2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高一年級期末教學(xué)質(zhì)量檢測試卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知命題p：Vxe{LT0},2x+l>0,則p的否定是（）

A3xe{l,-l,0}；2x+l<0B*G{LT，°},2X+1>0

C.Vxw2x+1<0口.**O,-1,。},2x+l<0

【答案】A

【解析】

【分析】利用全稱命題的否定方法，改變量詞，否定結(jié)論可得答案.

【詳解】TXG{1,-1,0},2x+l〉0的否定為：*W，-1,0},2X+140

故選：A.

2.設(shè)集合口'兀I?'兀則下列判斷正確的是（）

A.A=BB.B=A

cAr\B=A0B=A

【答案】C

【解析】

【分析】利用舉反例可排除選項A,B,D,然后根據(jù)集合A中的元素可滿足集合8中元素的表示形式，故

4=B,可判斷c

【詳解】因為集合”=新〃=6h1，壯Z},8=機|〃=3〃?+1,meZ},

所以4e8,4任所以選項A,B,D均不正確，

e位力=!?|〃=64+1,后w.匕亡*一*+—且〃=6左+1=3（2左）+1,左GZ

因為I?J中的所有兀素可表不為v75,

滿足集合8中元素的表示形式，故/=所以4n8=/,故C正確，

故選：C

2kxi+kx——<0

3.若不等式8對一切實數(shù)x都成立，則％的取值范圍是（）

A.-3<k<0B.—3<左<0

C.或左NOD.左<-3或左20

【答案】A

【解析】

,3

2kx2+kx--<0

【分析】由8對一切實數(shù)X都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分成左=0,左N0討論進(jìn)行求解.

,3

2kx~+kx—<0

【詳解】8對一切實數(shù)x都成立，

3

--<0

①%=°時，8恒成立，

k<0

<

②左H0時，b=*+3左<0,解得一3<女<0,

綜上可得，一3<%<0.

故選：A.

4.已知幕函數(shù)/G）的圖象過點G、匯），則，11）等于（）

叵]_

A.叵B."C,2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)基函數(shù)的定義，設(shè)出解析式，代入點可得答案.

【詳解】設(shè)〃x）=x",因為幕函數(shù)/（X）的圖象過點a?）,所以"5,

即/（X）=4,所以⑸2

故選：C.

5.若則函數(shù)產(chǎn)l°g"M一0的圖象可能是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的奇偶性、結(jié)合圖象變換和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】因為函數(shù)g(x)=bg"MT)滿足.一解答x<T或

即函數(shù)g(x)=10ga(|x|-1)的定義域為BfUOz),排除A、B,

又由g(f)=10g“(H-小嗨刎-l)=g(x),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)gG)的圖象關(guān)于N對稱的偶函數(shù)，

當(dāng)X>1時，函數(shù)g(x)=bg"MT)是函數(shù)丁=噫”的圖像向右平移一個單位得到的,

可排除C.

故選：D.

6.設(shè)a=ln2,b=lg0.2,c=e°2,則，°,b>°的大小關(guān)系為()

Na>c>bga>b>c

Qc>b>a□c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)幕和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出ahc的范圍即可比較大小.

【詳解】依題意,

因為lnl=0<ln2<lne=l,所以0<。<1

因為lgO2<lgl=°,所以6<0,

因為e°2>e°=l,所以c〉l,

由此可知c>〃>6.

故選：D.

7.設(shè)a是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是（）

a.aa

tan—sin—cos一

A.cos2aB.2C.2D.2

【答案】B

【解析】

a

【分析】根據(jù)a的范圍，求出2a以及2的范圍，根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的符號，即可得出答案.

【詳解】對于A項，由已知，a的取值集合為I1'人

所以2k-360°+360°<2a<2A：-360°+360°+180°,k&Z,

所以（2左+1）?360。<2a<（2左+1）?360°+180°,keZ

所以，2a可能是第一象限角，也可能為第二象限角，終邊也有可能落在V軸正半軸上，故A錯誤；

對于B項，由已知，a的取值集合為{01h360。+180。<。<人360。+270。,丘2}

h1800+90°<烏<h180°+135°,左eZ

所以，2

a

,,°??-360°+90°<-<?-360°+135°,?eZ

當(dāng)女為偶數(shù)時，設(shè)％=2〃,〃eZ,則2,

二八

—tana一<0

此時2位于第二象限，2.

a

一,,n-360°+270°<—<M-360°+315°,MeZ

當(dāng)上為奇數(shù)時，設(shè)％=2n〃+l,〃eZ,則2,

aa

-tan一<0

此時2位于第四象限，2.

tan一<0

綜上所述，2恒成立，故B項正確;

a?a八

sin—>0

對于C項，當(dāng)2位于第二象限時,2，故C項錯誤;

a

cos—>0

對于D項，當(dāng)2位于第四象限時,2，故D項錯誤

故選：B.

8.定義在R上的奇函數(shù)/（X）,滿足〔5）,且在。'+“）上單調(diào)遞減，則不等式

/(x)-/(-x)<0

"Yr)的解集為()

1x[0<x<——<x<0?L|x<--x>-

A.12或2JB.l2或2

<x|0<x<—x<-—\<x<0>

C.I2或2/D,l"2或2J

【答案】B

【解析】

f（x）

^-^<0

【分析】由已知化簡不等式可得x.然后根據(jù)單調(diào)性、奇偶性，分別討論求解x>°以及x<0時,

不等式的解集，即可得出答案.

【詳解】由已知可得x—（-x）2xX

當(dāng)x>0時，有

由°,且在（。+"）上單調(diào)遞減，可知，>5；

當(dāng)x<°時，有

rn_o

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可推得I2>,且在（-8'°）上單調(diào)遞減,

1

x<——

所以2.

-----z_x-<U<x\x<——x>—*

綜上所述，不等式x-1-x）的解集為12或2J

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）

1

A.，1B.…W

x

cy=e-e-D^=log2（l+x）+log2（l-x）

【答案】BC

【解析】

【分析】利用奇函數(shù)的定義和增函數(shù)的特征來判斷.

【詳解】對于A,當(dāng)》=-1時，y=i.當(dāng)x=i時,卜二一1,不是增函數(shù);

對于B,設(shè)/（幻=中，因為"-x）=-xW=-/（x）,所以是奇函數(shù)；

、IIx,x20

,/（x）=x|x|=_

又LX，所以“X）為增函數(shù)，B正確；

對于C,因為"―x）=e=-y（x）,所以是奇函數(shù)；

因為V=e'是增函數(shù)，y=e'是減函數(shù)，所以V=e'—e”為增函數(shù)，c正確；

對于D,定義域為（T1）,因為'㈠"噫。一》）+噢2（1+%）=時），所以不是奇函數(shù)，D不正確.

故選：BC.

io,已知羽丁都是正數(shù)，若x+、=i,則下列不等式一定成立的是（）

B.

1+1<4x+->l

c.xyD.y

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式判斷ABC；消元，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】因為XV都是正數(shù)，x+N=l,

(x+城=I

xy<

所以44,

1

x-y—

當(dāng)且僅當(dāng)■2時取等號，故A正確;

22

mx+y>2xyt

所以2(?+_/)Nx2+y2+2xy=(x+y=1

、

x2+y2N—1x=y=—1

所以2,當(dāng)且僅當(dāng)2時取等號，故B正確;

11(11)

—+—(x+#=2+歲+'N2+2匕±=4

xyI》y)xy'xy

1

x—y――

當(dāng)且僅當(dāng)2時取等號，故c錯誤;

由x+〉=i,得x=i-y,

y>0

由1x=17>0,可得

1,1

x+—=1->?+—

則'y，

y=\-x,y=—(on

因為函數(shù)》在I'1上都是減函數(shù),

y=1—x+—（°』）上是減函數(shù),

所以函數(shù)》在

所以X

x+—=l-y+—>1

所以丁y,故D正確.

故選：ABD.

11.已知定義在R上的函數(shù)/（'）滿足了（”一2）為偶函數(shù)，且在卜2,十8）上單調(diào)遞減.則下列判斷正確的

是（）

/(-4)>/(O)/(-3)>/(O)

rx.ij.

C./(X)圖象的對稱軸為x=-2D.若/(")>/°),則-5<4<1

【答案】BCD

【解析】

【分析】運用偶函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)對稱性可分析A項、C項，再運用函數(shù)的對稱性及單調(diào)性可分析B項、D

項.

【詳解】???/(X-2)為偶函數(shù),

—2)=/(*2),

.?./*)圖象關(guān)于直線x=-2對稱，故c項正確;

.?.將x=-2代入/(》-2)=/(-x-2)得：〃~4)=/(0),故A項錯誤;

將x=-1代入/(X-2)=—2)得：/(-3)=〃—1),

又"X)在［—2,+00)上單調(diào)遞減，

即：/(一3)>/(0),故B項正確；

V/(?)>/(I),/a)圖象關(guān)于直線x=-2對稱，“X)在[-2,+8)上單調(diào)遞減,

...|。一(一2)|<|1-(—2)|,即：|a+2|<3,解得：_5<a<l故口項正確.

故選：BCD.

12.當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一

半，這個時間稱為“半衰期”，設(shè)生物死亡年數(shù)為x,死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y(把剛死亡的生物體內(nèi)

碳14含量看成1個單位)，則下列敘述正確的是()

1

_(1)兩〃

A,函數(shù)解析式為'⑸，xe[0,+oo)

1

(1^?730

B.碳14的年衰減率為

C.經(jīng)過九個“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一

(4912、

55.2%log,0.552?----

D.在2010年，某遺址檢測出碳14的殘留量為15730人則該遺址大概是公元前

2903年建成的

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)半衰期的定義可直接得出函數(shù)解析式及衰減率，將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入解析式即可求解.

【詳解】依題意,

對于A：因為機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減,

大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,

[0,+8)

所以A選項正確;

對于B：設(shè)每年的衰減率為％,原來的碳14含量為A,

一（一產(chǎn)」

則有2,

（i-n573O=l

2,解得

所以B選項錯誤；

9x5730

對于C：經(jīng)過九個“半衰期”后,

所以C選項錯誤;

(4912、

55.2%log10.552

I15730J

對于D：因為碳14的殘留量為

[cusx4912

55.2%log.0.552=------p-------

,即

所以157305730

解得K4912,由4912—2010=2902,

可知則該遺址大概是公元前2903年建成的，所以D選項正確;

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

y=工

13.函數(shù)的定義域是1，函數(shù)V=bg2X的定義域為以則xe"是xeB的條件（填

寫充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一個）.

【答案】必要不充分

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)定義域化簡集合48,再結(jié)合條件的定義來判斷.

【詳解】由V+x>°可得X>°或X<-1,即'=或x>°｝；

由x>0可得IIf.

因為8=A（tB,所以xe4是xe8的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分

]_

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

2

故答案為：4

r（、%"1--,工>0

15.函數(shù)'2",%-0,若函數(shù)V=/（x）一機，有三個不同的零點，則實數(shù)〃，的取值范圍是

【答案】m>2

【解析】

【分析】對分段函數(shù)的每一段進(jìn)行單調(diào)性分析，畫出對應(yīng)的圖象，然后結(jié)合題意可得到‘（“）與丁=”有

三個不同的交點，結(jié)合圖象即可求解

【詳解】當(dāng)X>0時，根據(jù)對勾函數(shù)可得，。）一在0'+8）上單調(diào)遞增，在（0』）上單調(diào)遞減，故此

時最小值/°）=2；

當(dāng)x40時，根據(jù)/（力2'在（一°°，°］上單調(diào)遞減，故此時最小值/（°）=1；

作出對應(yīng)的圖象，如圖所示

函數(shù)V=/（*）一〃?有三個不同的零點，可看作/（%）與y=，〃有三個不同的交點，

從圖象可得到實數(shù)m的取值范圍是加>2

故答案為：m>2

16.若，0嘀（廠一"）（。>0,且"1）在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，則實數(shù)0的取值范圍為

【答案】1<。<2

【解析】

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

2

【詳解】解：令t=x-ax,

當(dāng)a>］時，y=l°g“f是增函數(shù)，

因為/（*）=嘀（？-2?〉0,口31）在區(qū)間P，3］上單調(diào)遞增，

則/=/一ax在區(qū)間R，3］上單調(diào)遞增，且t〉°在區(qū)間［2,3］上恒成立，

-<2

則2,且4一2。〉0,解得l<a<2；

當(dāng)o<a<i時，y=i°g/是減函數(shù)，

因為/（*）=1嗚（*2）（a>0,且awl）在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，

則f=一一6在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞減，且，〉0在區(qū)間［2,3］上恒成立，

屋3

則2,且4-2a〉0,無解，

綜上：1＜"2,

故答案為：1＜。＜2

四、解答題；本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

sina-cosa

17.（1）已知sina=_2cosa,求sina+cosa的值;

sin（兀+a）sin（2兀-a）

（2）已知角。的終邊經(jīng)過點PG，-3）

_3

【答案】（1）3；（2）4.

【解析】

【分析】（1）將sina=-2cosa代入，化簡即可得出答案;

sin（71+a）sin（2n-a）

MM，咯+“=tana

（2）化簡可得.然后根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出答案.

sina-cosa-2cosa-cosa-3cosa

-------------------=-----------=3

【詳解】（1）由題知sina+cosa一2cosa+cosa-cosa

sin（71+a）sin（2兀-a）

71兀一sma（-sina）

cos——asin—+a------------------=tana

（2）由誘導(dǎo)公式可得22sina?cosa

sin（兀+a）sin（2兀一a）3

3兀4

tana=—cosaIsinl+a

由三角函數(shù)的定義知4,所以

18.計算:

22+41

一3?27?+

（1）

⑵加2+*2）+（則-（西

【答案】（1）一27

（2）1

【解析】

【分析】（1）直接運用幕函數(shù)運算法則即可求解:

（2）直接利用對數(shù)函數(shù)運算法則即可求解.

【小問1詳解】

依題意，

【小問2詳解】

4,)

-(Ig2+log1()02)+(lg5)--(lg2)-

邛82+品|+(炮5+炫2)(也5-愴2)

。\唱1uuj

=t(ls2+￥]+185-182

=21g2+lg|=lg22+lg|=lg^4-jj=l

19.已知函數(shù)—）=匾&+m-）是偶函數(shù)

（1）求左的值；

g（x）=/（x）--x（）

（2）設(shè)函數(shù)2,判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明.

k=--

【答案】⑴2

（2）減函數(shù)，證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用奇偶性的定義求解即可；

（2）利用單調(diào)性的定義求解即可.

【小問1詳解】

因為,（X）為偶函數(shù)，且定義域為R,

所以對于Vx€R,/（x）"f）,

即1崎（3'+1）+入log3（3-+1）-質(zhì)對VxeR恒成立，

-x

2Ax=log3（3+l）-log3（3'+1）=log3=log33r=-x

所以V7V73+1恒成立,

K------

因為x不恒為零，所以2.

【小問2詳解】

g（X）=log,（3'+l）-x=log3（3'+l）-log33'=log3=log,[1+1]

由題知3I3J為減函數(shù),

下證明：任取玉'/eR,且不<“2,

1+工

g（須）-gG）=log,（1+—1嗚（1+。）=log33為

1+—

則3,2

1+—

-~r>

—>—>01+—>1+—>01+—

因為0<3為<32所以3』3"，故313*即3"

1+4-

ga）-g仕）=iog3―*>o

則,即gGl）>g（x2）,

所以g(x)在R上為減函數(shù).

20.(1)己知二次函數(shù)夕=一+云+C的圖象與y軸交于點一③)，與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)毛,

出的平方和為15,求該二次函數(shù)的解析式.

(2)在⑴條件下，當(dāng)6<0時，求一元二次不等式"一0(。eR)的解集.

【答案】(1)V=x2+3x—3或丁=/-3x-3；(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)由題意可得°=-3,x：+x^=15,然后利用韋達(dá)定理可求得b=±3,即可求解；

(2)將6=-3,。=-3代入不等式可得"》2一°+3)*+3<(),先求出對應(yīng)方程的根，然后分。<°和

a>°兩種情況進(jìn)行討論即可

【詳解】（1）由題知。=-3,x；+x；=15

因為X,*2是方程/+法+‘=0的兩根，

X

則由韋達(dá)定理得玉+”2=_°,1-X2=C=-3

故（—6）+6=15,解得6=±3.

所以，函數(shù)的解析式為V=f+3x_3或歹=》2一3X—3.

（2）由（1）可知6=-3,。=一3,

一元二次不等式可化為一（。+3"+3<0（aeR）.

由題知"0,則二次方程分-（。+3）》+3=0,可化為（依-3）（x-l）=0,解得％=1,或'"a.

當(dāng)a>0時，

■

若。，即〃=3時，原不等式的解集為0.

X—<x<\>

若a,即。>3時，原不等式的解集為〔a

->1,xl

若a，即°<3時，原不等式的解集為〔

<X,

綜上所述，當(dāng)。<°時，原不等式的解集為I

當(dāng)。=3時，原不等式的解集為0；

%—<%<1、

當(dāng)。>3時，原不等式的解集為a

<x\<x<—>

當(dāng)°。<3時，原不等式的解集為

21.為迎接2022年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查

p=4-----

測算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一''的銷售量P萬件與促銷費用X萬元滿足：X+1（其中OWxWa,

為正常數(shù)）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本°0+2?）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為

（.20）

5+—

I元/件.假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求.

（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤的值.

、.9

【答案】⑴'一"x+1（0《xWa）；

（2）答案見解析.

【解析】

,3

p=4-----

【分析】（1）根據(jù)已知可推得少=32-x+10,代入x+1,化簡即可得出結(jié)果；

（2）當(dāng)“22時，根據(jù)基本不等式即可求出最大值；當(dāng)°＜。＜2,先根據(jù)單調(diào)性的定義得出

y=23-（x+1-l----|I

1x+4在（UM」上的單調(diào)性，即可得出最大值.

【小問1詳解】

（20、、

y=5+—p-x-（10+2p）=3p-x+10

由題意知，I21,

,3

p=4-----

將X+1代入化簡得，

蚱227—Q（0W）

【小問2詳解】

-+1+922、（x+l）?9=6

因為x+1、x+1

I9

x+1=---

當(dāng)且僅當(dāng)X+1,即、=2時，等號成立.

y=22-x--—=23-|x+l+-^-|＜23-2.（x+l）—^-=17

所以（i）當(dāng)心2時，x+1Ix+DVx+1,

川=2

當(dāng)且僅當(dāng)x+l,即x=2時，等號成立:

y=22-x--—23-|x+l+—

(ii)當(dāng)0＜。＜2時，x+1IX4-1

f(t)=23-t——

設(shè)，=x+l,1t

o(9)_Q

VI3t<t/O/'6)=23T「123-4-1

且則叫II?)l\l2

因為1"'"2<3,且所以/(%)一/(‘2)<°,所以/&)</6),

O

f(t^=23-t—/i

所以，函數(shù)/在I’不上單調(diào)遞增，

jv=23—|X+1H------?(n八

所以，Ix+?在〈'1上單調(diào)遞增，

y=23-(x+1-i------|-I

所以，(x+U在(間」上單調(diào)遞增.

22-1a+-^—]

所以，當(dāng)X=a時，y取最大值為I4+1人

綜上，當(dāng)a22時，促銷費用投入2萬元時，廠家的利潤最大為17萬元；

22-a