《水力學(xué)》課件-第二章 流體靜力學(xué)

第二章

流體靜力學(xué)?

流體靜力學(xué)研究流體的平衡規(guī)律，由平衡條件求靜壓強(qiáng)分布，并求靜水總壓力。?

靜止是相對(duì)于坐標(biāo)系而言的，不論相對(duì)于慣性系或非慣性系靜止的情況，流體質(zhì)點(diǎn)之間肯定沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這意味著粘性將不起作用，所以流體靜力學(xué)的討論不須區(qū)分流體是實(shí)際流體或理想流體。第二章

流體靜力學(xué)§2—1流體靜壓強(qiáng)及其特性§2—2流體的平衡微分方程§2—3重力作用下的液體平衡§2—4非慣性系中液體的平衡§2—5靜止液體作用在物體表面上的總壓力§2—1流體靜壓強(qiáng)及其特性?

靜止流體的應(yīng)力只有內(nèi)法向分量—靜壓強(qiáng)?靜止流體的應(yīng)力只有法向分量（流體質(zhì)Pnn點(diǎn)之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在切應(yīng)力）。?法向應(yīng)力沿內(nèi)法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個(gè)法向應(yīng)力稱為靜壓強(qiáng)，記作

pn(x,y,z)，因目前還不知靜壓強(qiáng)是否與作用面方位有關(guān)，腳標(biāo)中須標(biāo)上作用面法線方向。?靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力nPn在這個(gè)表達(dá)式中，已包含了應(yīng)力四要素：作用點(diǎn)、作用面、受力側(cè)和作用方向。?

靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)?

在靜止流體中取出以

M為頂點(diǎn)的四面體流體微元，它受到的質(zhì)量力和表面力必是平衡的，以

y方向?yàn)槔?，寫出平衡方程zpxpnpydzY是質(zhì)量力在

y方向的分量ndydx1d

A

=

d

A

cos(n,y)

=

d

xd

zpzyn2yo1dV

=

d

x

d

y

d

z6xz?

當(dāng)四面體微元趨于M點(diǎn)pxpn時(shí)，注意到質(zhì)量力比起面力為

高

階

無

窮

小

，

即

得p

=p

，同理有

p

=p

，p

=ppy

dzdxndypznynxnzyox此時(shí)，p

，p

，p

，p

已是同一點(diǎn)（M點(diǎn)）在不同方位作用面上nxyz的靜壓強(qiáng)，其中斜面的方位

n

又是任取的，這就證明了靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)。?

靜壓強(qiáng)

pn(x,y,z)與作用面nPn的方位無關(guān)，僅取決于作用點(diǎn)的空間位置，所以可將腳標(biāo)去掉寫成

p(x,y,z)?

靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)只須用一個(gè)靜壓強(qiáng)數(shù)量場(chǎng)

p=p(x,y,z)來描述，有了這個(gè)靜壓強(qiáng)場(chǎng)，即可知道在任意一個(gè)作用點(diǎn)、以任意方位

n為法向的面元上的應(yīng)力為：§2—2流體的平衡微分方程?

平衡微分方程的推導(dǎo)z在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。?pp

+

d

y?ydzpodxdy微元所受

y方向上y的質(zhì)量力為ρY

d

xd

y

d

zx表面力在

y方向上的分量只有左右一對(duì)面元上的壓力，合力為?p?y?p?yp

d

x

d

z

?

(

p

+

d

y

)

d

x

d

z

=

?

d

x

d

y

d

z平衡方程為或?pρY

?

=

0?yz?pp

+

d

y?ydzpodx同理有和dyyx其中

X,Y,Z

是質(zhì)量力

f的三個(gè)分量。?

平衡微分方程的矢量形式1

?pρ

?x1

?pρ

?y1

?pρ

?zX

?Y

?Z

?=

0=

0=

0稱為靜壓強(qiáng)場(chǎng)的梯度。它是數(shù)量場(chǎng)

p(x,y,z)

對(duì)應(yīng)的一個(gè)矢量場(chǎng)。?p

?p

?p?x

?y

?z其中?p

=

i

+

j+

k????

≡

i

+

j+

k?x

?y

?z稱為哈米爾頓算子,它同時(shí)具有矢量和微分（對(duì)跟隨其后的變量）運(yùn)算的功能。用它來表達(dá)梯度，非常簡(jiǎn)潔，并便于記憶。?

平衡微分方程的物理意義??

p

的三個(gè)分量是壓強(qiáng)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)，它反映了數(shù)量場(chǎng)在空間上的不均勻性。?

流體的平衡微分方程實(shí)質(zhì)上表明了質(zhì)量力和壓差力之間的平衡。?

壓強(qiáng)對(duì)流體受力的影響是通過壓差來體現(xiàn)的?！?—3重力作用下的液體平衡一.重力作用下的平衡方程z軸垂直向上，流體不可壓縮。?p?x=

0=

01ρd

pd

z?p?yf

?

?p

=

0=

?ρg

=

?γ1

?pρ

?zg

+=

0f

=

?gk二.靜壓強(qiáng)分布規(guī)律d

pp

=

?γ

z

+

C=

?ρg

=

?

γ或d

z積分?

重力場(chǎng)中連通的同種靜止液體中：①

壓強(qiáng)隨位置高程線性變化；②

等壓面是水平面，與質(zhì)量力垂直；pz

+③是常數(shù)。γ?

要知道靜止流體中具體的壓強(qiáng)分布，關(guān)鍵是知道其中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)，從而確定積分常數(shù)

C若

z=z

時(shí),p=p

,則11pγp1

γz

+

=

z

+

1或p

=

p

?γ

(z

?

z

)11?

如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準(zhǔn)面

z=0，自由面上的壓強(qiáng)為

p0

，則p=

p0

?γ

z若

令

h=

-z

（

向

下

為正），則p=

p0

+γh三.絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空?

壓強(qiáng)

p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱：絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)以完全真空為以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa為零點(diǎn)，記為

pr零點(diǎn)，記為

pabs兩者的關(guān)系為:Ap

=

p

-

p壓強(qiáng)rabsaA點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)相對(duì)壓大氣壓強(qiáng)

paA點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)BB點(diǎn)真空壓強(qiáng)強(qiáng)

為

負(fù)

值

時(shí)

，其

絕

對(duì)

值

稱

為真空壓強(qiáng)。B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)OO?

今后討論壓強(qiáng)一般指相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為

p，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。A壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)

paA點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)BB點(diǎn)真空壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)OO?

如果

z

=

0

為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強(qiáng)為大氣壓，則液面以下

h

處的相對(duì)壓強(qiáng)為

γh

，所以在液體指定以后高

度

也

可

度

量

壓

強(qiáng)

，

稱

為

液

柱

高

，

例

如

：

××m(H2O)

，××mm(Hg)

等。特別地，將水柱高稱為水頭。把真空壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成水柱高表示，稱為真空度。?

一個(gè)工程大氣壓為

98.10

kN/m2，相當(dāng)于

10

m(H2O)

或736mm(Hg)p=0hp=

γ

h四.位置水頭、壓強(qiáng)水頭、測(cè)壓管水頭?

在靜水壓強(qiáng)分布公式為水頭（液柱高）。中，各項(xiàng)都為長(zhǎng)度量綱，稱pγz

+

=

C?

z

——位置水頭，以任取水平面為基準(zhǔn)面

z=0，鉛垂向上為正。pγ??——壓強(qiáng)水頭，以大氣壓為基準(zhǔn)，用相對(duì)壓強(qiáng)代入計(jì)算。pγz

+——測(cè)壓管水頭。?

測(cè)壓管水頭的含義在內(nèi)有液體的容器壁選定測(cè)點(diǎn)，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測(cè)壓管。測(cè)壓管內(nèi)的靜止液面上p=0，其液面高程即為pA

/γpB

/γpγ+測(cè)點(diǎn)處的

z，所以zA叫測(cè)壓管水頭。zBOO?

測(cè)靜壓只須一根測(cè)壓管如果容器內(nèi)的液體是靜止的，一根測(cè)壓管測(cè)得的測(cè)壓管水頭也就是容器內(nèi)液體中任何一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭。如接上多根測(cè)壓管，則各測(cè)壓管中的液面都將位于同一水平面上。pA/γpB

/γzAzBOO?

敞口容器和封口容器接上測(cè)壓管后的情況如圖?

各項(xiàng)水頭也可理解成單位重量液體的能量ppzz

+位置勢(shì)能，（從γγ總勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能（從大氣壓強(qiáng)算起）基準(zhǔn)面

z=0算起鉛垂向上為正。

）?

液體的平衡規(guī)律表明位置水頭（勢(shì)能）與壓強(qiáng)水頭（勢(shì)能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和

—測(cè)壓管水頭（總勢(shì)能）是保持不變的。五.測(cè)壓原理?

用測(cè)壓管測(cè)量測(cè)壓管的一端接大氣，這樣就把測(cè)管水頭揭示出來了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測(cè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。pA

=

γh=

γ

l

sinααA如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過渡。p

=

γ

h

?γ

aAm

m?

用比壓計(jì)測(cè)量即使在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)都不知道，也可利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任

何

二

點(diǎn)

的

壓差，這就是比壓計(jì)的測(cè)量原理p

=

p

+

γ

z

+

γ

h

?γ

(z

+

h

)ABBm

mAm流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜

止

流

體

區(qū)

域（如測(cè)壓管中）應(yīng)用，不能用到管道中去，因?yàn)楣艿乐械牧黧w可能是在流動(dòng)的，測(cè)壓管不只是為測(cè)量靜壓用的。pp(

+

)

?

(

+

)=zA

zB

hA

γB

γ§2—4非慣性系中液體的平衡表面力中仍無切應(yīng)力一.

非慣性系中靜止液體的平衡方程1ρ1ρf

?

?p

=

0f

?

?p

=

a慣性系中靜止非

慣

性

系

中

靜液體的平衡方程止液體的平衡方程1ρf

a?

?

?p

=

0這樣非慣性系中平衡f

?

af用方程在處理上就和慣性系沒有區(qū)別了。替代二.兩個(gè)例子?

相對(duì)于勻加速直線運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系靜止的液體所有流體質(zhì)點(diǎn)加速度

大

小

、

方

向

都

相同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等aah壓面還是平面，但不再是水平的，除非加速度在鉛垂方向。gp=γh?

相對(duì)于繞鉛垂軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系靜止的液體質(zhì)

點(diǎn)

加

速

度

為

向

心

加速度，沿水平徑向，與質(zhì)點(diǎn)離開軸的距離成正比，呈軸對(duì)稱情況。單位質(zhì)量流體的慣性力為離心加速度，與向心ωω2r加速度反向，重力加上慣性gh力不再均勻，等壓面成為旋轉(zhuǎn)拋物面，由于離軸越遠(yuǎn)，離心力越大，所以等壓面坡度越陡。rp=

γh?

如果鉛垂方向只有重力作用（慣性力在鉛垂方向無分量），那么鉛垂方向壓強(qiáng)分布仍與自由面下垂直距離

h成正比。?

相對(duì)平衡原理可用來測(cè)量加速度或轉(zhuǎn)速。速。haa

/

g

=

h/ll§2—5靜止液體作用在物體表面上的總壓力?

在已知靜止液體中的壓強(qiáng)分布之后，通過求解物體表面

A

上的矢量積分P

=

?∫∫

pnd

AnpAd

A即可得到總壓力，實(shí)際上這是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。A?

完整的總壓力求解包括其大小、方向

、作用點(diǎn)。一.靜止液體作用在平面上的總壓力?

這是一種比較簡(jiǎn)單的情況，是平行力系的合成，即P=

?∫∫

pnd

A

=

?n∫∫

pd

AAA作用力垂直于作用面，指向自己判斷。?

靜壓強(qiáng)在平面域

A

上分布不均勻，沿鉛垂方向呈線性分布。PγHHHPγHhPγhPHHLγHγHLeL/3hγhHHhγ

(H

?h)γH1.壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力?

矩形平面單位寬度受到的靜水總壓力是壓力分布圖

AP

的面積。?

矩形平面受到的靜水總壓力通過壓力分布圖的形心。?

梯形壓力分布圖bγhAp2

+L

h

H3

h

+

H的形心距底e

=

?LP?

三角形壓力分布eLγH圖的形心距底=e32.分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力?

總壓力的大小PαdPhP

=

∫∫γhd

AhChA=

γ

sinα

?

∫∫

y

d

AyA=

γ

sinα

?

yC

?

AyAd

ACD=

γ

hC

?

A=

pC

?

AyyCxyD?

總壓力的作用點(diǎn)P?

y

=

∫∫γh?

yd

APDdP

αAhhCh=

γ

sinα

?∫∫

y2

d

AAy=

γ

sinα

?

I0yAsin

(I

y

A)=γ

α?

+

2d

ACCCDyyCIy

=

y

+

CyDxDCy

AC結(jié)論：1.

平面上靜水壓強(qiáng)的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強(qiáng)?？倝毫Υ笮〉扔谧饔妹嫘涡?/p>

C

處的壓強(qiáng)

pC

乘上作用面的面積

A.2.

平面上均勻分布力的合力作用點(diǎn)將是其形心，而靜壓強(qiáng)分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強(qiáng)越大，所以總壓力作用點(diǎn)位于作用面形心以下。?

靜力奇象h二.靜止液體作用在曲面上的總壓力?

由于曲面上各點(diǎn)的法向不同，對(duì)曲面

A求解總壓力∫∫Apnd

A時(shí)，必須先分解成各分量計(jì)算，然后再合成。hHγhγH?x方向水平力的大小P

=

∫∫pn

d

A

=

γ

h?cosθ

?d

A

=

γ

h?d

A

=

γh

A∫∫∫∫xxxC

xxAAAxzyAx

是曲面

A

沿x

軸向

oyz

平面的投影，hxC

是平面圖形

Ax

的形心浸深。xhAPxAxθn?

結(jié)論：靜止液體作用在曲面上的總壓力在

x方向分量的大小等于作用在曲面沿

x軸方向的投影面上的總壓力。zy?y方向水平力大小的算法與

x方向相同。xhAPxAxθn?

z方向水平力的大小P

=∫∫pn

d

A

=