超幾何分布課件 【知識(shí)精講精研】 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

7.4.2超幾何分布第七章

隨機(jī)變量及其分布

二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n，p).若X~B(n,p)，則有二項(xiàng)分布的均值與方差：二點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)復(fù)習(xí)回顧

每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，且各次抽取的結(jié)果不獨(dú)立，故X不服從二項(xiàng)分布.則X的分布列是：

每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X～B(4，0.08).采用有放回抽樣采用不放回抽樣解：由題意可知，X可能的取值為0,1,2，3，4

則X的分布列是：X01234P

新知探究問(wèn)題1

已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.

概念生成一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為:超幾何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

記為X~H(N,n,M).N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)（如次品數(shù))

概念理解超幾何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

當(dāng)N=10,M=4時(shí),N-M=6,n=3.當(dāng)N=10,M=4時(shí),N-M=6,n=8.k的第一個(gè)值是

m=max{0,3-6}=0,r=3;k的第一個(gè)值是

m=max{0,8-6}=2,r=4.追問(wèn)1怎么去理解m＝max{0,n-(N-M)}的取值？概念理解超幾何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

①總體中含有兩類不同的個(gè)體；②不放回地抽??；③隨機(jī)變量是從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體中某一類個(gè)體的數(shù)量.追問(wèn)2

怎樣判斷一個(gè)變量是否服從超幾何分布？B概念辨析解：設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)，則X服從超幾何分布，

且N＝50,M＝1,n＝5.例1

從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.容易發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人被抽到的概率都是.這個(gè)結(jié)論非常直觀，上述解答過(guò)程就是這一結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程.因此甲被選中的概率為典例解析反思：以前我們是用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題的？解：設(shè)X表示抽取10個(gè)零件中不合格品數(shù)，則X服從超幾何分布，其分布列為例2

一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率為(直接法)(間接法)典例解析(1)設(shè)隨機(jī)變量X，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)

N，M，n的值；(2)根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；(3)用表格的形式列出分布列.求超幾何分布的分布列的步驟方法歸納1.一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎(jiǎng)券的概率.鞏固練習(xí)課本80頁(yè)

設(shè)抽出的2罐中有獎(jiǎng)券的罐數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而抽取2罐中有獎(jiǎng)券的概率為解：2.學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì),已知有4名候選人來(lái)自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到,求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.鞏固練習(xí)課本80頁(yè)

設(shè)選到的4人中甲班同學(xué)的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而甲班恰有2人被選到的概率為解：新知探究：超幾何分布的均值問(wèn)題2服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?設(shè)隨機(jī)變量X

服從超幾何分布，則X

可以解釋為從包含M件次品的N

件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n

件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率.我們猜想下面對(duì)均值進(jìn)行證明.證明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由隨機(jī)變量的定義：當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)m=0時(shí)，類似可以證明結(jié)論依然成立.若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則有

新知探究：二項(xiàng)分布的均值我們猜想解：(1)對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為例3

一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.對(duì)于不放回摸球,各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立,X服從超幾何分布,X的分布列為n重伯努利試驗(yàn)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布隨機(jī)變量服從超幾何分布典例解析例3

(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.

樣本中黃球的比例f20=是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)表7.4-2算得|f20-0.4|≤0.16≤X≤10有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.典例解析

因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些.解：(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.XP

兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8),但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看,超幾何分布更集中在均值附近.例3

(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.典例解析

二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律,并且二者的均值相同,對(duì)于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),每抽取一次后,對(duì)N的影響很小,此時(shí),超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.問(wèn)題3：二項(xiàng)分布、超幾何分布有什么區(qū)別和聯(lián)系？超幾何分布二項(xiàng)分布試驗(yàn)類型

抽樣

抽樣試驗(yàn)種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果總體容量

個(gè)

個(gè)隨機(jī)變量取值的概率利用

計(jì)算利用

計(jì)算聯(lián)系不放回放回兩兩有限無(wú)限古典概型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(1)對(duì)于同一模型，兩個(gè)分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，隨機(jī)變量的取值更集