矩陣范數(shù)詳解

1/9矩陣范數(shù)詳解小”,比如矩陣序列的收斂,解線性方程組時(shí)的誤差分析等,具體的情況在這里不再?gòu)?fù)述。直”的變換)，所以,直觀上可用Cmn上的向量范數(shù)來(lái)作為A=Cm〉n的矩陣范數(shù)。比如(1.1)(1.1)11ij在l-范數(shù)意義下,2在l-范數(shù)意義下,2F(i=1j=1ij)那么是否矩陣范數(shù)就這樣解決了?因?yàn)閿?shù)學(xué)上的任一定義都要與其對(duì)象的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái),矩陣之間有乘法運(yùn)算,它在定義范數(shù)時(shí)應(yīng)予以體現(xiàn),也即估計(jì)AB的“大小”相對(duì)于A與B的“大小”關(guān)系。以下條件:我們現(xiàn)在來(lái)驗(yàn)證前面(1．1)和(1．2)定義的矩陣范數(shù)是否合法？我們這里只考慮(1．2),把較容易的(1.1)的驗(yàn)證留給同學(xué)們,n12nF1122nnF12n21212n2n212n2對(duì)上式中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)的諸項(xiàng),應(yīng)用Cauchy不等式，則有FFFFFFF2/9F(i=1j=1ij)(1．3)于是，兩邊開方,即得三角不等式。再驗(yàn)證矩陣乘法相容性。(1.4)。這樣就完成了對(duì)矩陣F-范數(shù)的驗(yàn)證。是不是這樣直接將向量范數(shù)運(yùn)用到矩陣范數(shù)就可以了嗎?No!運(yùn)用l－范數(shù)于矩陣范數(shù)時(shí)便出了問題。如果||A||=max|a|,那么,這樣的矩陣范ww1共i共mij(11)(22)數(shù)在下面一個(gè)例子上就行不通。設(shè)A=|(11)|,A2=|(22)|=2A。因此,按上述矩陣∞-wwwwwww但這是矛盾的。所以簡(jiǎn)單地將l－范數(shù)運(yùn)用于矩陣范數(shù)，是不可行的。w僅給出矩陣范數(shù)的定義是不夠的，還需要研究如何構(gòu)成具體的矩陣范數(shù)的方法。當(dāng)然,你也可以不去考慮構(gòu)成方法,一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)去試，只要滿足條件就行。不過(guò)這樣做的工作量太大,也很盲目。第二,在實(shí)際計(jì)算時(shí)，往往矩陣與向量出現(xiàn)在同一個(gè)計(jì)算問題中，所以在考慮構(gòu)造矩陣概念。定義2對(duì)于Cm根n上的矩陣范數(shù)||.||M和Cm,Cn上的同類向量范數(shù)||.||V,如果成立VMV則稱矩陣范數(shù)||.||M與向量范數(shù)||.||V是相容的。是與向量范數(shù)||.||相容。22FFFF2現(xiàn)在給出一種構(gòu)造矩陣范數(shù)的一般方法,它可以使構(gòu)造出的矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容,3/9矩陣范數(shù)A的由向量范數(shù)||?||誘導(dǎo)給出的矩陣范數(shù)為VV可以驗(yàn)證,這樣定義出的矩陣范數(shù)||A||滿足定義1規(guī)定的4個(gè)條件，同時(shí)又滿足矩陣范數(shù)V與向量范數(shù)相容性要求(定義2)。由于有什么樣的向量范數(shù)||?||,就有什么樣的矩陣范數(shù),V了一個(gè)函數(shù)(或算子)，故又稱為算子范數(shù)。(2．1)給定的范數(shù)實(shí)際是尋求一個(gè)最優(yōu)化問題的最優(yōu)值,求目標(biāo)函數(shù)的最大方式定義,使問題的處理簡(jiǎn)單。Vx0||x||||x||1||x||||x||1VVVVV(2.2)事實(shí)上,分母上的||x||是一個(gè)正數(shù)(x0),那么根據(jù)向量范數(shù)的齊次性有VmaxVmaxx0||x||x0VAxmaxA1AxmaxAx0VVVVVVVV下面我們從理論上證明這樣的矩陣范數(shù)||A||滿足定義1規(guī)定的4個(gè)條件，同時(shí)又滿足V矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容性要求。定理2。1由(2．1)或(2.2)給定的Cmn上的矩陣范數(shù)滿足矩陣范數(shù)定義1的4個(gè)條件,且與相應(yīng)的向量范數(shù)相容。證明：首先,矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性是不難證明的，事實(shí)上,對(duì)||x||=1,VVVVV||z||1VVV(1.5)成立。我們下面來(lái)驗(yàn)證(2.1)或(2.2)滿足矩陣范數(shù)的4個(gè)條件。這4個(gè)條件中,前2個(gè)也容易驗(yàn)證,因此這里只來(lái)考察第3,4個(gè)條件。三角不等式的驗(yàn)證：對(duì)于任一BCmnVVVVVVV4/9矩陣范數(shù)詳解Vx豐0||x||VVV至此,證實(shí)了用算子范數(shù)確能給出滿足矩陣范數(shù)定義和矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性3)但是要注意的是，對(duì)一般的矩陣范數(shù),對(duì)任一向量x=Cn，有F不是誘導(dǎo)矩陣范數(shù),所以F誘導(dǎo)矩陣范數(shù)。下面就來(lái)具體地構(gòu)造幾個(gè)常用的誘導(dǎo)矩陣范數(shù)。設(shè)A=Cm根n。設(shè)A=Cm根n,由向量l-范數(shù)誘導(dǎo)而來(lái)的最大列和誘導(dǎo)矩陣范數(shù)112n1n1jijjj=1jij1||x||=11jijjikijjii=10k0k1k2kmki=1i=11||x||=11i=1i=1綜合(+)與(＋+)可知,由向量l-范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)既是||A||的上界,又是其下界,因11此必有(3.1).22iiiiiii=1i=1nl2其中2GA當(dāng)A=Rn〉n時(shí),12證明:首先由線性代數(shù),AHA是半正定矩陣,事實(shí)上,對(duì)任一x=Cn,有22n互正交的,l－范數(shù)等于1(即標(biāo)準(zhǔn)化了的)特征向量x(1),x(2),,x(n)，它們分別對(duì)應(yīng)于特征2n故這組特征向量構(gòu)成了一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用它們可表示任一個(gè)范數(shù)||x||=1的向量x：2ii=12i這樣,ii=1也就是11221nn1(i)1nn1(i)1i=1由x的任意性和算子范數(shù)的定義 221211121(＊*)22綜合(*)和(**)，由l-范數(shù)誘導(dǎo)得出的矩陣范數(shù)應(yīng)為221max1例3.3設(shè)A=Cm〉n，l-范數(shù)誘導(dǎo)得出的矩陣范數(shù)wj=1wijii5/9 6/9iiiiiijiwijjj=1wijjj=1ijjijjijjijjj=1(*)(*)wwwwij=1ikjiji令y=(y,y,,y)T,其中y=〈|a|，12nj|la,ifakj豐0jjw||x||w=1wwj=1kjij=1ij綜合(*)和(＊*)，便得j=1除了上述3種常用的矩陣范數(shù)外，F(xiàn)robenius范數(shù)雖然不是算子范數(shù),但也經(jīng)常所用，在討論序列收斂等問題上是等價(jià)的。(1-2)例3．4設(shè)A=|(-34)|，求其各種矩陣范數(shù)。1wF2矩陣范數(shù)詳解矩陣范數(shù)可由向量范數(shù)誘導(dǎo)，反過(guò)來(lái),向量范數(shù)有時(shí)也可從矩陣范數(shù)推出。例4.1設(shè)||?||是Cnn上的矩陣范數(shù)，任取Cn中的非零向量y,則函數(shù)MVMMV證明:欲證||x||是一個(gè)向量范數(shù),只須驗(yàn)證它滿足向量范數(shù)得個(gè)條件。VVMnnVM齊次性:對(duì)任一常數(shù)cC，有VMMV三角不等式:對(duì)任意的x,zCn,有VMMMMVMV下面再證兩種范數(shù)的相容性。如果ACnn,xCn,那么xVMMMMMVMV對(duì)于矩陣ACnn,能否根據(jù)其范數(shù)的大小，來(lái)判別(IA)的奇異性?判別一個(gè)矩陣的奇異A定理5.1(Banach引理)設(shè)矩陣ACnn,且對(duì)矩陣Cnn上的某種矩陣范數(shù)||?||,有I證明:假設(shè)矩陣范數(shù)||A||與向量范數(shù)||x||相容。欲證矩陣(IA)非奇異,可通過(guò)用反證法。假設(shè)det(IA)0,則齊次線性方程組(IA)x0有非零解x，即0(IA)x0,x00x00x0V0V0V0V而矩陣(IA)非奇異，