一維隨機變量及其分布

章一維隨機變量及其分布

一、隨機變量二、隨機變量的分布函數(shù)三、離散型的概率分布律四、連續(xù)型隨機變量及其概率密度五、隨機變量的函數(shù)的分布2021/5/91

上一章用集合來表示事件和事件的運算，實現(xiàn)了第一步抽象化、符號化的工作。但在這里，集合中的元素對應的還是隨機試驗中具體出現(xiàn)的結(jié)果。本章首先要作的就是把這些結(jié)果和實數(shù)對應，相應的變量即為隨機變量，則事件對應著相應的數(shù)集，進一步的，我們可以把已有的數(shù)學工具應用到概率分布問題的研究，從而實現(xiàn)研究方法的函數(shù)化，這有利于更好、更深入地揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性?？聪旅婧唵蔚睦永?拋擲一枚硬幣的兩個結(jié)果：｛正面，反面｝，也可以用數(shù)字表示：｛1，0｝,這時對應的關(guān)系可以反映為一個變量2021/5/92一、隨機變量的概念1隨機變量及其分布定義設E是一隨機試驗，是它的樣本空間，若對中的每一個,都有唯一的實數(shù)與之對應，則稱為(隨機試驗E的)隨機變量。隨機變量一般用X,Y,Z,或小寫希臘字母,,表示。即（映射）問：定義域和值域分別是什么？2021/5/93離散型連續(xù)型取值為有限個和至多可列個的隨機變量.可以取區(qū)間內(nèi)一切值的隨機變量.例1(1)隨機地擲一顆骰子，ω表示所有的樣本點,X(ω):12

3456(2)某人買彩票直至買中為止，ω表示買入次數(shù)，則ω：買1次買2次......買n次......X(ω)：12......n......(3)記錄下午兩點到晚上12點電話呼入時間,則ω:呼入時間X(ω):[0,10]ω：2021/5/94

引入隨機變量后，用隨機變量的等式或不等式表達隨機事件。(3)X(ω)表示記錄下午兩點到晚上12點電話呼入時間對應的隨機變量，討論例1(1)X(ω)表示隨機地擲一顆骰子擲出的點數(shù)則表示事件，進一步地討論它們的概率。(2)X(ω)某人買彩票直至買中為止的次數(shù)，討論2021/5/95定義了一個x的實值函數(shù)，稱為隨機變量X的分布函數(shù)，記為F(x),即定義設X為隨機變量,對每個實數(shù)x,隨機事件的概率注:1.分布函數(shù)對應的集合可以表示隨機變量其它等式或不等式表示的集合；2.分布函數(shù)給出了研究統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)一的基本概念。它完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性（見下頁）.二、隨機變量的分布函數(shù)2021/5/96（]ab]]（]

若把X看作數(shù)軸上的坐標，則表示X落在區(qū)間上的概率，則利用分布函數(shù)可以計算而2021/5/972.且分布函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)不減，即3.

右連續(xù)，即注：后兩條性質(zhì)做直觀理解即可！2021/5/98即求的分布函數(shù)，并求

例1:設隨機變量的有分布為-1232021/5/99-101231-101231xy圖像：2021/5/910解：由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有得解得試求常數(shù)A,B.例2設隨機變量X

的分布函數(shù)為2021/5/911描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或稱分布律，即概率分布的性質(zhì)

非負性

規(guī)范性2離散型隨機變量

定義若隨機變量X的可能取值是有限多個或

無窮可列多個，則稱X為離散型隨機變量.一、離散型隨機變量的分布律2021/5/912(1)0–1

分布

二、常見的離散型隨機變量的分布應用場合凡是試驗的目的只考慮兩個可能的結(jié)果，常用0–1分布描述，如考試是否及格、產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等.－－簡單且普便或?qū)懗蒟=k

10P

p1–p0<

p<

1分布律：2021/5/913(2)二項分布

回顧：n

重Bernoulli

試驗中，每次試驗感興趣的事件A在n

次試驗中發(fā)生的k次的概率？稱

X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作0–1

分布是n=1

的二項分布若P(A)=

p,則給出隨機變量X，X為事件

A在

n

次試驗中發(fā)生的次數(shù)。2021/5/914例2一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取出15件．試求下列事件的概率：

B={取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品}

C={取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品}

解：由于從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品，故可近似看作是15重Bernoulli試驗．所以，X表示“抽取的產(chǎn)品中次品的個數(shù)”，則2021/5/915

例3:一個完全不懂英語的人去參加英語考試.假設此考試有5個選擇題，每題有4重選擇，其中只有一個答案正確.試求：他居然能答對3題以上而及格的概率.

解:由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題也是相互獨立的.這樣，他答題的過程就是一個Bernoulli試驗。

另問：全部答錯的概率？0.2372021/5/916(3)Poisson分布或

回顧：的冪級數(shù)展開式？或若變量X滿足其中是常數(shù)，則稱

X

服從參數(shù)為的Poisson分布，記作例4設隨機變量

X

服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知試求2021/5/917

解：隨機變量X

的分布律為得由已知那么2021/5/9183

連續(xù)型隨機變量及其概率密度引例

考慮某車床加工的零件長度與規(guī)定的長度的偏差，通常知道偏差的范圍，設其偏差的絕對值最大是a,那么

V

［-a,a］．2021/5/919

定義設X

是一隨機變量，若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù).則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度.一、連續(xù)型隨機變量的概念2021/5/920xf(x)xF(x)分布函數(shù)

F(x)

與密度函數(shù)

f(x)的幾何意義:建立坐標系,給出f(x)的圖像。2021/5/921f(x)的性質(zhì)：1、2、

我們常利用此性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。3、在

f(x)

的連續(xù)點處，f(x)

描述了X在

x

點分布函數(shù)值的變化率。4、對任意的a<b,有2021/5/922注意:

對于連續(xù)型隨機變量X

,密度函數(shù)的積分才對應著概率值，故有P(X=a)=0，這里

a

可以是隨機變量

X

的一個可能的取值。命題

連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零，則要注意不可能事件的概念與不同。2021/5/923那么，對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a2021/5/924xf(x)a2021/5/925例1設隨機變量具有概率密度函數(shù)試確定常數(shù)A，以及的分布函數(shù).

解由知A=3，即而的分布函數(shù)為2021/5/926(1)均勻分布則稱

X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作若X的密度函數(shù)為X

的分布函數(shù)為二、常見的連續(xù)性隨機變量的分布2021/5/927均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)圖像：abxF(x)01密度函數(shù)：分布函數(shù)：xab0f(x)2021/5/928(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布。記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)2021/5/929一般地，若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布為常數(shù)，記作(3)正態(tài)分布首先看標準正態(tài)分布2021/5/9302021/5/931f(x)的性質(zhì)：

圖形關(guān)于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀2021/5/932xf(x)0若1<2，則，前者取附近值的概率更大.x=1所對應的拐點

2021/5/933應用場合

若隨機變量X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生們的考試成績；可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；2021/5/934密度函數(shù)的驗證可以驗證2021/5/9352021/5/936標準正態(tài)分布N(0,1)

分布函數(shù)為回憶：怎么計算？2021/5/937圖形2021/5/938-xx2021/5/939對一般的正態(tài)分布

N(,2),其分布函數(shù)

作變量代換2021/5/940例5設X~N(1,4),求P(0X1.6)解附表2021/5/941即由隨機變量X來考察Y=g(X)的概率特性。4隨機變量函數(shù)的分布引例已知

X

的概率分布為Xp

-1012Y=2X–1，那么Y的分布律為Yp-3-1132021/5/942設隨機變量

X

的分布律為由已知函數(shù)Y=g(X)可求出隨機變量Y的所有可能取值，則Y的概率分布為一、離散型隨機變量函數(shù)的分布2021/5/943例1

已知

X

的概率分布為X

pk-1012求Y=X

2

的分布律.解Ypi1014Ypi0142021/5/944已知隨機變量X的密度函數(shù)f(x)(或分布函數(shù))求Y=g(X)

的密度函數(shù)或分布函數(shù).基本方法的步驟：

二、連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布先看例子2021/5/945解：(1)先求Y=X-4的分布函數(shù)

FY(y)：設隨機變量X

具有概率密度：試求Y=X-4

的概率密度.例22021/5/9462021/5/947

整理得Y=X-4

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導公式：注意：求Y的密度函數(shù)并不需要把Y的分布函數(shù)具體求出。總結(jié)一般規(guī)律，回節(jié)首2021/5/948例3已知

X密度函數(shù)為為常數(shù)，且

a0,求fY(y).解當a>0

時，2021/5/949當a<0時，故2021/5/950例如，設

X