【考點(diǎn)】2020年中考考點(diǎn)講練案：5棋盤擺米問(wèn)題教師版

專題5.棋盤擺米問(wèn)題※知識(shí)精要棋盤擺米問(wèn)題是用方程思想解決求和問(wèn)題。此方法還可以解決循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)問(wèn)題?！c(diǎn)突破解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用方程思想解決求和問(wèn)題。※典例精講例：棋盤擺米：古時(shí)候，在某個(gè)王國(guó)里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國(guó)家象棋，獻(xiàn)給了國(guó)王，國(guó)王從此迷上了下棋，為了對(duì)聰明的大臣表示感謝，國(guó)王答應(yīng)滿足這位大臣的一個(gè)要求。大臣說(shuō)：“就在這個(gè)棋盤上放一些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒……一直到第64格?！薄澳阏嫔?就要這么一點(diǎn)米粒？！”國(guó)王哈哈大笑，大臣說(shuō)：“就怕您的國(guó)庫(kù)里沒(méi)有這么多米！”你認(rèn)為國(guó)王的國(guó)庫(kù)里有這么多米嗎？事實(shí)上，按照這位大臣的要求，放滿一個(gè)棋盤上的64個(gè)格子需要1+2+22+23+L263=（264-1）粒米，264-1到底多大呢？借助計(jì)算機(jī)中的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，可知答案是一個(gè)20位數(shù)：18446744073709551615.1解析】TOC\o"1-5"\h\z謾工=1十2十N十F十爐 9①則2x2十/十？三一24 254②②TD得一=2'※課堂精練1.為了求1+2+22+23+L+22016的值，可令S=1+2+22+23+L+22016，貝°2S=2+22+23+L+22017，因此2S-S=22017-1,所以1+2+22+23+L+22016=22017-1,請(qǐng)仿照以上推理計(jì)算出1+5+52+53+L+52016的值是（ ）52017—1A.52017-1 B. 452016—1C. D. 52016—14【答案】B【解析】???設(shè)S=1+5+52+53+...+52016,則5S=5+52+53+...+52016+52017,「.4S=52017-1,~ 52017—1,故選B.2’.求1十2+於+爐+...+2頡7的值，可令$=1+2+2Z+2/…+2費(fèi)必，則2s=2+22+23+24+.?+22010,因此2f=產(chǎn)J,即￡= 仿照以上推理，計(jì)算出1+3+3+3+…+3的值為.32019-1［答案］一一【解析】令3=1十3-3士一一十…十之1外貝|］35=34-32-3s--■■+320-9,/.35'-^320-9-1,解得5=J=.jL故答案為二三工3.觀察下列運(yùn)算過(guò)程：5=1+3+W+33+…十三白"+宙。%)①乂3得：5=1+34-32+33+■■■+32012+32013@22014_j②-①得：2S=32014-l,5——2—運(yùn)用上面計(jì)算方法計(jì)算：l+5+S2+53+-+52O13=.產(chǎn)J［答案］一4一【解析】首先根據(jù)已知設(shè)ST+5+52+53+…+524+525①，再將其兩邊同乘5得到關(guān)系式②，②-①即可求得答案.設(shè)S=l+5+52+53+...+52013①,，則5s=5+52+53+54...+52014②，5*1S- ②-①得：4s=52041,所以S=4 ,5_5*1故答案為：’-「一4.閱讀材料：計(jì)算31+32+33+34+35+36.解：設(shè)8=31+32+33+34+35+36,①則3s=32+33+34+35+36+37,②37-3由②一①，得35—5=37—31,則5=2-3即31+32+33+34+35+36=-.仿照以上解題過(guò)程，.計(jì)算：51+52+53+54+55+...+52018.5-咚5【答案】【解析】役&=51+52+5工+三二+三+…+，二三①則5g=5,十￥十5n-十邛，②由②—①，得4芯二5二m—5,即5】十乎十5二十54十三十...十三也=七二.5.閱讀材料：求1+2+22+23+24+...+22013的值.解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,將等式兩邊同時(shí)乘以2得：2s=2+22+23+24+25+…+22013+22014將下式減去上式得2S-S=22014-1即S=22014-1即1+2+22+23+24+...+22013=22014-1請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：1+2+22+23+24+...+2101+3+32+33+34+...+3n(其中n為正整數(shù)).【答案】見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210,兩邊乘以2后得到新的等式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；(2)類比題目中的方法即可得到所求式子的值.(1)設(shè)S=1+2+22+23+24+...+210,將等式兩邊同時(shí)乘以2得2s=2+22+23+24+...+21。+211,將下式減去上式得：2S-S=211-1,即S=211-1,貝U1+2+22+23+24+...+21。=211-1；(2)設(shè)S=1+3+32+33+34+…+3n①，兩邊乘以3得：3s=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，1②-①得：3S-S=3n+1-1,即S=—(3n+1-1),1貝U1+3+32+33+34+...+3n=—(3n+1-1).6.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值時(shí)，小林發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的6倍，于是她設(shè)：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的兩邊都乘以6,得610一16S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②一①得6S—S=610—1,即5S=610—1,所以S=-5—得出答案后，愛(ài)動(dòng)腦筋的小林想：如果把“6”換成字母》”（存0且存1）,求1+a+a2+a3+a4+…+a2016的值。a2017一1【答案】:T［解析】謾S=1+<?+層+,+?+…+出口帶①,在等式兩邊同乘以值得a3=胃+排+必+燈+…-班*+加了②,②-①得（十1茹=聲曠-1,11111

—+ + + +"■■*■*■+ 7.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求」二二一 丁的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計(jì)如圖所示的幾何圖形.1--【答案】11【解析】方法1.把一個(gè)面積為1的正方形分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，接著把面積為的長(zhǎng)方形分成兩1 1 1個(gè)面積為的正方形，再把面積為的正方形分成兩個(gè)面積為的三角形，…，由圖形揭示的規(guī)律進(jìn)行解答即可得.1111 1—++++--,+—=-1所以8.閱讀理解題：你知道為什么任何無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式嗎？下面的解答過(guò)程會(huì)告訴你原因和方法.（1）閱讀下列材料：?問(wèn)題：利用一元一次方程將0.7化成分?jǐn)?shù).設(shè)0.7=x由0.7=0.777LL，可知10*0.7=7.777L=7+0.7即7+x=10x.（請(qǐng)你體會(huì)將方程兩邊都乘以10起到的作用）7 77可解得x=9,即0.7=9填空：將0.4直接寫成分?jǐn)?shù)形式為.（2）請(qǐng)仿照上述方法把小數(shù)0.25化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過(guò)程4【答案】（1）9（2）見(jiàn)解析【解析】Cl）根據(jù)0一7轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)的方法，設(shè)0-4 仿照例題的解法即可得出結(jié)論；C2）①根據(jù)。一7轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)的方法.設(shè)。一七=/仿照例題的解法O1。換成對(duì)加）即可得出結(jié)論Ci>設(shè)0.4=x.方程兩邊都乘以10,可得10x0.4=10x.由0.4=0.44