高考數(shù)(理)命題熱點全覆蓋專題08+含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題規(guī)律

PAGE6專題08含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題規(guī)律一．知識點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①(C)′＝________(C為常數(shù));②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝________；⑤(eq\r(x))′＝________．(2)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝____________________________．6．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這兩個函數(shù)(函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x))的復(fù)合函數(shù)為y＝f(g(x))．（解法二）由得設(shè)，則，由于單調(diào)遞減且，所以時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減方程在上有且只有一個解等價于。故．點睛：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（二）構(gòu)造函數(shù)例2．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng),為兩個不相等的正數(shù)，證明：.【答案】（1）時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；（2）見解析.【解析】(1)求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）設(shè)，原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而可得結(jié)論.（2）當(dāng)時，.不妨設(shè)，則原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即..下面證明當(dāng)時，恒成立.所以，故．練習(xí)1.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知存在兩個極值點，，令，若，，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得單調(diào)區(qū)間.（2）將變形為，利用韋達將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，求得最值，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）.（?。┊?dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，即或時，令，得或.①當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減.②當(dāng)時，在和上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.（2），則，由（1）可知，，，且.則，從而.令，，則.因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，則，即.因為，，即，所以，即的取值范圍為.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)的能成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于難題．（四）多變量問題例4．已知函數(shù)（），（）（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：1是的唯一極小值點；（Ⅲ）若存在，，滿足，求的取值范圍.（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）見解析（3）【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）先求得（），可得，又可證明在定義域內(nèi)遞增，即可證明是g(x)的唯一極小值點；（Ⅲ）令兩函數(shù)的值域有交集即可.試題解析：：（Ⅰ）因為令，得因為，所以當(dāng)變化時，，的變化情況如下：極大值故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)變化時，，的變化情況如下：1極小值故在時取得極小值，即1是的唯一極小值點.（Ⅲ）（五）與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)問題例5．已知函數(shù)（）.(1)若，求函數(shù)的極大值；(2)若時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，，對其求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，故而可得其極值；（2）對求導(dǎo)，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，不等式成立；當(dāng)時，對其進行二次求導(dǎo)，可得恒成立，單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得有唯一零點，進而可得當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，即不恒成立；試題解析：（1）時，，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得極大值，.（2）當(dāng)，即時，，所以單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，，，所以有唯一零點，記為，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，即不恒成立；綜上所述，的取值范圍是.練習(xí)1.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求的值(2)求函數(shù)在值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程可得的方程組，解方程即可得到所求；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得到函數(shù)在值域.試題解析：（1）為），又，解得.（2）由（1）知，，函數(shù)在上遞增，，，函數(shù)在上的值域為.（六）構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)例6．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）無極大值；（2）.【解析】(1)當(dāng)時，，定義域為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)沒有極大值.(2)由已知，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，分類討論可得：①當(dāng)時，.②當(dāng)時，，綜上，由①②得：.（1）當(dāng)時，，定義域為，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.無極大值.（2）由已知，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，①當(dāng)時，，所以，整理：設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以最大值是.②當(dāng)時，，所以，整理：設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以最大值是，綜上，由①②得：.練習(xí)1.已知函數(shù)在處的切線斜率為.（1）若函數(shù)在上單調(diào)，求實數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時，若存在不等的使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)先根據(jù)切線的斜率求出，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)，得到恒成立，求出b的最大值.(2)轉(zhuǎn)化為存在不等的，且使得，進而得到k＞0.【詳解】（1）函數(shù)在處的切線斜率為解得.所以，故因為函數(shù)在上單調(diào)故或在上恒成立.顯然即在上不恒成立.所以恒成立即可.因為可知在上單減，單增故，所以實數(shù)的最大值為1.（2）當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增不妨設(shè)，使得即為存在不等的，且使得.其否定為：任意，都有即：函數(shù)在上單調(diào)遞增.由（1）知：即所以若存在不等的使得實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的存在性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（七）討論參數(shù)求參數(shù)例7．已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，試求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，根據(jù)這兩點可以寫出切線方程。（2）對函數(shù)進行單調(diào)性的研究，分，，,三種情況討論單調(diào)性，研究函數(shù)的圖像變換趨勢，得到參數(shù)方位。（3）原不等式等價于恒成立，對右側(cè)函數(shù)研究單調(diào)性得最值即可。解析：（Ⅰ）當(dāng)時，.，.所以函數(shù)在點處的切線方程為.因為，所以，所以，所以取，顯然且所以，.由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個零點.③當(dāng)時，由，得，或.當(dāng)，則.當(dāng)變化時，，變化情況如下表：注意到，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.當(dāng)，則，在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.若，則.當(dāng)變化時，，變化情況如下表：注意到當(dāng)，時，，，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.綜上，的取值范圍是.（Ⅲ）當(dāng)時，，即,令，則令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增又，，所以，當(dāng)時，，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以單調(diào)遞增，所以，所以．點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分類討論的能力，屬于較難的題．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).練習(xí)1.設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）令，求導(dǎo)得單調(diào)性，進而得，從而得證；（Ⅱ）記求兩次導(dǎo)得在遞增，又，進而討論的正負(fù)，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最值.試題解析：（Ⅰ）令，由∴在遞減，在遞增，∴∴即成立．（Ⅱ）記，∴在恒成立，，∵，∴在遞增，又，∴①當(dāng)時，成立，即在遞增，則，即成立；②當(dāng)時，∵在遞增，且，∴必存在使得．則時，，即時，與在恒成立矛盾，故舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)