解析式教學(xué)講解課件

§2.1解析式概念及其分類

一、基本概念定義1

用運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做解析式.

約定：單獨一個數(shù)或一個字母也看作是解析式．初等運算代數(shù)運算：加、減、乘、除、乘方（指數(shù)為有理數(shù)）、開方初等超越運算：乘方（指數(shù)為無理數(shù)）、對數(shù)、三角、反三角等）二、解析式的分類定義2

只含有代數(shù)運算的解析式叫做代數(shù)式；含有初等超越運算的解析式叫做初等超越式，簡稱超越式．代數(shù)式無理式有理式分式單項式多項式初等超越式：指數(shù)式（，為無理數(shù)），對數(shù)式，三角式，反三角式等．整式解析式三、解析式的恒等

一個解析式的變數(shù)字母的所有容許值的集合，叫做這個解析式的定義域．定義3設(shè)有兩個解析式，若對于它們定義域的公共部分內(nèi)的一切值，它們都有相等的值，則稱這兩個解析式是恒等的，記做A≡B，也記做A＝B．定義4把一個給定的解析式換成另一個與它恒等的解析式，這種變形叫做恒等變形或恒等變換．§2.２多項式一、基本概念一元多項式的一般形式、多項式的次數(shù)、零次多項式、零多項式等．二、多項式的恒等定理1設(shè)數(shù)域F上的多項式如果對于變數(shù)在F上的任意取值，多項式的值都等于零，則該多項式是零多項式．定理2（多項式恒等定理）數(shù)域F上的兩個一

元多項式恒等的充要條件是它們的次數(shù)相同，且同次項系數(shù)對應(yīng)相等．定理3（多項式恒等判定）如果數(shù)域F上有個次數(shù)不大于n的多項式f(x)和g(x)，對于x的n+1個不同的值都有相等的值，則它們恒等．三、待定系數(shù)法例1已知三次多項式f(x)在x=-1，0，1，2時函數(shù)值分別為1，2，3，2，試寫出這個多項式．解法一：設(shè)多項式為解法二：（拉格朗日插值法）

設(shè)這個多項式為附：拉格朗日插值公式若一元n次多項式的變元x分別取n+1個不同的值所對應(yīng)的多項式的值分別為則多項式可唯一確定為：例2把多項式表示成(x-1)的冪的多項式的形式解法一：據(jù)已知可設(shè)將右邊展開，運用定理2（對應(yīng)系數(shù)相等）從而確定所求系數(shù)．解法二：同解法一所設(shè)，運用定理3將變元代不同值求得兩邊的值，從而確定待定系數(shù)．解法三：（換元法）可設(shè)(x-1)=t,則x=t+1代入原多項式即可求解．例3求多項式f(x)除以(x-a)(x-b)的余式(a≠b)．分析：

因為除式是關(guān)于x的二次式，所以余式至多為一次式．故可設(shè)以x=a，x=b分別代入，得由題意a≠b，解得因此所求余式為例4求證其中a，b，c為不相等的復(fù)數(shù)．證法一：令顯然，f(x)的最高次數(shù)不超過二次，不妨設(shè)將a,b,c分別代入再由定理3即可得證證法二：令它是一個二次式，但當(dāng)x分別以a,b,c代入時有f(a)=f(b)=f(c)=1，且a≠b≠c，由定理3即得證．四、多元多項式1．多元多項式的一般概念

含有兩個以上變數(shù)字母的多項式，叫做多元多項式．

多元多項式的標(biāo)準(zhǔn)形式（字典排列法）、項的次數(shù)、多項式的次數(shù)等概念（幾種特殊情況）2．齊次多項式（齊次式）性質(zhì)：

兩個齊次式的積仍然是齊次式，積得次數(shù)為兩個因式次數(shù)之和．例如：3．對稱多項式設(shè)是n元多項式，如果對于任意的i,j,1≤i≤j≤n

都有就稱這個多項式是對稱多項式，簡稱對稱式．例如：對稱式的同型項

一般地：在含有兩個以上變數(shù)字母的對稱式中，同型項的系數(shù)必相等．4

．交代多項式

設(shè)n元多項式對任意的i,j,1≤i<j≤n,都有就稱這個多項式是交代多項式，簡稱交代式．例如：5．輪換式

設(shè)n元多項式，如果將變數(shù)字母輪換后有則稱這個多項式是輪換多項式，簡稱輪換式．

凡對稱式都是輪換式，但輪換式不一定是對稱式．例如：6．對稱式、交代式和輪換式的性質(zhì)⑴變數(shù)字母相同的兩個對稱式的和、差、積、商仍是對稱式．⑵變數(shù)字母相同的兩個輪換式的和、差、積、商仍是輪換式．⑶變數(shù)字母相同的兩個交代式的和、差仍是交代式，它們的積、商則是對稱式．⑷變數(shù)字母相同的一個對稱式與一個交代式的積、商是交代式．⑸多個變數(shù)字母的交代式，必有其中任意兩個變數(shù)字母之差的因式．五、多項式的因式分解

相關(guān)概念：

不可約多項式（既約多項式）、因式分解等．相關(guān)定理：※任意一個次數(shù)大于零的多項式，都可以分解成給定數(shù)域上的不可約多項式的乘積，且唯一．※在復(fù)數(shù)域內(nèi)，任意一個n次多項式都可分解成n個一次因式的乘積．※在實數(shù)域內(nèi)，任意一個n次多項式都可分解成一次與二次不可約因式的乘積．※有理數(shù)域內(nèi)，任意次多項式都可能是不可約的．1.用因式定理和綜合除法分解因式

整系數(shù)多項式f(x)有因式(x-a)的充要條件是f(a)=0．因式定理：有理根定理：

如果整系數(shù)多項式有因式（p、q是互質(zhì)的整數(shù)），則p一定是n次項系數(shù)的約數(shù)，q是常數(shù)項的約數(shù)．具體做法如下：⑴先寫出整系數(shù)多項式f(x)的首項和常數(shù)項的所有因數(shù)然后以首項的因數(shù)為分母，常數(shù)項的因數(shù)作為分子，作出所有可能的既約分數(shù)（包括整數(shù)）．⑵從上述既約分數(shù)中合理地選擇試除數(shù)．如果f(x)的各項系數(shù)都是正數(shù)，或都是負數(shù)，就只選擇負的試除數(shù)．如果f(x)的各項奇次項系數(shù)都是正數(shù)，偶次項系數(shù)（包括常數(shù)項）都是負數(shù)，或者偶次項系數(shù)都是正數(shù)，奇次項系數(shù)都是負數(shù)，就只選擇正的試除數(shù)．⑶選好試除數(shù)后，即用綜合除法試除．例5分解整系數(shù)多項式的因式．分析：可能的試除數(shù)是

由于f(x)的奇次項系數(shù)都是正數(shù)，偶次項系數(shù)都是負數(shù)，故只選擇正的試除數(shù)：1，2，3，6，1／3，2／3．

代入計算易知只有2／3合條件．故由綜合除法可得：2.用待定系數(shù)法分解因式例6在有理數(shù)域Q上分解因式分析：

可能的試除數(shù)是±1，±3，試除結(jié)果都被排除．因此原式在Q上沒有一次因式．故可設(shè)再由待定系數(shù)法確定常數(shù)即可．例7證明xy+2不能分解因式．3.對稱式和輪換式的因式分解

通常應(yīng)用對稱式、交代式、輪換式的概念和性質(zhì)，結(jié)合因式定理和待定系數(shù)法進行．一般步驟是：⑴先觀察所給多項式的特征，以其中一個字母為主，把另一個或另一些變數(shù)字母作為試除數(shù)，依據(jù)因式定理找出一個因式；再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)用輪換的方法得出另外一些因式．⑵用待定系數(shù)法確定分解后的因式乘積的系數(shù)．例8分解因式：分析：原式是對稱式，當(dāng)x=-(y+z)時，所以原式有因式(x+y+z)．因為原式是三次式，故還有另一個二次對稱因式．故可設(shè)由待定系數(shù)法可確定m,n．例9分解因式：分析：原式是一個輪換式．當(dāng)x=y時，原式=0．因此原式有因式(x-y)(y-z)(z-x)，故，可設(shè)取x,y,z的特殊值計算即可得k．4.因式分解的幾個特點⑴結(jié)果的相對性

例10分別在有理數(shù)集、實數(shù)集合復(fù)數(shù)集內(nèi)分解因式：解：原式（Q內(nèi)）（R內(nèi)）（C內(nèi)）⑵解法的多樣性

例11分解因式：⑶高度的技巧性

例12在有理數(shù)集內(nèi)分解因式：§2.3分式一、基本概念1．有理分式定義2.3.1

兩個多項式的比（其中g(shù)(x)不是零多項式），叫做有理分式，簡稱分式．分式的定義域2．分式的恒等

如果兩個分式對于它們的公共定義域上的任意取值都有相等的值，那么這兩個分式恒等．定理2.3.1

兩個分式f(x)／g(x)和是s(x)／t(x)恒等的充要條件是f(x)t(x)≡s(x)g(x)．推論在f(x)t(x)≡s(x)g(x)中，如果g(x)=t(x)，則f(x)=s(x)．例1分式和是不是恒等？3.分式的基本性質(zhì)定理2.3.2

分式的分子分母都乘以同一個不等于零的多項式，分式的值不變．4.既約分式定義2.3.2

如果分式的分子分母除常數(shù)外，沒有其他公因式，即f(x)與g(x)互質(zhì)，則此分式叫做既約分式或不可約分式．定理2.3.3

任何一個有理分式都有一個既約分式和它恒等；并且除去數(shù)值因子外，這個既約分式是唯一的．分式化簡的含義就是將分式化為既約分式．二、代數(shù)延拓原理代數(shù)延拓原理如果分式在處失去意義，即；但與它恒等的既約分式在處有意義，即，那么就約定三、部分分式⒈真分式及其性質(zhì)定義2.3.3

如果一個分式的分子多項式的次數(shù)小于分母多項式的次數(shù)，就稱它為真分式；否則就成為假分式．定理2.3.4

兩個真分式的和、差仍為真分式或零．定理2.3.5

設(shè)是多項式，和是真分式，如果則必有⒉部分分式定義2.3.4

在實數(shù)集R內(nèi)形如或（其中k,l∈N,AB∈R,）的分式叫做基

本真分式（或最簡部分分式）將一個真分式化為基本真分式之和，叫做將分式展開（或分解）成部分分式．定理2.3.6

設(shè)是真分式，與互質(zhì)，則可求得唯一的一對真分式與使得推論設(shè)是真分式，不可約多項式，且兩兩互質(zhì)，則可求得唯一的一組真分式都是滿足其中多項式的次數(shù)都小于的次數(shù)．定理2.3.7設(shè)是真分式，f(x)的次數(shù)不小于g(x)的次數(shù)，則可求得唯一的一組真分式滿足其中多項式的次數(shù)都小于g(x)的次數(shù)．⒊實數(shù)范圍內(nèi)的部分分式展開①如果分母中含有k重因式x–a，那么對應(yīng)的部分因式是：②如果分母中含有l(wèi)重因式那么對應(yīng)的部分分式是：其中其中是實常數(shù)．是實常數(shù)．例2將展開成部分分式．例3將展開成部分分式．例4將展開成部分分式．§2.4根式一、基本概念1.根式的概念定義2.4.1含有開放運算的代數(shù)式叫做根式．2.方根和算術(shù)根

定義2.4.2如果x的n次冪等于a，則稱x為a的n

次方根．特殊地，非負實數(shù)a的n次方根叫做a的n次算術(shù)根，記作補充規(guī)定：（略）

定理2.4.1對于任意非負實數(shù)a，它的n次算術(shù)根是唯一存在的．二、根式的運算法則和變形1.根式的運算法則法則1（根式的基本性質(zhì)）法則2（積的開方）法則3（商的開方）法則4（根式的乘方）法則5（根式的開方）2.根式的化簡

定義2.4.3

如果一個根式的被開方數(shù)的冪指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)，被開方數(shù)的每一個因式的冪指數(shù)都小于根指數(shù)，且被開方數(shù)不含分母，則稱此根式為最簡根式．化簡根式的目的，就是將根式化為最簡根式．例1計算：例2設(shè)a>0，b>0，且化簡3.根式的運算（1）根式的加減：（2）根式的乘除：（3）根式乘方開方：三、復(fù)合二次根式

定義2.4.4如果A>0，B>0，且則稱形如的根式為復(fù)合二次根式．定理2.4.2復(fù)合二次根式的變形公式是其中A>0，B>0，四、共軛根式1.共軛根式及其求法2.分母有理化§2.5指數(shù)式與對數(shù)式

在歷史上，發(fā)表第一張對數(shù)表的英國數(shù)學(xué)家納皮爾（1614），而現(xiàn)代指數(shù)記號的創(chuàng)設(shè)則始于笛卡兒（正整數(shù)指數(shù)，1637年）和牛頓（分數(shù)指數(shù)，1676年），18世紀歐拉研究了指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系．一、指數(shù)

1.定義

2.運算律二、對數(shù)

1.定義

2.性質(zhì)

3.常用對數(shù)例1設(shè)都是不等于1的正數(shù)，且

，求證：例2已知，求

例3.對于正整數(shù)和實數(shù)

若，

求證：

例4已知，不查表求

例5求證是無理數(shù).例6求值．例7設(shè)方程的根為，方程的根為，求的值．練習(xí)：必修1必修2必修3必修4必修5選修1-2選修1-1選修2-3選修2-2選修2-1選修3-6選修3-5選修3-4選修3-3選修3-2選修3-1選修4-10選修4-3選修4-2選修4-1(表1)課程框架………一、新課標(biāo)下的要求§2.３三角式與反三角式必修課程必修課程包括五個模塊數(shù)學(xué)1：集合與函數(shù)

基本初等函數(shù)I:指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)數(shù)學(xué)2:立體幾何初步平面解析幾何初步數(shù)學(xué)3:算法初步統(tǒng)計與概率數(shù)學(xué)4:基本初等函數(shù)II(三角函數(shù))

平面上的向量三角恒等變換數(shù)學(xué)5:解三角形數(shù)列不等式二、三角式的恒等變形:求值與化簡，證明．

（1）化角法（2）化名法（3）降次法（4）變1法