動(dòng)力學(xué)5理論學(xué)生教學(xué)課件dch7a

1第七章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)2機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)振動(dòng):描述系統(tǒng)的一組參數(shù)在某一固定值附近往復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng):力學(xué)和機(jī)械系統(tǒng)中的振動(dòng)。鐘表擺的運(yùn)動(dòng)編鐘敲擊后的振動(dòng)3機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)研究振動(dòng)的目的：認(rèn)識(shí)振動(dòng)的性質(zhì)與特性利用振動(dòng)消除振動(dòng)利用振動(dòng)雙輪串聯(lián)振動(dòng)式壓路機(jī)4機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)汽車減震器動(dòng)力學(xué)的計(jì)算機(jī)仿真消除或減小振動(dòng)5機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)利用振動(dòng)來(lái)消除或減小振動(dòng)6機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)建筑工程中的減震研究7機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)問(wèn)題：如何建立機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)模型？車輛減震系統(tǒng)8機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)v車身振動(dòng)的最大振幅mm9§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)一、質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)：質(zhì)量塊受初始擾動(dòng)，僅在恢復(fù)力的作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。l0stdxyo'okm問(wèn)題：用什么方法建立運(yùn)動(dòng)微分方程？牛頓第二定律動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理動(dòng)靜法動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格朗日方程10§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)mx

+

kx

=

0l0stdx1xommk=20wx

+

w

2

x

=

0

x

=

c

cos

w

t

+

c

sin

w

t0

1

0

2

0=

A

sin(

w

0

t

+

a

)mg固有頻率kFma

=

F

+

mgx

:

mx

=

mg

-

Fsto'

mx=mg-k(x

+dst

)mx

=

mg

-

kx

-

kdx1

:

mx1

=

mg

-

Fmx1

=

mg

-

kx1mx1

+

kx1

=

mg坐標(biāo)原點(diǎn)選在靜平衡位置，可得到齊次常微分方程11§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)o

xkm例：求下列單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率mx

+

kx

=

0mx

+

k

x

=

0mk0w

=光滑l0

l0o

xkm純滾動(dòng)23m

x

+

kx

=

02kx

+

x

=

03m3m2

kw

0

=§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)qo(A)aFImg例：圖示單擺系統(tǒng)，其支座以加速度a

運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)作微幅振動(dòng)的固有頻率。已知：a,

L，m，kLq

+(g

+

a)q

=

0

g

+

aL120w

=系統(tǒng)AmL2q

=

-mgL

sin

q

-

maL

sinqLq

+(g

+

a)

sin

q

=

013§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2

4Lg設(shè)：=p

,a

=0.1p

L

sin(0.1p

t)qo(A)aFImgLq

+

g

sin

q

=

0,

a

=

0Lq

+

(g

+

a)

sin

q

=

0§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題：如何求下列系統(tǒng)微振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和固有頻率？qogqoqx

14oAB1

LmLq

+

mgq

=

03

22

~~mq

+

kq

=

015§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)二、微幅自由振動(dòng)微分方程建立的方法設(shè)：定常約束的單自由度質(zhì)點(diǎn)系，廣義坐標(biāo)為q，系統(tǒng)的平衡位置為q=0，系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)連續(xù)可微，并且V（0）=0。221212m(q)qm

vii

i=T

=221212m"

(0)q

+]q[m

(0)

+

m

'

(0)q

+T

=|

q

|<<

1221

1

~T

?

m(0)q

=

mq2

2~m

=

m(0)廣義等效質(zhì)量2V

(q)

=

V

(0)

+V

'

(0)q

+

1

V

"(0)q2

+因?yàn)椋簈=0

是穩(wěn)定平衡位置，且為勢(shì)能零點(diǎn)，所以有V

(0)

=

0

V

'

(

0

)

=

0

V"

(

0

)

>

022

2=

1

~V

(q)

?

1

V

"(0)q

2

kqV

''(0)

=

~k

等效剛度系數(shù)應(yīng)用拉格朗日方程22L=

T

-V

=

1

m~q

2

-

1

~kq2kq

=

0m~q

+

~16§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例：已知

m,

OA=AB=L,

求系統(tǒng)微振動(dòng)固有頻率2

3V

=

4mgL(1-

cosq)(

mL

+

6mL

sin

q)qT

=

1

22

2

2

2223~mLm

=m

Lk

6g~w

=

~

=gqxoA解：系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能1

1T

?

m(0)q

2

=

m~q

2221

~221V

(q)

?

V"(0)q2

=

kq2~~mq

+

kq

=

0~k

=

4mgL222121212122Bccomv+mv

++T

=J

qJ

qxB

=

2L

cosqyc

=

0.5Lsinq,xc

=1.5L

cosq,C為AB桿B的質(zhì)心17§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例：系統(tǒng)如圖所示，滑塊的質(zhì)量為m，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)分別為k1,k2

。當(dāng)桿鉛垂時(shí)，彈簧無(wú)變形，確定桿在鉛垂位置附近作微振動(dòng)的條件和振動(dòng)的固有頻率。qk1mgk2ABLmg18§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：給出系統(tǒng)的動(dòng)能，取q

=0為系統(tǒng)的零勢(shì)位2

2121232222dV

dqcosq

+

k

L

-

mgL]sin

q=

[(k1

-

k

)L3222221dq

2mgL)

cosqk

)L

cos

2-q

+(k

L=

(k

-2-

mg

3L

(1

-

cos

q

)22212V

=

k

L

sin

q

+k L

(1

-

cos

q

)222121212C

ABCAJ

wmv

+mv

+T

==

1

mL2

(sin2

q

+

1)q22

33m~

=

1

mL2km~~w

=32~2221

2mgL)

>

0+(k

L

-k

=

(k

-

k

)L1kmg

qk2AB

d2VLmg2

2T

?

1

m(0)q

2

=

1

m~q

222V

(q)

?

1

V"(0)q2

=

1

~kq219§7-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)三、彈簧的等效剛度kmk

1mk

2mk1k2k1mk

220§7-2單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)：m

mc

k=20;w2d

=0x

+

2dx

+

w

2

x

=

0F

=

-cvcc：粘阻系數(shù)l0

+dst

x

:xokmgcFkFcma

=

Fk

+

Fc

+

mgma

=

Fk

-

cv

+

mgmx

=

-k

(

x

+

dst

)

-

cx

+

mgmx

+

cx

+

kx

=

0l

=

-d

–

d

2

-

w

21,

2

0特征根決定方程解的形式21§7-2單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)設(shè)：km

mc202d

=

;w

=0x

+

2dx

+

w

2

x

=

0l

=

-d

–

d

2

-

w

21,2

0一、欠阻尼狀態(tài)（d<w

0）l

=

-d

–

w

2

-

d

2

i

=

-d

–

w

i1,2

0

dx

=

C

e-dt

cos

w

t

+

C

e-dt

sin

w

t

=

Ae-d

t

sin(w

t

+j

)1

d

2

d

d22§7-2單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)二、過(guò)阻尼狀態(tài)（d

>w

0）2121l

tl

t+

C

ex

=

C

el

=

-d

–

d

2

-

w

21,2

0三、臨界狀態(tài)（d

=w

0）l1,

2

=

-d21+

C t

)x

=

e

l1t

(C23§7-2單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)例：求下列單自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程l0o

xkm純滾動(dòng)cxkFFc221221ccJT

=

mv

+243w

=

mx應(yīng)用動(dòng)能定理的微分形式dT

=

dWdW

=

Fi

?vidtdW

=

-kxxdt

-

cxxdt3dT

=

mxdx223

mxdx=

-kxxdt

-

cxxdt23

mx

+

cx

+

kx

=

024§7-2單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)例：求質(zhì)量為m的均質(zhì)桿放在兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪上,初始桿靜止，其重心在兩輪之間且不在正中間，證明該桿的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。LLww25§7-2單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)mgxFN11FFN

22F取板為研究對(duì)象m

aC

=

Fim

x

=

F1

-

F2Fi

=

f

FNi

(i

=

1,2

)2LN

1F

=

L

-

x

mg

F2LN

2=