高等數(shù)學(xué)下冊知識點匯總

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第_節(jié)向量及其線性運算向量：7iAB向量的大小叫做向量的模.計作I-IAB模等于1的向量叫做單位向量.模等于零的向量叫做零向量，計作0或f零向量的起點和終點重合,o它的方向可以看做是任意的.向量的加減法法則：三角形法則、平行四邊形法則.AB=AO+OB=0B-0A單位向量：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.即：定理1設(shè)向量a^O,那么，向量b平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)入，使b=Aa定義：有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz中)的坐標(biāo)，計作r=(x,y,z)；有序數(shù)x、V、z也稱為點M(在坐標(biāo)系Oxyz中)的坐標(biāo)，計作M(x,y,z).設(shè)：a=(axfayfaz)tb=(bx,by,bz)f即：a=axi+ayj+azk?b=bxi+byj+bzk.B|J：a±b=Cax±bx,ay±by,az±bz)Aa=(AAay,Aaz)向量的模與兩點間的距離公式：設(shè)有點A(、1，V1，Z1)和點B(工2，V2，Z2),則點A與點B間的距離IABI就是向量AB的模，即：IABI二IABI二J(工2一勺)之+(此一無)2+(矣-Zi)2方向角與方向余弦：設(shè)0M=r=(x,y,z),從而(cosa,cosB,cosy)=(―^―,—(x,y,z)= =erIrI|rI|r|lr| Irlcosa,cos/?,cosy稱為向量z?的方向余弦.上式表明，以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e『.并由此可得：cos2a+cos2/?+cos2y=1向量在軸上的投影：性質(zhì)1 lelcos(p,其中＜p為向量a與u軸的夾角；

性質(zhì)2(a+b)(a)u+(b)性質(zhì)3(入a)“=入(a)第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積兩向量的數(shù)量積：a?b=IaIIbIcos。,由數(shù)量積的定義可以推得：2 2（1） a-a=IaIcos0=IaI（2）對于兩個非零向量a、b,如果a-b=0,那么alb；反之，如果alb,那么a-b=0.兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示式：a-b=axbx+ayby+azbzcos。= a'\,兩個向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.IaIIbI兩個向量的向量積:c=aXb（向量c叫做向量a與b的向量積）Icl二IaIIbIsin。，IaXbI=IaIIbIsin。由向量積的定義可以推得：（1） aXa=0（2） 對于兩個非零向量a、b,如果aXb=0,那么alib：反之，如果aIIb,那么aXb=0.向量積符合下列運算規(guī)律：bXa=-aXb(axby—aybx)k向量積的坐標(biāo)表示式：aXb=(aybz-azby}i+(azb(axby—aybx)k向量的混合積：[abc]向量的混合積：[abc]=(aXb)-c=IaXbIIcIcosa三個向量a三個向量a、b、c共面的充分必要條件是它們的混合積[abc]=0即:ayazbybz—0第三節(jié)曲面及其方程曲面方程的概念：如果曲面S與三元方程F（x,y,z）=0 （1）有下述關(guān)系：（1） 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程（1）；（2） 不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程（1）.那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的圖形.球心在點Mo（xo，Vo，z。）、半徑為R的球面的方程：（x-x°）2+（y-y°）2+（z-％）2=R2

旋轉(zhuǎn)曲面：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一己知曲線C,它的方程為：/（y,z）=0曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲線的方程為：/（土應(yīng)Sp，z）=0曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲線的方程為：/（y,土衣廠頃）=0求曲面上的點（x,y,z）到旋轉(zhuǎn)軸的距離，用兩點間的距離公式。（x-0）2+（y-0）2+（z—*）2=yi2柱面：直線L沿定曲線C平行移動形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動直線L叫做柱面的母線.二次曲面：三元二次方程：F（x,y,z）=0所表示的曲面稱為二次曲面.而把平面稱為一次曲面.（1） 橢圓錐面：§+若=z2TOC\o"1-5"\h\z2 2 2（2） 橢圓球面：彳+&+彳=1az bz cz2 2 2（3） 單葉雙曲面：三+七一號=1x2 v2 z2（4） 雙葉雙曲面：——— =1az bz czx2v2（5） 橢圓拋物線："+%=Zazbzx2v2（6） 雙曲拋物線："一吾=Zazbz第四節(jié)空間曲線及其方程空間曲線的一般方程：空間曲線可以看做兩個曲面的交線.設(shè)F（x,y,z）=0和G（x,y,z）=0是兩個曲面的方程，它們的交線為C.因為曲線C上的任何點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組oO

oO

--

yy

XX

((

FG方程組（1）叫做空間曲線C的一般方程.空間曲線的參數(shù)方程：空間曲線C的方程除了一般方程之外，也可以用參數(shù)形式表示，只要將C上的動點的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù)：

(2)(X=x(t)y=y(0z=z(t)(2)方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：第五節(jié)平面及其方程平面的點法式方程：如果一個非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量.設(shè)M(x,y,z)是平面II上的任一點，那么向量MoM必與平面II的法線向量n=(4,B,C)垂直，即它們的數(shù)量積等于零n-MqM=0所以有A(x—Xo)+B(y—yo)+C(z—Zo)=0 (1)方程(1)叫做平面的點法式方程.由于向量n與向量M1M2、M1M3都垂直，而M±M2=(-3,4,-6),M±M3=(-2,3,-1),所以可取它們的向量積為n,即ijkn=MtM2XMrM3=—34—6-23-1平面的一般方程：任一平面都可以用三元一次方程來表示.Ax+By+Cz+D=0 (2)方程(2)稱為平面的一般方程，其中x、y、z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標(biāo)，即n=(A,B,C)對于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點.當(dāng)D=O時，方程(2)成為Ax+By+Cz=O,它表示一個通過原點的平面.當(dāng)A=O時，方程(2)稱為By+Cz+D=O,法線向量n=(O,B,C)垂直于x軸，方程表示一個平行于X軸的平面.兩平面的夾角：兩平面的法線向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角.第六節(jié)空間直線及其方程空間直線的一般方程：空間直線L可以看做是兩個平面〃1和〃2的交線?如果兩個相交的平面〃1和〃2的方程分另U為Arx+Bry+Crz+Di=0和志入+B2y+C2z+D2=°?那么直線L上的任一點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個平面的方程，即應(yīng)滿足方程組（心+8）+牛+。1=0l^2X+ +C^Z+ =。方程組（1）叫做空間直線的一般方程.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程：如果一個非零向量平行于一條己知直線，這個向量就叫做這條直線的方向向量.直線L與方向向量S平行，所以兩向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例，由于MqM-（x-Xo，y-'o，z-z。），s=（m,n,p）,從而有XF=.-Vo=z-zo ⑵m n p方程組（2）叫做直線的對稱式方程或點向式方程.由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程.如設(shè)x—xo_y—y。_z—z°一~^~=~T=t1x=xQ+mty=y0+nt （3）z=z0+pt方程組（3）就是直線的參數(shù)方程.直線的方向向量s.由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量W=（1,1,1）,n2=（2,-1,3）都垂直，所以可?。簊=ntXn2兩直線的夾角：兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角.設(shè)直線七1和七2的方向向量依次為S1=（皿,711，P1）和S2=（m2,n2,P2），直線如和乙2的夾角甲可由Im1m2+nrn2+PiP2ICOS（D=「 ——ry/ml+n{+pl- +pj從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：兩直線Li、n互相垂直相當(dāng)于：Hi1m2+n1n2+p±p2=0：m± n± pi兩直線婦、七2互相平行或重合相當(dāng)于：——m2 n2 P2直線和平面的夾角：當(dāng)直線與平面不垂直時，直線和它在平面上的投影直線的夾角(P(0<(p< 稱為直線與平面的夾角，當(dāng)直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為m設(shè)直線的方向向量為s=(m,n,p),平面的法向量為n=(4,B,C),直線與平面的夾角<p,按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有IAm+Bn+CpIsincp=, —ryjA2+B2+C2，y/m2+n2+p2因為直線與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行，所以，直線與平面垂直相當(dāng)于A_B_C

mnp因為直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直，所以，直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于Am+Bn+Cp二0第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念平面點集n維空間：平面點集：坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合，稱為平面點集，計作{E=(x,y)I(%,y)具有性質(zhì)p}例如，平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是{c=(%,y)|%2+y2=r2J點Po的去心6領(lǐng)域，記作U=(Po,5),即U(Po,6)=IPI0<IPP0I<5I在兒何上，U(P°，6)就是xOy平面上以點Po(x()，%)為中心、5>0為半徑的圓內(nèi)部的點P(x,y)的全體.下面利用領(lǐng)域來描述點和點集之間的關(guān)系.任意一點P6入2與任意一點集EU之間必有一下三種關(guān)系中的—種：內(nèi)點：如果存在點P的某個領(lǐng)域U(P),使得U(P)uE，則稱P為E的內(nèi)點；外點：如果存在點P的某個領(lǐng)域U(P),使得U(P)nE=0,則稱P為E的外點；邊界點：如果點P的任一領(lǐng)域內(nèi)即含有屬于E的點，乂含有不屬于E的點，則稱P為E的邊界占八、、?E的邊界點的全體，稱為E的邊界，記作。E.聚點：如果對于任意給定的6>0,點P的去心領(lǐng)域貝P,6)內(nèi)總有E中的點，則稱P是E的聚點.多元函數(shù)的概念：定義1設(shè)D是&2的一個非空子集，稱映射f：D-R為定義在D上的二元函數(shù)，通常記為z=f(x,y),(x,y)EZ)或z=f(P),PED其中點集D稱為該函數(shù)的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量.函數(shù)值/(x,y)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記作-(D),即f(D)=\z\z=f(x,y),(x,y)-DI多元函數(shù)的極限：定義2設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域為D,Po(x°,y°)是D的聚點.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)￡,總存在正數(shù)&使得當(dāng)點P(x,y)EDnb(Po,0時，都有If(P)-AI=I/(%,y)-AI<￡成立，那么就稱函數(shù)A為函數(shù)/'(x,y)當(dāng)(x,y)—(x(),%)時的極限，記作y)*°,無)/0,y)=a或*y)T”(x，y)-。。，y。))也記作limp-%f(P)=4或f(P)T4(PTP°)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限.多元函數(shù)的連續(xù)性：定義3設(shè)二元函數(shù)/'(P)=y(x,y)的定義域為D,Po(xo，Vo)為D的聚點，且Po6D.如果

limJ（x，y）=/（Xo,％）3,y）-。。，y0）則稱函數(shù)r（x,y）在點Po（xo，Vo）連續(xù).定義4設(shè)函數(shù)/'（x,y）的定義域為D,Po（xo，Vo）為D的聚點.如果函數(shù)/'（x,y）在點Po（%0?Vo）不連續(xù)，則稱Po（x（），Vo）為函數(shù)「（X，y）的間斷點.性質(zhì)1（有界性與最大值最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.性質(zhì)3（一致連續(xù)性定理）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù).第二節(jié)偏導(dǎo)?定義 設(shè)函數(shù)z=T（x,y）在點（%0，Vo）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)V固定在而X在處有增量&時，相應(yīng)的函數(shù)有增量/(%0+Ax,yo)—尸3)，?0)如果TOC\o"1-5"\h\z/(%o+Ax, y0)lim Ax-o Ax存在，則稱此極限為函數(shù)Z=/(%,y)在點(X。，％)處對'的偏導(dǎo)數(shù)，記作g^^x=x0,y=yof~g^\x=x0,y=y0或 &(*0,Vo)類似地，函數(shù)z=y(x,y)在點(x°,Vo)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記作或壽Go,yo)或壽Go,yo)dyI%=心，y=yo，~dy^x=x0,y=y0如果函數(shù)z=T（x,y）在區(qū)域D內(nèi)每一點（x,y）處對'的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是、、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f（x,y）對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作告，客，劣或八（x,y）

dxdx ' '至于實際求z=f（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法;因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看做固定的，所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問題.高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)z=/（%,y）在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi)人(x,y),4，(x,y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=/(%,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：dfdz\d2z, 、d/dz\d2z( 、蘇(甚)y)‘蘇(成)=林=為“力d(dz\d2z, 、 0/dz\d2zf、叔布戶蘇元=久”y)，冠(動=/=履、‘y)定理如果函數(shù)Z=/(%,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)忌及藉在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.(換句話說，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān).)第三節(jié)全微分定義設(shè)函數(shù)z=/(x,y)在點(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)—/(%,y)可表示為'Az=i4Ax+BXy+o(p)其中A、B不依賴于&、Ay而僅與x,y有關(guān)，p=J(Ax)2+(Ay)2,則稱函數(shù)z=/(%,y)在點(x,y)可微分，而稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全微分，記作dz,即dz=i4Ax+BAy如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.在第二節(jié)中曾指出，多元函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點連續(xù).但是，由上述定義可知，如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分，那么這函數(shù)在該點必定連續(xù).定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=/(%,y)在點(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(x,y)可的偏導(dǎo)數(shù)務(wù)，務(wù)必定存在，且函數(shù)z=/(%，y)在點(x,y)的全微分為TOC\o"1-5"\h\zdz dzdz=—Ax+—Aydx dy'定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=/(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)招，務(wù)在點(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分.函數(shù)z=/(x,y)的全微分可寫為：dz dzdz=—dx+—dydx dy)通常把.二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.

第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形：定理1如果函數(shù)U=(p(t)及U=W(t)都在點1可導(dǎo)，函數(shù)z=y(u,V)在對應(yīng)點(U,V)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=T［?Q),WQ)］在點1可導(dǎo)，且有dzdzdudzdv—= + dtdudtdvdt多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形：定理2如果函數(shù)u=(p{x,y)及u=寸(x,y)在點(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=y(u,v)在對應(yīng)點(u,〃)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f［(p(x,y),w(x,y)］在點(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有dzdzdudzdv—+ dxdudxdvdxdzdzdudzdv—+ dydudydvdy其它情形:定理3如果函數(shù)u=(p{x,y)在點(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=i//(y)在點y可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=/*(%,y),寸(y)］在點(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有dzdzdudxdudxdzdzdu

dydudydzdv

dvdydzdzdu

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dvdy第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x,y)在點P(x°，%)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F(x°,無)=0,與Go,Vo)/。，則方程F(x,y)=0在點(x°,y°)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件y()=f(xo),并有dy=dy=dxFy(2)公式(2)就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點P(x°,%,%)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F(、o，MZo)=O,E(x°，Vo‘Zo)/O,則方程F(x‘y,z)=0在點(x。，Vo，z°)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=/（x,y）,它滿足條件z°=T（Xo,y°）,并有斜專，I⑷第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法第九節(jié)二元函數(shù)的泰勒公式第十節(jié)最小二乘法第十章重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)定義 設(shè)r（x，y）是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成71個小閉區(qū)域2.,…，Aan其中站表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個上任取一點（&,誠，作乘積/'（&,誠顯。=1,2,…，71）,并作和?。┮恕?如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值入趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f（x,y）在閉區(qū)域D上的二重積分，記作凡/（%,y）da,即jjf（x，y）rf（7= 心曲iD i=l其中/?（、，y）叫做被積函數(shù)，/（%,y）如叫做被積表達式，如叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫

做積分區(qū)域，叫做積分和.性質(zhì)1設(shè)a、&為常數(shù)，則I["(*，y)+BgI["(*，y)+Bg偵,y)]姑=aIf板,y)d。+6IIg(x,y)da性質(zhì)4性質(zhì)5ma性質(zhì)4性質(zhì)5ma<j]f(x，y)dDa<Ma性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和.例如D分為兩個閉區(qū)域Di與》2。貝U0f(x,y)da=jjf(x,y)da+JJf(x,y^daTOC\o"1-5"\h\zD D± D2性質(zhì)3如果在D±,/(%,y)=1,o為D的面積，貝ijo=jj1?do=jjdo

D D如果在D上，f(x,y)<甲(x,y),則有jjf(x,y)da<II(p(x,y)da

D D設(shè)M、m分別是/(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，。是D的面積，貝ij有性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)r(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，。是D的面積，則在D上至少存在一點任,「)，使是0f(x，y)如=r(S，n)p

D第二節(jié)二重積分的計算法1、利用直角坐標(biāo)計算二重積分(1)如果積分區(qū)域D可以用不等式(X型區(qū)域)(P1(x)<y