7.5 正態(tài)分布 課件（共29張PPT）

第七章隨機(jī)變量及其分布人教A版2019必修第三冊7.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；2.通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達(dá)了一個信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”．情景引入問題正態(tài)分布有哪些應(yīng)用？提示正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布．現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.下面我們看一個具體問題.

問題自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位:g)的觀測值如下:

-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1)如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖(1)所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形可知:誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖(2)所示.0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(1)0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(2)根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用圖(3)中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.由函數(shù)知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個函數(shù).那么，這個函數(shù)是否存在解析式呢?答案是肯定的.在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機(jī)誤差分布的解析式:0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)

思考1

由函數(shù)知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個函數(shù).那么，這個函數(shù)是否存在解析式呢?0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)答案是肯定的.在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機(jī)誤差分布的解析式:其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.1.正態(tài)分布：若X~N(μ，σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.(4)思考2

觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)?由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn):(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱；(2)曲線在x=μ處達(dá)到峰值(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.思考3一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?由于正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，因此，當(dāng)參數(shù)σ固定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，所以參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，可以用均值來估計(jì)，故有當(dāng)μ固定時(shí)，因?yàn)檎龖B(tài)曲線的峰值與σ成反比，而且對任意的σ>0，正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，所以σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度，可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有σ=0.5012-1-2x-33x=μσ=1σ=2(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)：(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱，且曲線在x=μ處取得最大值；(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度.在實(shí)際問題中，參數(shù)μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有練習(xí)：1.若X～N(2,3)，則E(X)=______，D(X)=_______.

2.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=______，σ=______.

09323.正態(tài)曲線下的面積規(guī)律：-x1-x2

x2

x1a-a正態(tài)曲線下對稱區(qū)域的面積相等對應(yīng)的概率也相等利用“對稱法”求正態(tài)分布下隨機(jī)變量在某個區(qū)間的概率.練習(xí)若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a例1：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí)34min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X,Y的分布中的參數(shù);(2）根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.分析:對于第(1)問,正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì).對于第(3)問,這是一個概率決策問題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷26303438ty解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車.假設(shè)X~N(μ,σ2)，可以證明:對給定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關(guān)的定值.特別地，4.特殊區(qū)間的概率：上述結(jié)果可用右圖表示.由此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞,+∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,

σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.課堂練習(xí)1.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，則X的密度函數(shù)為_____________________，P(X≤0)=_____，P(|X|≤1)=_______，P(X≤1)=________，P(X>1)=________(精確到0.0001.)0.50.68270.841350.15865O1-1xyμ=0

2.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,22)，隨機(jī)變量Y~N(0,32)，畫出分布密度曲線草圖，并指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關(guān)系，以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲線如圖示，由圖可知，隨堂檢測1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(

)答案:B

2、把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2.答案：D解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為(

)A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1解析:因?yàn)樵率杖敕恼龖B(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)的概率為0.683.由圖像的對稱性可知,此縣農(nóng)民月均收入在500到520元間人數(shù)的百分比約為34.15%.答案:34.15%4.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為

.

解析:零件尺寸屬于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]內(nèi)取值的概率約為95.4%,故零件尺寸不屬于區(qū)間[1,5]內(nèi)的概率為1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個尺寸范圍

的零件數(shù)約占總數(shù)的

.

5.

假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.6.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個班的學(xué)生共54人,求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).解:μ=110,σ