第一講數整除一張波

第一講數的整除（一）寶山區(qū)教師進修學院 張

波數的整除能被２或５整除的數的特征因數倍數素數合數分解素因數奇數偶數進入初中以來，我們學習的第一個內容是數的整除。數學是科學的皇后；數論是皇后頭上的皇冠。數的整除就是數論中一個重要的基本概念。一周多的時間里，我們已經學習了許多的知識。在小學里，我們已經認識了許多數，有整數、小數還有分數，并能夠對整數和小數進行加、減、乘、除四則運算.問題1

(1)

“兩個整數相加，它們的和一定是一個整數嗎？”“兩個整數相減，它們的差一定是一個整數嗎？”“兩個整數相乘，它們的積一定是一個整數嗎？”“兩個整數相除，它們的商一定是一個整數嗎？”【分析與討論】經過嘗試和思考，我們不難發(fā)現“兩個整數相加，它們的和一定是一個整數.”類似地，“兩個整數相減，它們的差一定是一個整數；兩個整數相乘，它們的積也一定是一個整數.”問題1

(1)

“兩個整數相加，它們的和一定是一個整數嗎？”“兩個整數相減，它們的差一定是一個整數嗎？”“兩個整數相乘，它們的積一定是一個整數嗎？”“兩個整數相除，它們的商一定是一個整數嗎？”【分析與討論】當兩個整數相除時，結果的情形則較為復雜.如15÷3=5，15÷5=3，15÷2=7.5，15÷4=3.75，或者15÷4=3……3，15÷7=2……1等等.從這個例子中，我們不難看到一個整數除以另一個整數，有可能除盡(即余數為零)，也有可能除不盡(即余數不為零),對于除盡的情形，商有可能是整數，也有可能不是整數.因此，兩個整數相除，如果除得盡（即余數為零），而且商是整數，是一種特殊的情形，這種特殊的情形就是我們正在研究的“數的整除”.定義1：整數a除以整數b，如果除得的商是整數且余數為零，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a.問題2判斷下列說法是否正確?（1）因為3÷2=1.5，所以3能被2整除；（2）因為3÷0.6=5，所以3能被0.6整除；（3）因為12÷4=3，所以12能整除4；（4）因為0÷7=0，所以0能被7整除；【分析與討論】1.整除與除盡是不同的概念.根據整除的定義，首先整除是兩個整數之間的關系，即只有對整數a、b，才討論其中一個是否被另一個整除.其次整除必須是商為整數且余數為零.所以上述問題中（1）是錯的，因為商為1.5不是整數；（2）是錯的，因為0.6不是整數.問題2判斷下列說法是否正確?（1）因為3÷2=1.5，所以3能被2整除；（2）因為3÷0.6=5，所以3能被0.6整除；（3）因為12÷4=3，所以12能整除4；（4）因為0÷7=0，所以0能被7整除；【分析與討論】2.整除的表述是有次序的,“a能整除b”與“b能整除a”表達不同的意思.由12÷4=3，我們說“12被4整除”，或者說“4整除12”.所以上述問題中（3）是錯的.一般地，“a能被b整除”等同于“b能整除a”.問題2判斷下列說法是否正確.（1）因為3÷2=1.5，所以3能被2整除；（2）因為3÷0.6=5，所以3能被0.6整除；（3）因為12÷4=3，所以12能整除4；（4）因為0÷7=0，所以0能被7整除；【分析與討論】3．因為0除以任何非零整數，商都是0，且余數為零，所以0被任何非零整數整除.即上述問題中（4）是正確的.問題3.判斷2021能否被下列數整除:（1）37

（2）47【分析與討論】要判斷2021能否被37（或47）整除，根據整除的定義，我們需要去除除看（用長除法，或者計算器等），看是否商為整數且余數為0.經試除，2021÷37=54……23；2021÷47=43.所以2021能被47整除，不能被37整除.一般地，要判斷一個整數是否能被另一個整數整除，最根本的辦法就是根據整除的定義，去除除看，看是否商為整數且余數為0.能被2、5整除的數的特征

(1)個位數是0、2、4、6、8的整數都能被2整除；

(2)個位數是0或5的整數都能被5整除.我們當然可以思考和探索能被3、4、6、10等整除的特征（今后我們也還會共同研究）.從上面的例子中，我們看到“判斷一個數能否被另一個數整除”，是一件麻煩的事情.因此，對于一些簡單的數，找出能被它們整除的數的特征，可以幫助我們更好、更快地去判斷.一個整數要么被2整除，要么不能被2整除.定義2：能被2整除的整數叫做偶數，不能被2整除的整數叫做奇數.整數奇數偶數所以由定義2，整數可以分為兩類：奇數和偶數.問題4

填空（填“奇數”或“偶數”）：

(1)兩個偶數的和是

；

(2)兩個奇數的和是

；(3)相鄰的兩個整數的和是

，積是

.【分析與討論】（1）我們不難發(fā)現：兩個偶數的和（差）一定是偶數；兩個奇數的和（差）一定是偶數；一個奇數與一個偶數的和（差）是奇數；幾個數相乘，只有這幾個數都是奇數時，積為奇數.（2）相鄰的兩個整數中，必定一個奇數，一個偶數.所以上述問題的答案是:(1)偶數；(2)偶數；(3)奇數，偶數.根據我們對乘法的理解，由5×3=15，我們說15是5的3倍，或者說15是3的5倍，3和5是15的因數.定義3：如果整數a能被整數b整除，則a叫做b的倍數，b叫做a的因數.一般地，如果整數a、b、c滿足a=bc，那么我們說a是b的c倍，或者a是c的b倍，b、c是a的因數.根據整除的定義，如果整數a能被整數b整除，設商為c（因為整除，所以c為整數），則a÷b=c，即a=bc.所以我們給出定義3:問題5

(1)寫出十個7的倍數；

(2)一個正整數的倍數有多少個？有沒有最大或最小的倍數？如果有，是什么？【分析與討論】（1）如7、14、21、28、35、42、49……70.顯然，7與任何一個整數的積都是7的倍數，所以7的倍數有無數個.一般地，7的倍數可以表示為7n（其中n為整數）.（2）類似地，我們可以發(fā)現一個整數的倍數有無數多個，在正整數范圍內，一個正整數沒有最大的倍數，但有最小的倍數，就是它本身.問題6

（1）寫出12的因數；（2）寫出13的因數；（3）一個正整數的因數有多少個？有沒有最大或最小的因數？如果有，是什么？【分析與討論】（1）根據定義，能整除12的整數就是12的因數。經嘗試知，12的因數有1、2、3、4、6、12.類似地，我們得到13的因數有1、13

.顯然，12的因數一定不超過12，所以12的（正）因數一定在1—12這12個整數中.同樣，13的因數一定不超過13.另外，1是所有整數的因數，且顯然是最小的正整數因數.根據上述討論，我們可以領會一個整數的因數有有限個，正整數范圍內，一個正整數的最小因數是1，最大因數就是它本身.定義4：一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做素數（也叫質數）；如果除了1和它本身以外還有別的因數，這樣的數叫做合數.在上述問題的討論中，我們看到1是任何整數的因數，任何一個整數總是它自身的因數，所以一個正整數（除1外）至少有兩個因數，即1和這個整數本身.有的正整數的有許多因數(如12)，而有的正整數只有兩個因數(如13).根據前面的討論，顯然，12是合數，13是素數.【分析與討論】（1）在正整數中，除了素數、合數，還有一個特殊的數1.1既不是素數也不是合數.問題7判斷下列說法是否正確.

(1)正整數可以分成素數、合數兩類；

(2)因為偶數都是2的倍數，所以偶數都是合數；

(3)一個合數至少有3個因數.整數素數合數1所以正整數可以分為1、素數和合數三類(如右圖).所以問題中說法(1)是錯的.問題7判斷下列說法是否正確.

(1)正整數可以分成素數、合數兩類；

(2)因為偶數都是2的倍數，所以偶數都是合數；

(3)一個合數至少有3個因數.2是偶數，且它只有1、2兩個因數，所以2是素數.所以說法(2)是錯誤的.2是唯一的偶素數，其它的偶數都是合數.換句話說，除了2，其余的素數都是奇數.根據定義，合數除了1和它本身以外一定還有別的因數，所以合數至少有3個因數.所以，上述問題中說法(3)是正確的.問題8

判斷31、91是素數還是合數.【分析與討論】我們知道，素數只有1和它本身兩個因數，沒有其它因數.可是，怎么知道一個數有沒有其它因數呢？比如31，它有沒有其它因數，就是看它能否被其它數整除，那么就要檢驗它是否被2、3、4、5、6……整除.這個檢驗的過程能改進嗎？我們不難理解，一個數不能被2整除，也就不可能被4、6、8……整除；同樣地，一個數不能被3整除，也就不可

能被6、9、12……整除；不能被5整除，也就不可能被10、15、20……整除等等.所以，我們只需要檢驗31能否被2、3、5……等素數整除即可.問題8

判斷31、91是素數還是合數.其次，如果除了1和31以外，31還有其它因數，設為b，即b整除31，從而存在整數c，使得bc=31.所以c也是31的因數.下面我們來說明b、c中一定有一個小于6.假設b、c都大于或等于6，即b≥6、c≥6，則bc≥36,與bc＝31矛盾.所以，b、c不可能都大于或等于6.所以,如果31有其它因數，則其中必然有一個小于6.也就是說，如果31沒有小于6的因數，就沒有其它因數了.綜上所述，要判斷31是否為素數，只需檢驗2、3、5是否整除31即可．容易判斷2、3、5都不整除31，所以31是素數.問題8

判斷31、91是素數還是合數.類似地，對于91，如果除了１和９１，它還有其它因數，則這些因數不可能都大于或等于10(否則兩個因數的積就大于或等于100)，所以只需考慮2、3、5、7能否整除91.經檢驗7整除91（91=7×13）,所以91是合數.從上述問題中我們看到，判斷一個數是素數還是合數，是一件很困難的事情.因此,我們需要找出比較小的常用的素數,并記住.所以，很久以前，人們就編制了100以內的素數表.那么100以內的素數表是如何制成的呢？在1到100這些正整數中，

(1)劃去1；

(2)保留2,并劃去其它所有2的倍數；

(3)保留3，并劃去其它所有3的倍數；

(4)保留5，并劃去其它所有5的倍數；

(5)保留7，并劃去其它所有7的倍數；1

2

3

4

5

6

7

8

9

101112131415161718

19

2021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100(6)把沒有劃去的數排列起來，就制成了100以內的素數表．1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

12

13

14

15

16

17

18

19

2021

22

23

24

25

26

27

28

29

3031

32

33

34

35

36

37

38

39

4041

42

43

44

45

46

47

48

49

5051

52

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54

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56

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59

6061

62

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68

69

7071

72

73

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8081

82

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89

9091

92

93

94

95

96

97

98

99

10052

311

1323717

19293141374743535961

6771

7383798997100以內的素數表2

3

5

7

11

13

1719

23

29

31

37

4143

47

53

59

61

6771

73

79

83

89

97問題9.寫出20、96的所有因數．【分析與討論】（1）要寫出一個正整數的所有因數，我們可以用試除的方法，一個一個試算出來．如經試算，20=1×20=2×10=4×5，所以20的因數有1、2、4、5、10、20.共6個．類似地，經試算，96=1×96=2×48=3×32=4×24=6×16=8×12，所以96的因數有1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96.共12個．問題9.寫出20、96的所有因數．（2）要寫出一個正整數的所有因數，也可以先把這個整數分解素因數，進而根據素因分解式寫出其因數．如把20分解素因數得：20=2×2×5，從而，其因數有

1、

2、

2×2、5、2×5、2×2×5.當數字較小時，這樣的處理都是可以的．但當數字較大時，這樣求一個整數的因數個數既費時，又容易漏解．接下來，我們一起探索一個整數的因數個數與什么有關，又有怎樣的規(guī)律．整數分解素因數所有因數因數個數44=2×21、2、2×2388=2×2×21、2、2×2、2×2×241616=2×2×2×21、2、2×2、2×2×2、2×2×2×253232=2×2×2×2×2……………………………從中，你能發(fā)現什么規(guī)律嗎？我們再看一些例子．整數分解素因數所有因數因數個數66=2×31、2、3、2×341212=2×2×31、2、2×2、3、2×3、2×2×362424=2×2×2×31、2、2×2、2×2×2、3、2×3、2×2×3、2×2×2×383636=2×2×3×31、2、2×2、3、2×3、2×2×3、3×3、2×3×3、2×2×3×39…………………你剛才發(fā)現的