.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知函數(shù)/。)=渥+加+以：+1在》=1處有極值，其圖象經(jīng)過點(2,3),且

r(o)=-i.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)在x=-l處的切線方程.

【解答】解：(1)因為函數(shù)/*)=加+加+CX+1,

則/'(x)=30r2+2bx+c,

7(2)=32a+4〃+2c+l=3

由題意可得，,r(o)=-i,BP-c=—i,

./?'⑴=0Via+2b+c=0

解得a=l,b=—\,c=—1

經(jīng)檢驗，f(x)=融3+6/+cx+l在x=l處有極值，

故f(x)=x3-x2-x+1；

(2)由(1)可得，,f(x)=x3-x2-x+\,

則/(一1)=0，所以切點坐標為(T,0),

又f'M=3x2-2x-l,

所以((—1)=4,

故切線的斜率為4,

所以切線方程為y=4(x+l),即4x-y+4=0.

18.(12分)為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對100名患者中的一部分患者采用了外科

療法，另一部分患者采用了化學(xué)療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形

圖，如下：

(1)根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2x2列聯(lián)表：

療法療效合計

未治愈治愈

外科療法

化學(xué)療法18

合計100

(2)依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析此種疾病治愈率是否與治療方法有關(guān).

附：X2=------n(ad-bcf-------(如需計算結(jié)果精確到0.001)

(a+b)(c+d))(a+c)(b+d)

X?獨立性檢驗中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

%

治煎率等高堆積條形圖

口治愈

口未治愈

【解答】解：（1）由題意可得，2x2列聯(lián)表如下:

療法療效合計

未治愈治愈

外科療法202040

化學(xué)療法421860

合計6238100

（2）零假設(shè)為H。：是否治愈與治療方法無關(guān)聯(lián).

由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，X2J*⑶-18x42）：4as>3.841,

40x60x62x38

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們能推斷義不成立，即認為是否治愈與治療方法

有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

19.（12分）某商場舉辦店慶活動，消費者憑借購物發(fā)票進行現(xiàn)場抽獎.抽獎盒中裝有3個

紅球和2個黃球，這些球除顏色外完全相同.抽獎規(guī)則為：抽獎?wù)咭淮螐闹忻?個小球,

若摸到2個紅球就中獎，否則均為不中獎.小球用后放回盒子，下一位抽獎?wù)呃^續(xù)抽獎.

（1）求每一位抽獎?wù)咧歇劦母怕剩?/p>

（2）現(xiàn)有甲，乙、丙三人依次抽獎，用X表示中獎的人數(shù)，求X的分布列及均值.

【解答】解：（1）設(shè)事件A為“抽獎?wù)攉@獎”，

則尸（A）吟

（2）由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,

37

則P(x=0)=Cf(—)°(p)3=0,343,

37

P(X=1)=C](^)'(—)2=0.44l,

37

P(X=2)=C；(二『(—)'=0.189,

31010

37

P(x=3)=C；(常(元)。=0.027,

故X的分布列為:

X0123

p0.3430.4410.1890.027

9

所以E(X)=0x0.343+lx0.441+2x0.189+3x0.027=^.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=?*卬2-(3a+l)x+3a+2].

(1)當。=2時，求函數(shù)“X)的極值；

(2)當時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

【解答】解：(1)因為函數(shù)f(x)="[ox2-(3a+i)x+3a+2],

當a=2時，f(x)=e'(2x2-lx+8),則尸(x)=2/(x-g)(x-1),

令f\x)=0,解得*=(，x=1,

當時，/'(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增，

當;<x<l時，/'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減，

當x>l時,f\x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

所以當x=g時，函數(shù)f(x)取得極大值/(；)=5&,

當x=l時,函數(shù)/(X)取得極小值/(1)=3e；

(2)f(x)=ex(ax-Y)(x-l),

①當a=0時，由:(x)=e*(l-x)=0,可得x=l,

當x<l時，f(x)>0,當x>l時，-(x)<0,

所以/(%)在(-00,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減；

②當a<0時，由/'(x)=ae*(x—L)(x—l),貝

aa

令/'(%)=。,則1=—,x=\,

a

當或X>1時，f'(x)<0,當4<X<1時，f'(x)>0,

aa

所以/(X)在(TO」)和(1,田)上單調(diào)遞減，在d，1)上單調(diào)遞增；

aa

③當Ocacl時，由尸(x)=ae*(x—L)(x-l),則4>1,

aa

令r(X)=。，則工=,，x=i,

a

當xvl或時，f'M>0,當1cxe,時，/z(x)<0,

aa

所以/(X)在(-00,1)和d，+00)上單調(diào)遞增，在(1」)上單調(diào)遞減.

aa

綜上所述，當QVO時，/⑴在(-002)和(L+O0)上單調(diào)遞減，在(L1)上單調(diào)遞增；

aa

當a=0時，f(x)在(YO,1)上單調(diào)遞增，在(1,+oo)上單調(diào)遞減；

當0<4<1時，/(X)在(-00,1)和(L,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3上單調(diào)遞減.

aa

21.(12分)2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.小明在做多選題的第

11題、第12題時通常有兩種策略：

策略A：為避免有選錯的得。分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選

題當作“單選題”來做.這種策略每個題耗時約3分鐘.

策略8：爭取將該問題得5分，選出自己認為正確的全部選項.這種策略每個題耗時約6

分鐘.某次數(shù)學(xué)考試臨近，小明通過前期大量模擬訓(xùn)練得出了其各種策略下11題和12題的

作答情況如下：

第11題：如果采用策略A,選對一個選項的概率為0.8,采用策略8,部分選對的概率為

0.5,全部選對的概率為0.4；第12題：如果采用策略A,選對一個選項的概率為0.7,采用

策略3,部分選對的概率為0.6,全部選對的概率為0.3.

如果這兩題總用時超過10分鐘，其他題目會因為時間緊張少得2分.假設(shè)小明作答兩題的

結(jié)果互不影響.

(1)若小明同學(xué)此次考試中決定11題采用策略3、12題采用策略A,設(shè)此次考試他11題

和12題總得分為X,求X的分布列；

(2)小明考前設(shè)計了以下兩種方案：

方案1:11題采用策略8,12題采用策略A；

方案2:11題和12題均采用策略8.

如果你是小明的指導(dǎo)老師，從整張試卷盡可能得分更高的角度出發(fā)，根據(jù)小明的實際情況,

你贊成他的第幾種方案，并說明理由.

【解答】解：(1)設(shè)事件與為''第11題得0分”，事件”為