2021-2022學年湖南省岳陽市市第十五中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學年湖南省岳陽市市第十五中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若數(shù)列的前n項的和，那么這個數(shù)列的通項公式為（

）A.

B.C.

D.參考答案：D略2.已知函數(shù)則的值為（

）A.－2 B.2 C. D.9參考答案：D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，從而可得的值.【詳解】因為，，所以，所以，故選D.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.當出現(xiàn)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．3.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面枳，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設計的一個程序框圖，則輸出的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，)A．12

B．24

C．48

D．96參考答案：B4.某學校對高二年級一次考試進行抽樣分析.右圖是根據(jù)抽樣分析后的考試成績繪制的頻率分布直方圖,其中抽樣成績的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[%，兇），[98,100)，[100，102)，[102,104),[104,106].已知樣本中成績小于100分的人數(shù)是36，則樣本中成績大于或等于98分且小于104分的人數(shù)是A.90

B.75

C.60

D.45參考答案：A略5.從1，2，3，…，9這個9個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則這5個數(shù)的中位數(shù)是5的概率等于（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C6.過拋物線上兩點A,B分別作拋物線的切線,若兩切線垂直且交于點,則直線AB的方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B設,由,求導得,在點的切線方程為，在點的切線方程為，聯(lián)立解得，，所以，，即，，又因為兩切線垂直,則,,所以,拋物線方程為,由題易知直線的斜率存在,設直線AB方程為,代人拋物線方程得,由韋達定理得,,和聯(lián)立可得且,即,.所以直線的方程為.故選.7.已知點是雙曲線的漸近線上的動點，過點作圓的兩條切線，則兩條切線夾角的最大值為（

）A．90°

B．60°

C.45°

D．30°參考答案：B8.若某程序框圖如右圖所示，則該程序運行后輸出的B等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.已知復數(shù)z滿足z(3-i)=1-2i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D因為z(3-i)=1-2i，所以，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限，故選D.10.（5分）（2013?四川）拋物線y2=8x的焦點到直線的距離是（）A．B．2C．D．1參考答案：【考點】：拋物線的簡單性質(zhì)；點到直線的距離公式．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：由拋物線y2=8x得焦點F（2，0），再利用點到直線的距離公式可得點F（2，0）到直線的距離．解析：由拋物線y2=8x得焦點F（2，0），∴點F（2，0）到直線的距離d==1．故選D．【點評】：熟練掌握拋物線的性質(zhì)和點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某校開設9門課程供學生選修，其中3門課由于上課時間相同，至多選1門，若學校規(guī)定每位學生選修4門，則不同選修方案共有

種.參考答案：7512.記不等式組所表示的平面區(qū)域為D．若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是．參考答案：[，4]【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】壓軸題；不等式的解法及應用．【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件

的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）對應的a的端點值即可．【解答】解：滿足約束條件

的平面區(qū)域如圖示：因為y=a（x+1）過定點（﹣1，0）．所以當y=a（x+1）過點B（0，4）時，得到a=4，當y=a（x+1）過點A（1，1）時，對應a=．又因為直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點．所以≤a≤4．故答案為：[，4]【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解．13.函數(shù)的值域為__

.參考答案：；

2.

；

3.

；

4.

；

5.

14.(1+2x2)(x－)8的二項展開式中常數(shù)項是

．（用數(shù)字作答）參考答案：﹣42【考點】二項式定理的應用．【分析】利用的通項公式為Tr+1=，即可得出結(jié)論．【解答】解：的通項公式為Tr+1=，∴的二項展開式中常數(shù)項是1×﹣2=﹣42．故答案為﹣42．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．15.設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和，若a3+2a6=0，則的值是

．參考答案：2【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知利用等比數(shù)列的通項公式可求q3，然后利用等比數(shù)列的求和公式化簡==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎試題．16.（x﹣）4（x﹣2）的展開式中，x2的系數(shù)為

．參考答案：16【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】（x﹣）4展開式的通項公式：Tr+1==x4﹣2r，分別令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，進而得出．【解答】解：（x﹣）4展開式的通項公式：Tr+1==x4﹣2r，令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．∴（x﹣）4（x﹣2）的展開式中，x2的系數(shù)為=16．故答案為：16．17.函數(shù)的定義域是________．參考答案：{x|－3<x<2}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C1的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2．（1）分別寫出曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；（2）已知M，N分別是曲線C1的上、下頂點，點P為曲線C2上任意一點，求|PM|+|PN|的最大值．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，分別寫出曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；（2）設P（2cosα，2sinα），則|PM|+|PN|=+，兩邊平方，即可求|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），普通方程為=1，曲線C2的極坐標方程為ρ=2，直角坐標方程為x2+y2=4；（2）設P（2cosα，2sinα），則|PM|+|PN|=+，∴（|PM|+|PN|）2=14+2，∴sinα=0時，|PM|+|PN|的最大值為2．19.

已知函數(shù)f(x)=x2－81nx，g(x)＝一X2+14x.(I)若函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間(a，a+l)上均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(Ⅱ)若方程f(x)＝g(x)+m有唯一解，求實數(shù)m的值．參考答案：20.大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流。長江學院大三學生夏某今年一月初向銀行貸款20000元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品，銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款。已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%，每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%，當月房租等其他開支1500元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出。（1）設夏某第個月月底余元，第個月月底余元，寫出的值并建立與的遞推關(guān)系式；（2）預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入。（參考數(shù)據(jù)：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10﹣11，0.1212≈8.92×10﹣12）參考答案：解：（1）由題意a1=20000（1+15%）﹣20000×15%×20%﹣1500=20900（元）an+1=an（1+15%）﹣an×15%×20%﹣1500=1.12an﹣1500（n∈N+，1≤n≤11）（2）令an+1+λ=1.12（an+λ），則an+1=1.12an+0.12λ，∵an+1=1.12an﹣1500，∴λ=﹣12500∴an+1﹣12500=1.12（an﹣12500），∴{an﹣12500}是以20900為首項，1.12為公比的等比數(shù)列∴an﹣12500=（20900﹣12500）×1.12n﹣1，即an=8400×1.12n﹣1+12500∴a12=8400×1.1211+12500≈41732（元）又年底償還銀行本利總計20000（1+6%）=21200（元）故該生還清銀行貸款后純收入41732﹣21200=20532（元）略21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，其中。（1）若，求的極值點；（2）試討論的單調(diào)性；（3）若，恒有（為的導函數(shù)），求a的最小值。

參考答案：（1）；（2）在(0，+∞)上是減函數(shù)；（3）【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．解析：(Ⅰ)∵，x∈(0，+∞)，

………1分∴a=2時，=0，∴解得x=，x=-1(舍)．即的極值點為x0=．……………………3分(Ⅱ)．（1）時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù);時，對二次方程ax2+x-1=0，Δ=1+4a，（2）若1+4a0，即時，ax2+x-1<0，而x>0，故<0，∴在(0，+∞)上是減函數(shù)．（3）若1+4a>0，即a>時，ax2+x-1=0的根為，①若a<0，則>>0，∴當x∈(，)時，ax2+x-1>0，即>0，得是增函數(shù)；當x∈，(，+∞)時，ax2+x-1<0，即<0，得是減函數(shù)．②若a>0，<0<，∴當x∈(0，)時，ax2+x-1<0，即<0，得是減函數(shù)；當x∈(，+∞)時，ax2+x-1>0，即>0得是增函數(shù)．∴綜上所述，時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)當時，在(0，+∞)上是減函數(shù)；當<a<0時，在(，)上是增函數(shù)，在，(，+∞)上是減函數(shù)；當a>0時，在(，+∞)上是增函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)．…………7分(Ⅲ)令，x>0，于是．令，則>0，即p(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)．∵p(x)=-(a+1)<0，而當x→+∞時，p(x)→+∞，∴x0∈(0，+∞)，使得p(x0)=0．∴當x∈(0，x0)時，p(x)<0，即<0，此時，h(x)單調(diào)遞減；

當x∈(x0，+∞)時，p(x)>0，即>0，此時，h(x)單調(diào)遞增，

∴=．①由p(x0)=0可得，整理得，②…………10分代入①中，得=，由x∈(0，+∞)，恒有≥，轉(zhuǎn)化為≥0，③因為a>0，③式可化為≥0，整理得≤0，解得≤x0≤1．再由x0>0，于是0<x0≤1．…………………12分由②可得．令=，則根據(jù)p(x)的單調(diào)性易得在是增函數(shù)，∴<≤，即0<≤e，解得a≥，即a的最小值為．……14分【思路點撥】（Ⅰ）求導，x∈（0，+∞），從而令導數(shù)為0求極值點；（Ⅱ）求導，討論a的取值以確定導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）令，x＞0，從而求導，再令，再求導>0，從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求得hmin（x）=h（x0）=，從而化恒成立問題為最值問題，再轉(zhuǎn)化為≥0，從而可得0＜≤e，從而求解．22.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=2sin2x+sin（2x﹣B）（x∈R）的最大值．參考答案：【考點】正弦定理；三角函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和和差角的三角函數(shù)公式可得cosB，可得角B；（Ⅱ）由（Ⅰ）和三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x﹣），易得函數(shù)最大