線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換內(nèi)積空間

線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換內(nèi)積空間第一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三I.先修課程《矩陣論》主要以大學(xué)《線(xiàn)性代數(shù)》為先修課程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《線(xiàn)性代數(shù)》教材書(shū)為參考書(shū)?！毒仃囌摗愤€以大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》為先修課程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》教材書(shū)為參考書(shū)。本課程假定讀者已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)上述兩門(mén)大學(xué)課程或已經(jīng)掌握相關(guān)的知識(shí)。第二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三II.主要內(nèi)容課程主要包括以下六項(xiàng)內(nèi)容：

(1)線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換；

(2)內(nèi)積空間；

(3)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；

(4)矩陣分解；

(5)范數(shù)理論及其應(yīng)用；

(6)矩陣分析及其應(yīng)用。第三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第1章：線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換內(nèi)容：線(xiàn)性空間的一般概念重點(diǎn)：空間結(jié)構(gòu)和其中的數(shù)量關(guān)系線(xiàn)性變換重點(diǎn)：其中的矩陣處理方法特點(diǎn)：研究代數(shù)結(jié)構(gòu)——具有線(xiàn)性運(yùn)算的集合?？粗氐牟皇茄芯繉?duì)象本身，而是對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。研究的關(guān)注點(diǎn)：對(duì)象之間數(shù)量關(guān)系的矩陣處理。學(xué)習(xí)特點(diǎn)：具有抽象性和一般性。第四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

一.集合與映射集合集合：作為整體看的一堆東西.集合的元素：組成集合的事物.

設(shè)S表示集合，a表示S的元素，記為a∈S讀為a屬于S；用記號(hào)aS

表示a不屬于S.

集合的表示：(1)列舉法

51.1線(xiàn)性空間(LinearSpaces)第五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例如空集合：不包含任何元素的集合，記為子集合：設(shè)表示兩個(gè)集合，如果集合都是集合的元素，即由，那么就稱(chēng)的子集合，記為相等：即

(2)特征性質(zhì)法6第六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三集合的交：集合的并：集合的和：例如數(shù)域數(shù)域：是一個(gè)含0和1,且對(duì)加，減，乘，除（0不為除數(shù)）封閉的數(shù)集.7第七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例如：有理數(shù)域Q，實(shí)數(shù)域R，復(fù)數(shù)域C.映射映射：設(shè)S

與S’

是兩個(gè)集合，一個(gè)法則（規(guī)則），它使S中的每個(gè)元素a都有S’中一個(gè)確定的元素a’

與之對(duì)應(yīng)，記為稱(chēng)為集合S到S’

的映射，a’

稱(chēng)為a

在映射下的象，而a

稱(chēng)為a’

在映射σ下的一個(gè)原象.8第八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三變換：S到S自身的映射.例如：將方陣映射為數(shù)將數(shù)映射為矩陣可看成變換。其中相等：設(shè)都是集合S到的映射，如果對(duì)于都有，則稱(chēng)相等，記為.9第九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三乘法：設(shè)依次是集合S到，的映射，乘積定義如下是S到的一個(gè)映射.注：，（是的映射）第十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、線(xiàn)性空間的概念線(xiàn)性空間=集合+兩種運(yùn)算（所成完美集合）ExampleR3={x=（x1，x2，x3）T：xi

R}={空間中所有向量}定義向量的加法，數(shù)與向量的乘積。運(yùn)算封閉八條運(yùn)算律成立第十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三線(xiàn)性空間=集合+兩種運(yùn)算（所成完美集合）Definition:(線(xiàn)性空間或向量空間)要點(diǎn)：集合V與數(shù)域F向量的加法和數(shù)乘向量運(yùn)算（運(yùn)算之后的結(jié)果跑不出去）八條運(yùn)算律（能夠保證向量的混合運(yùn)算幾乎與數(shù)的運(yùn)算一樣完美）第十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三常見(jiàn)的線(xiàn)性空間Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}

運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘向量Fmn

={A=[aij]mn：a

ijF}；

運(yùn)算：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣Rmn

；Cmn

。F[t]n={f(x)=a0+a1x+

a2x2+...+an-1xn-1

：aiR}

運(yùn)算：多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上連續(xù)}

運(yùn)算：函數(shù)的加法和數(shù)乘Example：V=R+，F(xiàn)=R，ab=ab，a=a

F=R或C第十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三不是線(xiàn)性空間的集合V={X=（x1，x2，1）T：xi

R}

運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘向量要證明一個(gè)集合不是線(xiàn)性空間，定義中有很多漏洞可以攻擊。

第十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三線(xiàn)性空間的一般性的觀(guān)點(diǎn)：線(xiàn)性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的負(fù)元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)：

0=0，k0=0，k=0=0

或k=0（4）=（1）數(shù)0向量0第十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、向量組的探討（Review)向量的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)：向量可由1，2，…，s線(xiàn)性表示;（其工作可由多人合力完成）向量組1，2，…，s線(xiàn)性無(wú)關(guān)任何一個(gè)向量不能由其余向量線(xiàn)性表示要使k11+k22+…+kss

=0,只有系數(shù)都為0向量組1，2，…，s線(xiàn)性相關(guān)其中一個(gè)向量可以由其余向量線(xiàn)性表示要使k11+k22+…+kss

=0,必須有非零系數(shù)第十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、向量組的探討（Review)向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組：1，2，…，s為向量組A的一個(gè)部分組（精英組合）滿(mǎn)足向量組1，2，…，s線(xiàn)性無(wú)關(guān)（彼此工作不可替代）任意A的向量可以由1，2，…，s線(xiàn)性表示（公司的任何人的工作可由精英組合完成）向量組的秩(rank)：最大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)

第十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三四、線(xiàn)性空間的基和維數(shù)抽象的線(xiàn)性空間的元素稱(chēng)之為向量(vector)所有的線(xiàn)性空間中的向量的線(xiàn)性相關(guān)性定義和Rn一樣：定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。有關(guān)性質(zhì)與定理和Rn中的結(jié)果一樣。因此，要研究線(xiàn)性空間，只需要研究它的最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組----即為基(basis)第十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三四、線(xiàn)性空間的基和維數(shù)基(basis)：線(xiàn)性空間的極大無(wú)關(guān)組；維數(shù)(dimension)：基中向量的個(gè)數(shù)；常見(jiàn)線(xiàn)性空間的基與維數(shù)：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim

Fn=nRmn

，自然基{Eij}，dim

Rmn

=mn。F[t]3，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3=3C[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，

dimC[a，b]=約定：本書(shū)主要研究有限維線(xiàn)性空間。第十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三五、坐標(biāo)坐標(biāo)的來(lái)歷：設(shè){1，2，…，n}是空間V的一組基，V,可以由基1，2，…，n唯一線(xiàn)性表示=x11+x22+…+xnn

則x1，x2，…，

xn

是在基{i}下的坐標(biāo)。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐標(biāo)。要點(diǎn)：

坐標(biāo)與基有關(guān)坐標(biāo)的表達(dá)形式第二十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例2

設(shè)空間F[x]4的兩組基為：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在這兩組基下的坐標(biāo)。歸納：有了基，就可以將一個(gè)抽象的線(xiàn)性空間中的元素和一個(gè)實(shí)際的元素對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而將抽象具體化進(jìn)行研究。第二十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三*例3

設(shè)R22中向量組{Ai}1

討論{Ai}的線(xiàn)性相關(guān)性.2求向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.3把其余的向量表示成極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的線(xiàn)性組合.第二十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三六、基變換和坐標(biāo)變換討論：不同的基之間的關(guān)系同一個(gè)向量在不同基下坐標(biāo)之間的關(guān)系1基變換公式設(shè)空間中有兩組基：過(guò)渡矩陣C的性質(zhì)：C為可逆矩陣C的第i列是i

在基{i

}下的坐標(biāo)則過(guò)渡矩陣第二十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2坐標(biāo)變換公式已知空間中兩組基：滿(mǎn)足::;討論X和Y的關(guān)系

X=CY第二十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例已知空間R中兩組基（I）{Eij}（II）；{}求從基（I）到基（II）的過(guò)渡矩陣C。求向量在基（II）的坐標(biāo)Y。例1.1.8P8第二十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三線(xiàn)性空間V與Fn的同構(gòu)

坐標(biāo)關(guān)系VFnV的基{1，2，。。。n}由此建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系V，XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在關(guān)系下，線(xiàn)性空間V和Fn同構(gòu)。第二十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三同構(gòu)的性質(zhì)定理1.3:V中向量{1，2，…n}線(xiàn)性相關(guān)它們的坐標(biāo){X1,

X2,…,Xn}在Fn中線(xiàn)性相關(guān)。同構(gòu)保持線(xiàn)性關(guān)系不變。應(yīng)用：

借助于空間Fn中已經(jīng)有的結(jié)論和方法研究一般線(xiàn)性空間的線(xiàn)性關(guān)系。第二十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三§1.2

子空間

概述：線(xiàn)性空間V中，向量集合V可以有集合的運(yùn)算和關(guān)系：

WiV，W1W2，W1W2，問(wèn)題：這些關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果是否仍然為線(xiàn)性空間？第二十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、子空間的概念

定義：

設(shè)非空集合WV，W

，如果W中的元素關(guān)于V中的線(xiàn)性運(yùn)算為線(xiàn)性空間，則稱(chēng)W是V的子空間。

判別方法：ImportantTheoremW是子空間

W對(duì)V的線(xiàn)性運(yùn)算封閉。子空間本身就是線(xiàn)性空間。子空間的判別方法可以作為判別線(xiàn)性空間的方法第二十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三子空間和非子空間的例子：V={x=(x1，x2，0｝R3，V={x=(x1，x2，1｝R3，矩陣ARm×n，齊次線(xiàn)性方程組AX=0的解集合：S=｛X：AX=0｝Rn，非齊次線(xiàn)性方程的解集合：

M=｛X：AX=b｝Rn，第三十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三重要的子空間：生成子空間

設(shè)向量組｛1，2，···，

m｝V，由它們的一切線(xiàn)性組合生成的子空間：

Span{1，2，···，m}=L(1，2，···，m)

=

｛k11+k22+···+kmm|

ki}

生成子空間的重要的性質(zhì)：1）如果1，2，···，m線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則其為生成子空間Span{1，2，···，m}的一組基；2）如果1，2，···，r是向量組1，2，···，m的最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，則

Span{1，2，···，m}

1，2，···，r是Span{1，2，···，m}的一組基第三十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、子空間的“交空間”與“和空間”

討論：設(shè)W1V，W2

V，且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？（1）

交空間交集：W1W2=｛

W1

而且W2｝Vn（F）W1W2是子空間，被稱(chēng)為“交空間”（2）和空間和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝W1W2W1＋W2W1＋W2是子空間，被稱(chēng)為“和空間”，W1W2不一定是子空間，W1W2

W1＋W2

第三十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例設(shè)R3中的子空間W1=L{e1}，W2=L{e2}

求和空間W1＋W2。比較：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=Span{1，2，…，

m}，

W2=Span{1，2，…，

k}，則

W1＋W2=Span{1，2，…，m，1，2，…，

k}

第三十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、維數(shù)公式

子空間的包含關(guān)系：

dimW1W2dimWidimW1＋W2dimVn（F）。維數(shù)定理：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）證明：第三十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、子空間的直和

分析：如果dim（W1W2）0，則

dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2

所以：

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定義：

若

dim（W1W2）=0，則和為直和

W=W1＋W2=W1W2，第三十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三子空間的“和”為“直和”的充要–條件：

Theorem

設(shè)W=W1＋W2，則下列各條等價(jià)：（1）

W=W1W2（2）

XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2第三十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例

P131.2.6

例

設(shè)在Rn×n中，子空間

W1={A

AT=A}，W2={BBT=–B}，證明Rn×n=W1W2。

第三十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三§1·3線(xiàn)性變換(LinearTransformations)一、

線(xiàn)性變換的概念線(xiàn)性變換的來(lái)歷；Definition：（i）T是V上的映射：T：VV。

(ii)T具有線(xiàn)性性：

T（＋）=T（）＋T（）

(保持加法的三角形法則)T（k）=kT（）

(保持比例關(guān)系)第三十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2線(xiàn)性變換的性質(zhì)：（i）T(0)=0（ii）

T(－)=－T()（iii）

3線(xiàn)性變換的象空間和零空間設(shè)線(xiàn)性變換T：VV，象空間Im(T)=｛：V，=T()｝

零空間Ker(T)=｛：V，T()=0｝定義：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）線(xiàn)性變換保持線(xiàn)性相關(guān)性不變！第三十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例

(P018)

Rn中的變換T：設(shè)ARn×n是一個(gè)給定的矩陣，XRn，T(X)=AX。(1)T是線(xiàn)性變換；(2)Ker(T)是AX=0的解空間；(3)Im(T)=Span{a1,a2,...,an},其中a1是矩陣A的列向量；(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n第四十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三4線(xiàn)性變換的運(yùn)算設(shè)T1，T2都是空間V中的線(xiàn)性變換，常見(jiàn)的用它們構(gòu)成的新的變換：（i）

T1＋T2

V，（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）

T1T2

V，

(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）

kT

V，（kT）（）=k（T（））（iv）

若T－1是可逆變換，T－1

T－1()=當(dāng)且僅當(dāng)T()=。定義第四十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、線(xiàn)性變換的矩陣

1線(xiàn)性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式Purpose:將抽象的線(xiàn)性變換與矩陣對(duì)應(yīng)起來(lái)T的矩陣第四十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、線(xiàn)性變換的矩陣

1線(xiàn)性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式V上線(xiàn)性變換的特點(diǎn)分析：定義變換T

確定基中向量的象T（i）。定義T（i）確定它在基下{i}的坐標(biāo)Ai

。定義變換T

確定矩陣A=[A1，A2，…，An]第四十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例

已知定義映射T：(1)證明T是V上的線(xiàn)性變換；(2)求V的一組基，并求T在這組基下的矩陣。第四十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

2線(xiàn)性變換運(yùn)算的矩陣對(duì)應(yīng)：設(shè)V上的線(xiàn)性變換T1，T2，它們?cè)谕唤M基下的矩陣：T1A1；T2A2（i）（T1＋T2）（A1＋A2）（ii）（T1T2）

A1A2（iii）（kT）

kA（iv）T－1

A－1第四十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

3不同基下的變換矩陣兩組基{1，2，…,n}，{1，2，…,n}，（12…n）=（12…n

）CT（12…n

）=（12…n）AT（12…n）=（12…n）B

同一個(gè)線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣是相似的B=C－1AC123第四十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三*例（P025，例1.4.6）*例

設(shè)單位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的線(xiàn)性變換

P（x）=x-（x，u）u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的變換矩陣。求P在標(biāo)準(zhǔn)正交基{u，u2，u3}下的變換矩陣。第四十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.1

內(nèi)積與歐氏空間

InnerProduct&EuclidianSpaces內(nèi)積的作用：研究高維空間中的幾何問(wèn)題。

1Example:R3上的內(nèi)積定義2

內(nèi)積的公理化定義Definition：要點(diǎn)內(nèi)積(，)是二元運(yùn)算：V×V→R

(，)的公理性質(zhì)

(，)是任何滿(mǎn)足定義的運(yùn)算。討論(，1＋2),(，k)

第四十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

3常見(jiàn)的內(nèi)積空間：Rn

；Remark:對(duì)于同一個(gè)線(xiàn)性空間，可以定義不同的內(nèi)積成為不同的歐氏空間Rm×n；第四十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

4向量的長(zhǎng)度

定義：||

||=5

歐氏空間中向量的夾角：定義：0，0，夾角定義為：cos=性質(zhì)：

||

k||

=k||

||

；三角不等式(Cauchy不等式)：

，

V,

|

(，)

|

||

||

||

||

。||

＋||

||

||

＋||

||

和正交（，）=0

第五十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三6線(xiàn)性空間的內(nèi)積及其計(jì)算：設(shè){1，2，…,n}是內(nèi)積空間V的基，，V，則有=x11＋x22＋…＋xn

n=

(12…n)X；=y11＋y22＋…＋yn

n=(1

2…n)Y(，)==YHAX，

定義內(nèi)積在一個(gè)基{1，2，…，

n}中定義內(nèi)積

定義一個(gè)度量矩陣A。

度量矩陣A度量矩陣的性質(zhì)：第五十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基OrthogonalBasis

1正交的向量組：

定義：｛1，2，…，n｝為正交組(i，j)=0性質(zhì)：不含零向量的正交向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。2標(biāo)準(zhǔn)正交基基｛1，2，…，n｝是標(biāo)準(zhǔn)正交基(i，

j)=要點(diǎn)：是基，兩兩正交，每一個(gè)向量是單位向量第五十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)點(diǎn)：

度量矩陣是單位矩陣，即A=I=(12…n)X，=(12…n)Y，(，)=YHX=x11＋x22＋…＋xn

n，xi=(，i)和正交其坐標(biāo)X和Y正交

坐標(biāo)空間Fn的內(nèi)積標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性：求標(biāo)準(zhǔn)正交基的步驟：

Schmidt正交化

標(biāo)準(zhǔn)化第五十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例

已知(1)證明(X,Y)是V上的內(nèi)積；(2)求W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。第五十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.4正交補(bǔ)定義:設(shè)W,U是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,則稱(chēng)a與W正交，記作aW;(2)若aW,

bU,都有(a,b)=0,則稱(chēng)W

與U正交，記作W

U;(3)若W

U，并且W

+U=V,則稱(chēng)U

為W的正交補(bǔ)。注意：若W

U，則W與U

的和必是直和。55第五十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三正交補(bǔ)的存在唯一性定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，則W的正交補(bǔ)存在且唯一，記該正交補(bǔ)為，并且56定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的有限維子空間，則第五十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三向量的正投影定義:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，則稱(chēng)