2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第七章 第三講　空間直線、平面的平行 學(xué)案

第三講空間直線、平面的平行知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理文字語言如果平面外的一條直線與_此平面內(nèi)的__一條直線平行，那么該直線與此平面平行.一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與_交線__平行．圖形語言符號(hào)語言知識(shí)點(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的_兩條相交__直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面平行，如果一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線_平行__圖形語言符號(hào)語言歸納拓展1．若α∥β，a?α，則a∥β.2．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．3．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．4．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(×)(2)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(×)(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(×)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P142T2)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是(D)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，若α存在無數(shù)條直線與β平行，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行，所以選項(xiàng)A的是α∥β的一個(gè)必要條件；同理，選項(xiàng)B，C的也是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，可以通過平移把兩條異面直線平移到—個(gè)平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項(xiàng)D的是α∥β的一個(gè)充分條件．故選D.3．(必修2P138T2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_平行[解析]連BD交AC于F，則F為BD中點(diǎn)，連EF，又E為DD1的中點(diǎn)，∴EF∥BD1，又EF?平面AEC，BD1?平面AEC，∴BD1∥平面AEC.題組三走向高考4．(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(A)[解析]B選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項(xiàng)中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ.故選A.5．(2021·天津卷(節(jié)選))如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD求證：D1F∥平面A1EC1.[解析]解法一：連B1D1交A1C1于M，連BD、EF、ME，∵E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)∴EF綉eq\f(1,2)BD綉eq\f(1,2)B1D1綉MD1，∴四邊形EFD1M為平行四邊形，∴D1F∥ME，又ME?平面A1EC1，D1F?平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC.解法二：取AD的中點(diǎn)H，連D1H，HE，HF，AC，∴E為BC的中點(diǎn)，∴EH綉CD綉C1D1，∴四邊形C1D1HE為平行四邊形，∴D1H∥C1E，又D1H?平面A1EC1，C1E?平面A1EC1，∴D1H∥平面A1EC1，又F為CD的中點(diǎn)，∴HF∥AC∥A1C1又HF?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1，∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，∴平面HFD1∥平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC1.解法三：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,0)，所以eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(2,1，－2)，設(shè)平面A1EC1的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1C1,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0,m·\o(A1E,\s\up6(→))＝2x＋y－2z1＝0))，令x＝2，則m＝(2，－2,1)，因?yàn)閑q\o(D1F,\s\up6(→))·m＝2－2＝0，所以eq\o(D1F,\s\up6(→))⊥m，因?yàn)镈1F?平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.考點(diǎn)一空間平行關(guān)系的基本問題——自主練透例1(1)(多選題)(2022·河南名校聯(lián)盟質(zhì)檢改編)設(shè)有不同的直線a，b和不同的平面α，β，給出下列四個(gè)命題中，其中正確的是(CD)A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，a∥β，則α∥βC．若a⊥α，b⊥α，則a∥bD．若a⊥α，a⊥β，則α∥β(2)(2021·遼寧省沈陽市質(zhì)監(jiān))下列三個(gè)命題在“()”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為直線，α，β為平面)，則此條件是_l?α__.①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m,m⊥α,))?l∥α.[解析](1)對(duì)于A，若a∥α，b∥α，則直線a和直線b可以相交也可以異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a∥α，a∥β，則平面α和平面β可以相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，a∥b，故C正確；對(duì)于D，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立，∴D正確；故選CD.(2)①l∥m，m∥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α；②l?α，m?α，l∥m?l∥α；③l⊥m，m⊥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α.故答案為l?α.名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO解答例1(1)這類的判斷題，動(dòng)手演示比畫圖更準(zhǔn)確快捷．將筆、桌面(或墻面)看作直線、平面，當(dāng)直線與平面平行時(shí)，可將筆旋轉(zhuǎn)或平移再做判斷．〔變式訓(xùn)練1〕(2022·廣東惠州二模)已知m，n，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是(D)A．若m∥α，n?α，則m∥nB．若m?α，n?β且α∥β，則m∥nC．α∥β，m∥β，則m∥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝n，γ∩α＝c且m∥n，則m∥c[解析]對(duì)于A，m∥α，n?α?m∥n或m與n異面，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m?α，n?β，α∥β?m∥n或m，n異面，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α∥β，m∥β?m∥α或m?α，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵m∥n，n?γ，m?γ，∵m∥γ.∵α∩γ＝c，m?α，∴m∥c.∴D正確．故選D.考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)——多維探究角度1線面平行的判定例2(2022·遼寧撫順模擬節(jié)選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，∠ADC＝eq\f(π,2)，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn)．證明：BE∥平面PAD.[證明]證法一(構(gòu)造平行四邊形)：如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.證法二(構(gòu)造中位線)：延長(zhǎng)DA、CB相交于H，連PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD，證法三(構(gòu)造平行平面)：取CD的中點(diǎn)H，連BH，HE，∵E為PC中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，∴平面BHE∥平面PAD，∴BE∥平面PAD.證法四(向量法)：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，又∠ADC＝eq\f(π,2)，∴PD、DA、DC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，顯然n＝(0,1,0)為平面PAD的法向量，又eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))·n＝0，又BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(5)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．注：線面平行的關(guān)鍵是線線平行，證明中常構(gòu)造三角形中位線或平行四邊形．角度2線面平行的性質(zhì)例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.[證明]如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH.名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO空間中證明兩條直線平行的常用方法(1)利用線面平行的性質(zhì)定理，即a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.已知l∥α，一般找或作過l且與α相交的平面探求解題方向．(2)利用平行公理：平行于同一直線的兩條直線互相平行．(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2022·廣東佛山質(zhì)檢，節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．求證：EF∥平面PAB.(2)(角度2)(2022·河南適應(yīng)性考試)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為3，D為側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，M為側(cè)棱AA1上一點(diǎn)，且A1M＝1，N為B1C1上一點(diǎn)，且MN∥平面ABD，則NBA．1 B．2C．eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)[解析](1)證法一：取PB的中點(diǎn)H，連FH、HA，∵F為PC的中點(diǎn)，∴FH綉eq\f(1,2)BC，又四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC綉AD，從而FH綉eq\f(1,2)AD，又E為AD的中點(diǎn)，∴FH綉EA，∴四邊形AEFH為平行四邊形，∴EF∥AH，又EF?平面PAB，HA?平面PAB，∴EF∥平面PAB.證法二：取BC的中點(diǎn)H，連FH，HE，∵F為PC的中點(diǎn)，∴FH∥BP，又FH?平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E為AD的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為平行四邊形，∴HE∥BA，又HE?平面PAB，∴HE∥平面PAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.證法三：連CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于H，連PH.∵E為平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F為PC的中點(diǎn)，∴EF∥PH，又EF?平面PAB，PH?平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)如圖，取BB1上一點(diǎn)F，使B1F＝1，延長(zhǎng)DC1至點(diǎn)E，使DE＝2，連接EF，EF∩B1C1＝N，則由DE綉B(tài)F知EF∥BD，連接又EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD，∵M(jìn)F∥AB，同理MF∥平面ABD，又MF∩EF＝F，∴平面MEF∥平面ABD，MN?平面MEF，∴MN∥平面ABD，∵EC1＝DE－DC1＝eq\f(1,2)，△B1FN∽△C1EN，∴eq\f(B1F,EC1)＝eq\f(B1N,NC1)＝eq\f(2,1)，又B1C1＝3，∴NB1＝2.故選B.考點(diǎn)三兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研例4(2021·山東泰安市月考節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD為正三角形，E，F(xiàn)，G分別在線段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.證明：平面GBD∥平面PEF.[證明]∵DF＝2FC，BE＝2EC，故△BCD中EF∥BD.∵EF?平面PEF，BD?平面PEF，∴BD∥平面PEF.連接AF交BD于點(diǎn)H，連GH，由題意得△ABH∽△FDH，且eq\f(AB,FD)＝eq\f(1,2)，∴AH＝eq\f(1,2)HF，又AG＝eq\f(1,2)GP，∴GH∥PF，∵PF?平面PEF，GH?平面PEF，∴GH∥平面PEF，∵GH?平面GBD，BD?平面GBD且GH∩BD＝H，∴平面GBD∥平面PEF.另解：延長(zhǎng)FE與AB延長(zhǎng)線交于H，連PH，∵AB∥CD，∴△FEC∽△HEB，∴eq\f(FC,BH)＝eq\f(EC,EB)＝eq\f(1,2)，又AB＝eq\f(1,3)CD＝FC，∴eq\f(AB,BH)＝eq\f(1,2)，又eq\f(AG,GP)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AB,BH)＝eq\f(AG,GP)，∴GB∥PH，又GB?平面PEF，PH?平面PEF，∴GB∥平面PEF，又eq\f(FC,FD)＝eq\f(EC,EB)＝eq\f(1,2)，∴BD∥EF，又BD?平面PEF，EF?平面PEF，∴BD∥平面PEF，又GB?平面GBD，BD?平面GBD，且BD∩GB＝B，∴平面GBD∥平面PEF.名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO證明面面平行的方法有(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．*(6)向量法：證明兩平面的法向量平行．注：為便于構(gòu)造平行線，常對(duì)錐體補(bǔ)形．〔變式訓(xùn)練3〕(2022·南昌模擬節(jié)選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．求證：平面CMN∥平面PAB.[證明]∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.平行關(guān)系中的探索性問題例5(2022·安徽皖北聯(lián)考)如圖，在四棱錐C－ABED中，四邊形ABED是正方形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn)．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)H并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解析](1)∵四邊形ABED為正方形，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，∴E、F、A共線，連AE，又G為EC的中點(diǎn)，∴GF∥AC，又GF?平面ABC，AC?平面ABC，∴GF∥平面ABC.注：本題也可取BE的中點(diǎn)Q，連GQ、FQ，通過證平面GFQ∥平面ABC來證；或取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連GM、MN、NF，通過證四邊形GMNF為平行四邊形得GF∥MN來證．(2)當(dāng)H為BC的中點(diǎn)時(shí)，平面GFH∥平面ACD.證明如下：∵G、H分別為EC、BC的中點(diǎn)，∴GH∥B