2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第八章 第七講　拋物線 學(xué)案

第七講拋物線知識梳理知識點一拋物線的定義平面內(nèi)_與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等__的點的軌跡叫拋物線．點_F__叫拋物線的_焦點__，直線_l__叫拋物線的_準(zhǔn)線__.注：l經(jīng)過F時，與定點F和定直線l距離相等的點的軌跡為過F與l垂直的一條直線．知識點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝_1__準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)歸納拓展拋物線焦點弦的處理規(guī)律如圖，直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N，(l為拋物線的準(zhǔn)線)．則△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即當(dāng)x1＝x2時，弦長最短為2p.(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).(4)焦點弦端點與頂點構(gòu)成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|.(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(6)焦點F對A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.(7)A、O、D三點共線；B、O、C三點共線．(8)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點M(2p,0)作直線與拋物線交于A，B兩點，則OA⊥OB；過原點O作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A，B兩點(即OA⊥OB)，則直線AB必過定點(2p,0)．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(×)(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(√)(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(√題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P135例4)過拋物線y2＝4x的焦點且傾斜角為eq\f(π,4)的直線l交拋物線于A、B，則|AB|＝(B)A．9 B．8C．7 D．6[解析]由題意知l：y＝x－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選B.3．(多選題)(選擇性必修1P136T1)過點M(5，－4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(BC)A．x2＝－eq\f(4,25)y B．x2＝－eq\f(25,4)yC．y2＝eq\f(16,5)x D．y2＝eq\f(5,16)x[解析]若拋物線的對稱軸為y軸，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py，則25＝8p，∴p＝eq\f(25,8)，拋物線方程為x2＝－eq\f(25,4)y，若拋物線的對稱軸為x軸，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px，則16＝10p，∴p＝eq\f(8,5)，拋物線方程為y2＝eq\f(16,5)x，故選BC.題組三走向高考4．(2021·全國新高考Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FQ))＝6，則C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).[解析]不妨設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，∴Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(p,2)，0))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(6，－p)，因為PQ⊥OP，所以eq\f(p,2)×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).故答案為x＝－eq\f(3,2).5．(多選題)(2022·全國高考真題)已知O為坐標(biāo)原點，點A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則(BCD)A．C的準(zhǔn)線為y＝－1 B．直線AB與C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2[解析]將點A的坐標(biāo)代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y(tǒng)，故準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4)，A錯誤；kAB＝eq\f(1－－1,1－0)＝2，所以直線AB的方程為y＝2x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1,x2＝y(tǒng)))，可得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，故B正確；設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,x2＝y(tǒng)))，得x2－kx＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝k2－4>0,x1＋x2＝k,x1x2＝1))，所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝eq\r(y1＋y\o\al(2,1))，|OQ|＝eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))＝eq\r(y2＋y\o\al(2,2))，所以|OP|·|OQ|＝eq\r(y1y21＋y11＋y2)＝eq\r(kx1·kx2)＝|k|>2＝|OA|2，故C正確；因為|BP|＝eq\r(1＋k2)|x1|，|BQ|＝eq\r(1＋k2)|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正確．故選BCD.考點一拋物線的定義及應(yīng)用——多維探究角度1軌跡問題例1動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是(D)A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[解析]設(shè)動圓的圓心為C半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓到直線x＝2距離為r＋1，即動圓圓心到定點(－2,0)和定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線的定義知，動圓的圓心軌跡為拋物線，所以答案為D.角度2到焦點與到定點距離之和最小問題例2(2021·河北保定七校聯(lián)考)已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]設(shè)拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標(biāo)為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識可知，當(dāng)C，M，E在一條直線上時，此時CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為|CE|＝2－(－1)＝3，故選B.[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值為eq\r(2)；最小值為－eq\r(2)；(ⅱ)若N為⊙C上任一點，則|MF|＋|MN|的最小值為_2__.角度3到準(zhǔn)線與到定點距離之和最小問題例3(2023·四川大學(xué)附中期中)設(shè)點P是拋物線C1：x2＝4y上的動點，點M是圓C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的動點，d是點P到直線y＝－2的距離，則d＋|PM|的最小值是(B)A．5eq\r(2)－2 B．5eq\r(2)－1C．5eq\r(2) D．5eq\r(2)＋1[解析]拋物線C1：x2＝4y的焦點為F(0,1)，∴d＋|PM|＝|PF|＋1＋|PC2|－2＝|PF|＋|PC2|－1≥|PC2|－1＝5eq\r(2)－1.(當(dāng)且僅當(dāng)F、P、C2共線時取等號)．故選B.角度4到兩定直線的距離之和最小問題例4(2022·陜西西安質(zhì)檢)已知直線l：4x－3y＋6＝0，拋物線y2＝8x上一動點P(x0，y0)到直線l的距離為d，則d＋|x0|的最小值是eq\f(4,5).[解析]如下圖示：若PC⊥直線l，PB⊥拋物線準(zhǔn)線且交y軸于A點，則d＝|PC|，|x0|＝|PA|，由拋物線定義知：|PF|＝|PB|＝|PA|＋eq\f(p,2)，則|PA|＝|PF|－eq\f(p,2)＝|PF|－2，所以d＋|x0|＝|PC|＋|PF|－2，要使目標(biāo)式最小，即|PC|＋|PF|最小，當(dāng)F，P，C共線時，又F(2,0)，此時(d＋|x0|)min＝eq\f(|8－0＋6|,5)－2＝eq\f(4,5).名師點撥MINGSHIDIANBO利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．(2)距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．注：看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)到定點A(0,2)的距離比到定直線l：y＝－1大1的動點P的軌跡方程為_x2＝8y__.(2)(角度2)(2021·吉林省吉林市調(diào)研)已知拋物線y2＝4x的焦點F，點A(4,3)，P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長取最小值時，線段PF的長為(B)A．1 B．eq\f(13,4)C．5 D．eq\f(21,4)(3)(角度3)(2021·山西大學(xué)附中模擬)已知點Q(2eq\r(2)，0)及拋物線y＝eq\f(x2,4)上一動點P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是_2__.(4)(角度4)(2021·上海虹口區(qū)二模)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和l2的距離之和的最小值為(C)A.eq\f(37,16) B．eq\f(11,5)C．2 D．eq\f(7,4)[解析](1)由題意知P到A的距離等于其到直線y＝－2的距離，故P的軌跡是以A為焦點，直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為x2＝8y.(2)求△PAF周長的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|＋|PD|最小，此時Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))，且|PF|＝eq\f(9,4)＋1＝eq\f(13,4)，故選B.(3)拋物線y＝eq\f(x2,4)即x2＝4y，其焦點坐標(biāo)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.因為點Q的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.過點P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.(4)直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，則點P到直線l2：x＝－1的距離等于|PF|，過點F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點就是點P，所以點P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和到直線l2：x＝－1的距離之和的最小值就是點F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故選C.考點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程——自主練透例5(1)過點P(－3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)焦點在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y2＝16x或x2＝－8y__，準(zhǔn)線方程為_x＝－4或y＝2__.(3)(2022·河南豫北名校模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點A(2，y0)，F(xiàn)為焦點，直線FA交拋物線的準(zhǔn)線于點M，滿足2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，則拋物線方程為(C)A．y2＝8x B．y2＝16xC．y2＝24x D．y2＝32x[解析](1)設(shè)所求拋物線的方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)．∵拋物線過點(－3,2)，∴4＝－2p1·(－3)或9＝2p2·2.∴p1＝eq\f(2,3)或p2＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.∴拋物線的焦點為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點為(4,0)時，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此時拋物線方程為y2＝16x；當(dāng)焦點為(0，－2)時，eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，此時拋物線方程為x2＝－8y.∴所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x＝－4，y＝2.(3)解法1：作AB⊥x軸，則AB∥MK，因為2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，且A(2，y0)，所以eq\f(|AF|,|AM|)＝eq\f(|BF|,|BK|)＝eq\f(\f(p,2)－2,\f(p,2)＋2)＝eq\f(1,2)，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))＝2＋eq\f(p,2)，解得p＝12，所以拋物線方程是y2＝24x，故選C.解法2：作AN垂直準(zhǔn)線l于N，則|AN|＝|AF|，又2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，∴|AN|＝eq\f(1,2)|AM|，∴∠AMN＝eq\f(π,6).∴|AF|＝eq\f(1,3)|MF|＝eq\f(2p,3)，即2＋eq\f(p,2)＝eq\f(2p,3)，∴p＝12.故拋物線方程為y2＝24x.故選C.解法3：由解法1與2知∠BFA＝eq\f(π,3)，∴|BA|＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))))，代入拋物線方程得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))2＝4p，解得p＝12或eq\f(4,3)(舍去)∴拋物線方程為y2＝24x，故選C.[引申](1)本例(3)中若直線FA交拋物線于另一點B，則|AB|＝_32__.(2)本例(3)中若將“2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))”改為“2|FA|＝|AM|”則拋物線方程為y2＝24x或y2＝eq\f(8,3)x.[解析](1)由p＝12知|AF|＝8，又eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,12)，∴|BF|＝24，∴|AB|＝32.(2)若A在第四象限，拋物線方程為y2＝24x，若A在第一象限，同理可求得拋物線方程為y2＝eq\f(8,3)x.名師點撥MINGSHIDIANBO求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，若焦點位置確定，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可．(2)因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．一般焦點在x軸上的拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)；焦點在y軸上的拋物線的方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．注：數(shù)形結(jié)合解題時，注意圖形的對稱性，不要丟解．已知焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；已知拋物線過某點不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2022·重慶沙坪壩區(qū)模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點(p,0)且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點為A，若|AF|＝1，則拋物線C的方程為(A)A．y2＝eq\f(4,3)x B．y2＝2xC．y2＝3x D．y2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點P(m，－3)到焦點的距離為5，則拋物線方程為(D)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8y[解析](1)由題意知xA＝p，又|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝eq\f(3p,2)＝1，∴p＝eq\f(2,3)，∴拋物線C的方程為y2＝eq\f(4,3)x，故選A.(2)由題意可知拋物線的焦點在y軸負(fù)半軸上，故設(shè)其方程為x2＝－2py(p>0)，所以3＋eq\f(p,2)＝5，即p＝4，所以所求拋物線方程為x2＝－8y，故選D.考點三拋物線的幾何性質(zhì)——師生共研例6(1)(2021·全國高考真題)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為eq\r(2)，則p＝(B)A．1 B．2C．2eq\r(2) D．4(2)(2022·山東煙臺、德州模擬)已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點，若△OFP的面積為2eq\r(2)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(B)A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝－2 D．x＝－4(3)(2023·河南百校聯(lián)盟摸底)已知傾斜角為60°的直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，且與C交于A，B兩點(點A在第一象限)，若|AF|＝3，則|BF|＝_1__.(4)(2023·河南“頂尖計劃”聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A、B在拋物線上，若AF⊥x軸，且|BF|＝2|AF|，則∠AFB＝(A)A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) D．eq\f(π,2)[解析](1)拋物線的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直線x－y＋1＝0的距離：d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得：p＝2(p＝－6舍去)．故選B.(2)設(shè)P(8，y0)，則由題意知y0＝4eq\r(p)，∴eq\f(1,2)|OF|·y0＝2eq\r(2).即peq\r(p)＝2eq\r(2)，∴p＝2.∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選B.(3)如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，N，過點B作AM的垂線，垂足為E，設(shè)|BF|＝x，易得∠ABE＝30°，則|AE|＝eq\f(1,2)(3＋x)，由拋物線的性質(zhì)可得|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|＝|ME|，所以，x＋eq\f(1,2)(3＋x)＝3，解得x＝1，故|BF|＝1.(4)如圖由題意知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，∴|BF|＝2p，從而xB＝eq\f(3,2)p.∴cos∠xFB＝eq\f(p,2p)＝eq\f(1,2)，∴∠xFB＝eq\f(π,3)，∴∠AFB＝eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6).由拋物線對稱性知當(dāng)B在第一象限時∠AFB＝eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6).故選A.名師點撥MINGSHIDIANBO1．求拋物線的焦點及準(zhǔn)線方程的步驟：(1)把拋物線解析式化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；(2)明確拋物線開口方向；(3)求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的值；(4)寫出拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程．2．解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義的應(yīng)用，通過定義將焦點弦長轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．3．在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此．注意拋物線上點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，關(guān)注圖中的直角梯形(直角三角形)．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2020·全國高考真題)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標(biāo)為(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0) D．(2,0)(2)(2022·云南曲靖模擬)拋物線y2＝2px(p>0)過圓x2＋y2－4x＋8y＋19＝0的圓心，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_x＋2＝0__.(3)(2020·山東、海南高考真題)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則|AB|＝eq\f(16,3).(4)(2023·安徽卓越縣中聯(lián)盟聯(lián)考)過拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l與E交于A，B兩點，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則l的傾斜角θ＝(D)A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[解析](1)因為直線x＝2與拋物線y2＝2px(p>0)交于E，D兩點，且OD⊥OE，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定∠DOx＝∠EOx＝eq\f(π,4)，所以D(2,2)，代入拋物線方程4＝4p，求得p＝1，所以其焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故選B.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋4)2＝1，圓心坐標(biāo)為(2，－4)，將圓心坐標(biāo)代入拋物線方程可得2p×2＝(－4)2，解得p＝4，因此，該拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2.(3)∵拋物線的方程為y2＝4x，∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為F(1,0)，又∵直線AB過焦點F且斜率為eq\r(3)，∴直線AB的方程為：y＝eq\r(3)(x－1)代入拋物線方程消去y并化簡得3x2－10x＋3＝0，解法一：解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋3)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))＝eq\f(16,3).解法二：Δ＝100－36＝64>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，過A，B分別作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，設(shè)垂足分別為C，D如圖所示．|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3).(4)如圖作AM⊥l1于M，BN⊥l1于N，BH⊥AM于H，(l1為準(zhǔn)線)．設(shè)|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝a，由eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4a，|eq\o(AH,\s\up6(→))|＝2a，∴∠HAB＝eq\f(π,3)，∴l(xiāng)的傾斜角為eq\f(π,3)，同理當(dāng)A在第四象限時，l的傾斜角為eq\f(2π,3).故選D.考點四直線與拋物線的綜合問題——師生共研例7(1)(多選題)(2023·湖南湘潭摸底)已知直線l：y＝k(x－1)(k≠0)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，點O為坐標(biāo)原點，若線段AB的中點是M(m,1)，則(AC)A．k＝2 B．m＝3C．|AB|＝5 D．OA⊥OB(2)(2023·廣東佛山順德區(qū)質(zhì)檢)已知動圓C經(jīng)過點F(1,0)，且與直線x＝－1相切，記動圓C圓心的軌跡為E.①求E的方程；②已知P(4，y0)(y0>0)是曲線E上一點，A，B是曲線E上異于點P的兩個動點，設(shè)直線PA、PB的傾斜角分別為α、β，且α＋β＝eq\f(3π,4)，請問：直線AB是否經(jīng)過定點？若是，請求出該定點，若不是，請說明理由．[解析](1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，得y2－eq\f(4,k)y－4＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)＝2，y1·y2＝－4，所以k＝2，又點M(m,1)在直線l上，所以m＝eq\f(3,2)，所以A正確，B錯誤；對于C，因為直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝5，所以C正確；對于D，因為y1·y2＝－4，所以x1·x2＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.所以D錯誤，故選AC.(2)①設(shè)動圓C的圓心為(x，y)，則依題意得：eq\r(x－12＋y2)＝|x＋1|，化簡得：y2＝4x，即E的方程為y2＝4x.②因為P(4，y0)(y0>0)是曲線E上一點，所以yeq\o\al(2,0)＝4×4＝16，所以y0＝4，所以P(4,4)，當(dāng)α、β中有一個為eq\f(π,2)時，不妨設(shè)α＝eq\f(π,4)，則β＝eq\f(π,2)，此時B(4，－4)，直線PA方程為：y＝x，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x，))解得A(0,0)，直線AB方程為：x＋y＝0，當(dāng)α、β都不為eq\f(π,2)時，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k1，k2，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，所以k1＝eq\f(y1－4,\f(1,4)y\o\al(2,1)－4)＝eq\f(4,y1＋4).同理可得k2＝eq\f(4,y2＋4).因為α＋β＝eq\f(3π,4)，所以tan(α＋β)＝－1.所以eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝－1.所以eq\f(k1＋k2,1－k1·k2)＝－1，即k1＋k2－k1·k2＋1＝0，所以eq\f(4,y1＋4)＋eq\f(4,y2＋4)－eq\f(4,y1＋4)·eq\f(4,y2＋4)＋1＝0，即8(y1＋y2)＋y1·y2＋32＝0，依題意可設(shè)直線AB方程為：x＝ty＋n，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,x＝ty＋n))，消x整理得：y2－4ty－4n＝0，所以Δ＝16t2＋16n>0，y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4n，所以32t－4n＋32＝0，即n＝8t＋8，所以x＝ty＋n＝ty＋8t＋8＝t(y＋8)＋8，令y＋8＝0得y＝－8，x＝8，而x＝8，y＝－8也滿足x＋y＝0，所以直線AB經(jīng)過定點Q(8，－8)．名師點撥MINGSHIDIANBO(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程聯(lián)立，消元，用根與系數(shù)的關(guān)系“整體代入”求解．注意根據(jù)拋物線方程確定消x還是消y，一般消一次項變量．(2)求解拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點(設(shè)焦點在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)“中點弦”問題的處理方法——點差法．〔變式訓(xùn)練4〕(1)(2023·廣東清中、河中、北中、惠中聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標(biāo)為2，則|AF|＋|BF|＝(C)A．4 B．5C．6 D．8(2)(2022·遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，拋物線上一點A(m,2)(m>0)到F的距離為3.①求拋物線C的方程和點A的坐標(biāo)；②設(shè)斜率為k的直線l過點B(2,0)，且與拋物線C交于不同的兩點M，N，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))，求斜率k的取值范圍．[解析](1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B中點的橫坐標(biāo)為2，可得x1＋x2＝4，所以|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6.故選C.(2)①由題意知2＋eq\f(p,2)＝3，得p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y.將點A(m,2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2eq\r(2).所以點A的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，2)．②直線l：y＝k(x－2)與拋物線C：x2＝4y聯(lián)立，消去y得x2－4kx＋8k＝0，Δ＝16k2－32k>0，解得k<0或k>2.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，則y1＝λy2，即λ＝eq\f(y1,y2)，因為xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，所以λ＝eq\f(x\o\al(2,1),x\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))，則eq\f(x1,x2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，因為eq\f(x1＋x22,x1x2)＝eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)＋2＝eq\f(16k2,8k)＝2k，設(shè)t＝eq\f(x1,x2)，則2k＝t＋eq\f(1,t)＋2，因為t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，則t＋eq\f(1,t)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，所以k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,4)))，又因為k<0或k>2，所以k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,4))).巧解拋物線的切線問題例8(1)(多選題)(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝－8y的焦點為F，過F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，分別過A，B兩點作C的切線l1，l2，且l1，l2相交于點P，則(BCD)A．|PF|＝4B．點P在直線y＝2上C．△PAB為直角三角形D．△PAB面積的最小值為16(2)(2022·河南鄭州質(zhì)檢)已知拋物線C：x2＝4y，過拋物線外一點N作拋物線C的兩條切線，A，B是切點．①若點N的縱坐標(biāo)為－2，求證：直線AB恒過定點；②若|AB|＝m(m>0)，求△ABN面積的最大值(結(jié)果用m表示)．[解析](1)由題可知，拋物線C：x2＝－8y的焦點F(0，－2)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,x2＝－8y))，消去y并整理得x2＋8kx－16＝0，∴x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，由C：x2＝－8y得，y＝－eq\f(1,8)x2，∴y′＝－eq\f(1,4)x，故切線PA的方程為：y＋eq\f(1,8)xeq\o\al(2,1)＝－eq\f(1,4)x1(x－x1)①故切線PB的方程為：y＋eq\f(1,8)xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(1,4)x2(x－x2)②聯(lián)立①②得x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－4k，y0＝2，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，2))，∴P(－4k,2)，對于A，∵P(－4k,2)，F(xiàn)(0，－2)，∴|PF|＝eq\r(0＋4k2＋－2－22)＝4eq\r(k2＋1)≥4，故A不正確；對于B，∵P(－4k,2)，顯然點P在直線y＝2上，故B正確；對于C，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x1＋4k，y1－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x2＋4k，y2－2)，y1＝－eq\f(1,8)xeq\o\al(2,1)，y2＝－eq\f(1,8)xeq\o\al(2,2)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x1＋4k)(x2＋4k)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋4k(x1＋x2)＋16k2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4，將y1y2＝eq\f(1,64)xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)，y1＋y2＝－eq\f(1,8)((x1＋x2)2－2x1x2)，且x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，代入上式化簡得：∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴PA⊥PB，∴△PAB為直角三角形，故C正確；對于D，P到直線l的距離為：d＝eq\f(|－4k2－4|,\r(1＋k2))＝4eq\r(1＋k2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝8(1＋k2)，∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝16(1＋k2)eq\f(3,2)，當(dāng)k＝0時，(S△PAB)min＝16，故D正確．故選BCD.(2)①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝eq\f(1,4)x2得：y′＝eq\f(1,2)x，則直線NA的斜率為eq\f(x1,2)，則直線NA的方程為：y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，整理得x1x－2y＋2y1－xeq\o\al(2,1)＝0，由于xeq\o\al(2,1)＝4y1，即x1x－2y－2y1＝0，同理可得，直線NB的方程為：x2x－2y－2y2＝0，又直線NA和直線NB都過N(x0，y0)，則x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，從而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在方程x0x＝2(y0＋y)表示的直線上，故直線AB的方程為x0x＝2(y0＋y)，其中y0＝－2，直線AB的方程為：x0(x－0)＝2(y－2)，則直線AB恒過定點(0,2)．②設(shè)N(x0，y0)，則由上述結(jié)論知：直線AB的方程為：x0x＝2(y＋y0)，把它與拋物線x2＝4y聯(lián)立得：x2－2x0x＋4y0＝0，其中Δ＝4xeq\o\al(2,0)－16y0>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，則|AB|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),4))|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),4))eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(x\o\al(2,0)＋4x\o\al(2,0)－4y0)＝m，則xeq\o\al(2,0)－4y0＝eq\f(m2,x\o\al(2,0)＋4)，又∵點N