直角三角形與勾股定理

直角三角形與勾股定理第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1直角三角形的概念、性質(zhì)與判定定義有一個(gè)角是________的三角形叫做直角三角形性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余(2)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于______________(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于________________斜邊的一半

直角

斜邊的一半

第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃考點(diǎn)聚焦第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)2

勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方．即：________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：________，那么這個(gè)三角形是直角三角形用途(1)判斷某三角形是否為直角三角形；(2)證明兩條線段垂直；(3)解決生活實(shí)際問題勾股數(shù)能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)a2＋b2＝c2

a2＋b2＝c2

第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三考點(diǎn)3互逆命題第21講┃考點(diǎn)聚焦互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果我們把其中一個(gè)叫做______，那么另一個(gè)叫做它的______互逆定理若一個(gè)定理的逆定理是正確的，那么它就是這個(gè)定理的________，稱這兩個(gè)定理為互逆定理原命題逆命題逆定理第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三考點(diǎn)4

命題、定義、定理、公理第21講┃考點(diǎn)聚焦定義在日常生活中，為了交流方便，我們就要對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給他們下定義命題定義判斷一件事情的句子叫做命題分類正確的命題稱為________錯(cuò)誤的命題稱為________組成每個(gè)命題都由______和______兩個(gè)部分組成公理公認(rèn)的真命題稱為________定理除公理以外，其他真命題的正確性都經(jīng)過推理的方法證實(shí)，推理的過程稱為________．經(jīng)過證明的真命題稱為________真命題假命題條件結(jié)論公理證明定理第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例歸類示例?類型之一利用勾股定理求線段的長度命題角度：1.利用勾股定理求線段的長度；2.利用勾股定理解決折疊問題．例1

[2013·黃石]

將一個(gè)有45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖21－1，則三角板的最大邊的長為(

)圖21－1D

第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例變式題[2012·廣州]

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點(diǎn)C到AB的距離是(

)A

第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例[解析]根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊；(2)已知直角三角形的一邊求另兩邊的關(guān)系；(3)用于證明平方關(guān)系的問題．第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三?類型之二實(shí)際問題中勾股定理的應(yīng)用命題角度：1.求最短路線問題；2.求有關(guān)長度問題．第21講┃歸類示例

例2如圖21－2，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)AB＝4，BC＝4，CC1＝5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長；(3)求點(diǎn)B1到最短路徑的距離．第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例圖21－2第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例利用勾股定理求最短線路問題的方法：將起點(diǎn)和終點(diǎn)所在的面展開成為一個(gè)平面，進(jìn)而利用勾股定理求最短長度．第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三?類型之三勾股定理逆定理的應(yīng)用

例3[2013·廣西]已知三組數(shù)據(jù)：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)為三角形的三邊長，構(gòu)成直角三角形的有(

)A．②B．①②C．①③D．②③第21講┃歸類示例命題角度：勾股定理逆定理．D第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例[解析]根據(jù)勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第三邊的平方即可構(gòu)成直角三角形．只要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可判斷．①∵22＋32＝13≠42，∴以這三個(gè)數(shù)為長度的線段不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；②∵32＋42＝52

，∴以這三個(gè)數(shù)為長度的線段能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；③∵12＋(√3)2＝22，∴以這三個(gè)數(shù)為長度的線段能構(gòu)成直角三角形，故符合題意．故構(gòu)成直角三角形的有②③.故選D.第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例

判斷是否能構(gòu)成直角三角形的三邊，判斷的方法是：判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可判斷．第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三?類型之四定義、命題、定理、反證法

例4[2013·淄博]下列命題為假命題的是(

)A．三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°B．三角形兩邊之和大于第三邊C．三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方D．三角形的面積等于一條邊的長與該邊上的高的乘積的一半第21講┃歸類示例命題角度：1．定義、命題、定理的含義；2．區(qū)分命題的條件(題設(shè))和結(jié)論；3．逆命題的概念，識(shí)別兩個(gè)互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立．C第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例

[解析]選項(xiàng)A和B中的命題分別為三角形的內(nèi)角和定理與三角形三邊關(guān)系定理，均為真命題；對(duì)于選項(xiàng)C，只有直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，而其他三角形的三邊都不具有這一關(guān)系，因此是假命題；選項(xiàng)D中的命題是三角形的面積計(jì)算公式，也是真命題，故應(yīng)選C.第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三變式題[2011·德州]下列命題中，其逆命題是真命題的是________．(只填寫序號(hào))①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．第21講┃歸類示例①④

[解析]

①的逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確；②的逆命題：相等的兩個(gè)角是直角，錯(cuò)誤；③的逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)數(shù)也相等，錯(cuò)誤，如：22＝(－2)2，但2≠－2；④的逆命題：如果一個(gè)三角形是直角三角形，則它的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，正確．第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃歸類示例只有對(duì)一件事情做出判定的語句才是命題，其中正確的命題是真命題，錯(cuò)誤的命題是假命題．對(duì)于命題的真假(正誤)判斷問題，一般只需根據(jù)熟記的定義、公式、性質(zhì)、判定定理等相關(guān)內(nèi)容直接作出判斷即可，有的則需要經(jīng)過必要的推理與計(jì)算才能進(jìn)一步確定真與假．第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃回歸教材巧用勾股定理探求面積關(guān)系回歸教材教材母題

江蘇科技版八上P68T6如圖21－3，以Rt△ABC的三邊為直徑的3個(gè)半圓的面積之間有什么關(guān)系？請說明理由．圖21－3第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃回歸教材第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三第21講┃回歸教材中考變式[2011·貴陽]

如圖21－4，已知等腰Rt△ABC的直角邊長為1