求生必備知識

求生必備知識第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三第1章插值方法

插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在1000多年前，我國歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一次插值和二次插值的實(shí)例。 拉格朗日（Lagrange）、牛頓（Newton）、埃特金（Aitken）分別給出了不同的解決方法。

第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.1拉格朗日插值公式

1.2牛頓插值公式

1.3埃特金插值公式1.4存在惟一性定理1.5插值余項(xiàng)1.6分段三次埃爾米特插值

1.7三次樣條插值1.8

應(yīng)用實(shí)例第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.1拉格朗日插值公式

拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下統(tǒng)稱為Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。

第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三圖1－1插值多項(xiàng)式

第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

1.n=1的情況已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0,x1上的值為y0,y1，要求多項(xiàng)式y(tǒng)=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其幾何意義，就是通過兩點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1)的一條直線，如圖1－2所示。

第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三圖1－2一次插值多項(xiàng)式

第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三由直線兩點(diǎn)式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1

顯然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1

(1.1)其中第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三我們稱l0(x)為點(diǎn)x0的一次插值基函數(shù)，l1(x)為點(diǎn)x1的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點(diǎn)上取值為1，而在另外的插值點(diǎn)上取值為0。插值函數(shù)p1(x)是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值。

第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

2.n=2的情況線性插值只利用兩對值(x0,y0)及(x1,y1)求得y=f(x)的近似值，誤差較大。

p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2

p2(x)是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項(xiàng)式。通過三點(diǎn)的插值問題稱為二次插值或拋物插值。第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

3.一般情況 我們看到，兩個插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式p1(x)，而三個插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式p2(x)。當(dāng)插值點(diǎn)增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項(xiàng)式pn(x)，如下所示：第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.2牛頓插值公式

xf(x)一階差商二階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)差商表第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三Newton插值算法如下：inputx,(xi,yi),i=0,1,…,n。y=y0,t=1。forj=1,…,n

do t=t*(x-xj-1)for

i=0,…,n-j

doendy=y+y0*tendoutput

(x,y),(xi,yi),i=0,1,…,n。

第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

Newton插值算法中的j循環(huán)由三部分組成：計(jì)算(x-xj)的累積，存入t單元；內(nèi)套一個i循環(huán)用來依次計(jì)算差商表中的各階差商，存入yi單元；y單元用于存放Newton公式中各項(xiàng)累加之和。

第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三［例3］已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的Newton插值多項(xiàng)式。解：

設(shè)x0=-1,x1=1,x2=2,則第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.3埃特金插值公式

埃特金(Aitken)插值公式(以下統(tǒng)稱為Aitken插值公式)的構(gòu)造是基于這樣的直觀想象：平面上的兩個點(diǎn)可以連成一條直線,對應(yīng)一個線性函數(shù)；把線性函數(shù)看作形式點(diǎn),經(jīng)線性組合,可構(gòu)成二次函數(shù)；把二次函數(shù)再看作形式點(diǎn),經(jīng)線性組合,可構(gòu)成三次函數(shù)。

第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三xf(x)

x0f(x0)

x1f(x1)P0,1(x)

x2f(x2)P0,2(x)P0,1,2(x)

x3f(x3)P0,3(x)P0,1,3(x)P0,1,2,3(x)Aitken插值表第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三 從Aitken插值公式向算法轉(zhuǎn)化要考慮的問題是：

(1)插值公式右端n-1次多項(xiàng)式應(yīng)如何處理；

(2)插值表中的元素應(yīng)設(shè)置多少個存儲單元；

(3)

插值表中第k列第i行元素的計(jì)算公式。

第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三 Aitken插值算法如下： input

x,(xi,yi),i=0,1,…,n 1

kL：

for

i=k,k+1,…,n

do end ifk≠nthenk+1k,gotoL ifk=n,outputyn

第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

Aitken插值算法為二重循環(huán)。外循環(huán)為k循環(huán)，用于計(jì)算Aitken插值表中的第k列；內(nèi)循環(huán)為i循環(huán)，用于計(jì)算Aitken插值表中的第k列中的第i個元素。

第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

［例4］已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多項(xiàng)式。解：設(shè)x0=-1,x1=1,x2=2第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三xf(x)-121121例4的Aitken插值表第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.4存在惟一性定理

Lagrange插值公式、Newton和Aitken插值多項(xiàng)式是同一個函數(shù)。事實(shí)上,我們有以下一個定理。

定理1有惟一的n次多項(xiàng)式pn(x)，滿足條件：

pn(xi)=yi

(i=0,1,…,n) （1.3）

第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.5插值余項(xiàng)

定理2若f(x)在包含著插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的區(qū)間［a,b］上n+1次可微分,則對任意x,x∈［a,b］,有與x有關(guān)的ξ(a<ξ<b)存在,使得其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三［例５］設(shè)f(x)=lnx,并假定已給出值表試近似計(jì)算ln(0.6)的值，并指出精度。解：利用3次Lagrange插值公式,簡單計(jì)算過程如下：

值表x0.40.50.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三綜合上述,我們有 真值：ln(0.6)=-0.510826， 近似值：p3(0.6)=-0.509975，真誤差：ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851， 估計(jì)的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)|<0.00391第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三［例６］給定

(x∈［-5,5］)。取等距節(jié)點(diǎn)xi=-5+i(i=0,1,…,10),試建立插值多項(xiàng)式L10(x),并作圖形,觀察L10(x)對f(x)的逼近效果。第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-3例6的圖形第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.6分段三次埃爾米特插值

為了避免Runge現(xiàn)象的發(fā)生,我們很自然地會想到把區(qū)間［-5,5］等分為10個小區(qū)間,在每一個小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由于每個小區(qū)間只有兩個端點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）,按照我們已知的方法,得到的將是一個分段線性插值函數(shù)。

第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三已知xi,f(xi),f'(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函數(shù)H(x)滿足H(xi)=f(xi),H'(xi)=f'(xi) (i=0,1,…,n)

為了得到插值函數(shù),考慮任意子區(qū)間［xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1),采用Lagrange插值函數(shù)結(jié)構(gòu),在第i個子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f'(xi)h3(x)+f'(xi+1)h4(x)這樣，就把H(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為四個插值基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構(gòu)造問題。

第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.7三次樣條插值

“樣條”這個詞本來是指在飛機(jī)或輪船設(shè)計(jì)過程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一種工具，即一個具有彈性的細(xì)長木條。事實(shí)上，在作了某些近似簡化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，它只是分段的三次多項(xiàng)式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項(xiàng)式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。

第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三定義

給定［a,b］的分劃：a=x0<x1<…<xn=b,如果函數(shù)s(x)在區(qū)間［a,b］上滿足以下條件：

（1）在每一個子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1)上s(x)是三次多項(xiàng)式；（2）

s(x)在區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s'(x0)=y'0,s′(xn)=y'n。我們就稱s(x)為三次樣條函數(shù)。

第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.8

應(yīng)用實(shí)例

［例9］

要在程控銑床上加工直升飛機(jī)的旋轉(zhuǎn)機(jī)翼，外形的截面形狀見圖1-4。外形頭部有一段圓弧B1B2，圓的半徑R=6.92mm，tanα=0.305,B1,B2的坐標(biāo)為B1(0.52,5.288)，B2(2.6,-3.615)，截面上輪廓線18個點(diǎn)的坐標(biāo)如表1-8所示。旋轉(zhuǎn)機(jī)翼外形截面圖如圖1-4所示。由于圖中有些點(diǎn)很密，所