材料力學(xué)馬紅艷材力

§2.8

拉壓靜不定問題一.靜定靜不定概念靜定問題——僅用靜力平衡方程就能求出全部未知力，這類問題稱為靜定問題.statically

determinate

problem特點：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。靜不定問題——僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力。又稱超靜定問題。statically

indeterminate

problem特點：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。未知力數(shù)目：2(

FN1

,

FN2

)靜力平衡方程數(shù)目：2(

∑Fx

=

0,

∑Fy

=

0

)靜定結(jié)構(gòu)，--------靜定問題僅用靜立平衡方程便能求解全部未知量。FBC1

α

αA2FFN1FN2xyα

αAF未知力：4個平衡方程：2個靜不定結(jié)構(gòu)，靜不定問題。需要補充2

個方程。FFN1FN2FN3

FN43.

靜不定次數(shù)degree

of

statical

indeterminancy未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目之差。也是需要補充的方程數(shù)目。未知力：4個 平衡方程：2個靜不定次數(shù)

=

4－2

=

2此結(jié)構(gòu)可稱為2次靜不定結(jié)構(gòu)FFFN1FN2FN3

FN44.

多余約束（構(gòu)件）

redundant

restraint------結(jié)構(gòu)保持靜定所需約束之外的約束。即沒有這部分約束結(jié)構(gòu)也能保持一定的幾何形狀（靜定）。BC

DAFDBAFBCAF判斷：靜不定次數(shù)3個未知力2個平衡方程1次靜不定BAFAFC

DFN1FN2FN35.

多余未知力

redundant

unknown

force多余約束提供的約束力。靜不定次數(shù)=多余未知力數(shù)目二.

靜不定問題的解法：判斷靜不定次數(shù)：方法1:

未知力數(shù)目－平衡方程數(shù)目方法2：多余未知力數(shù)目列平衡方程列幾何方程：反映各桿變形之間的關(guān)系，需要具體問題具體分析。列物理方程：變形與力的關(guān)系。列補充方程：物理方程代入幾何方程即得FE

A2

2E

A1

1ABDl2l1l

=

l3

2C1a

a3

E3A3

=E2A22例題1已知：3211

1l

,

l

=

lE A

,

E2

A2

=

E3

A3

,求：各桿軸力解：1.判斷：一次靜不定。yxFFN1FN3aFN2aA2.列平衡方程⑵⑴=

0,

FN

3

sina

-

FN

2

sina

=

0

FxFN

2

=

FN

3

Fy=

0,

FN

1

+

FN

2

cosa

+

FN

3

cosa

-

F

=

0yxFFN3FN1aFN2aA3.列幾何方程：Dl2

=

Dl3

=

Dl1cosaE1A1BE2A2CDaal21l

=

l3

23

E3A3

=E2A22

1

lDl2ADl3A′Dl1F321

1

2

21E

AE

AF

l=

N

2

2Dl

=

DlF

l=

N

1

1

,Dl4.列物理方程5.

列補充方程將物理方程代入幾何方程得：FN

2

l

2

=

FN

3

l

3

=

FN

1

l1cosaE

2

A2

E

3

A3

E1

A1⑶Dl2

=

Dl3

=

Dl1cosa⑴FN

2

=

FN

3⑵FN

1

+

FN

2

cosa

+

FN

3

cosa

-

F

=

0cosaE1

A1E3

A3E2

A2FN

2

l2F

l

F

l=

N

3

3

=

N

1

1⑶聯(lián)解⑴，⑵，⑶式，得(+)1

+

2

2 1

cos2

aE

1A1

l22E A

lFFN

1

=(+)2cosa+

1

1

2

N3N

2E2

A2

l1

cosaE A

lFF

=

F

=FABDa

a3C2

1F

N2=FN3

→0FN1→F,FN1→0,2cosaFFN

2

=

FN

3

fi討論

E1A1→∞,E1A1→0,靜不定問題—分析變形關(guān)系判斷新結(jié)點位置。從新結(jié)點向原桿做垂線。垂足與原結(jié)點間的距離為各干的變形（伸長、縮短）靜不定結(jié)構(gòu)特點（1）內(nèi)力按剛度比分配。思考：靜定結(jié)構(gòu)是否也是這樣？靜不定結(jié)構(gòu)的特點(1)FABDa

aFABCD32

1a

a靜不定：內(nèi)力按剛度比分配“能者多勞”靜定：內(nèi)力與剛度比無關(guān)注意事項內(nèi)力假設(shè)與變形假設(shè)一致!yxFFN3FN1aFN2aAE

A2

2BCDa

al2l1l

=

l3

21

E1A13

E3A3

=E2A22A′Dl2ADl3Dl1F內(nèi)力假設(shè)受拉變形假設(shè)伸長研究平衡研究變形靜不定結(jié)構(gòu)的特點(2)———裝配應(yīng)力靜定結(jié)構(gòu)——無裝配應(yīng)力靜不定結(jié)構(gòu)——？！ABDABCD32

1a

aAδlα

α123BCD已知：三桿EA相同，1桿制造誤差δ，求裝配內(nèi)力解題思路：因制造誤差，裝配時各桿必須變形，因此產(chǎn)生裝配內(nèi)力。⊿l1一次靜不定問題。幾何方程：⊿l1＋

⊿l2

/

cosα

=

δ物理方程？胡克定律！平衡方程：內(nèi)力不可任意假設(shè)。⊿l2A'AFN1FN2FN3AFN1FN2FN31桿伸長，應(yīng)為拉力，2，3桿縮短

,

應(yīng)為壓力。裝配應(yīng)力是不容忽視的，如：

δ/l=0.001,

E=200GPa,

α=30°—— σ1

=

113

MPa

，

σ2

= σ3

=

－65.2

MPa正確不正確Aδlα

α123BCD⊿l1⊿l2A'靜不定結(jié)構(gòu)的特點(3)———溫度應(yīng)力ABCDa

aT

CABDa

aT

C靜不定結(jié)構(gòu)：有溫度內(nèi)力靜定結(jié)構(gòu)：

無溫度內(nèi)力EADl

=

alDt

+

FN

l

=

0思路：溫度變化引起桿的長度變化，多余約束限制了這個變化，引起溫度內(nèi)力。幾何方程：⊿l

=

⊿lt＋

⊿lF

=

0物理方程：⊿lt

=αl

⊿tAlBs

=

FN

=

-aEDtAEAF=

FN

lDl例題：OAB桿視為剛性，1，2兩桿相同，已知:EA,l,a,Dt

,α求：溫度變化引起1，2桿的內(nèi)力。解：1.判斷：一次靜不定。幾何方程：

⊿l2

=

2

⊿l1平衡方程：

∑MO=0

, FN1

a

+

FN2

2a

=

0FN1

=

-

2

FN2la

aAO12laOA’⊿l1B⊿l2B’FN1AaFN2BEA1Dl

=

a

l

Dt

+

FN

1

l⊿l2

=

2

⊿l14.物理方程：laaABO12B’A’⊿l1⊿l2EA2Dl

=

a

l

Dt+

FN

2

l5.以上方程聯(lián)解，得：5F

=

1

EAaDtN

2（拉）5N

1F

=-2

EAaDt

（壓）總結(jié)與思考1.

靜不定問題：僅用靜力平衡方程不能全部求解原因：未知量數(shù)目多于有效平衡方程數(shù)目2.

解法：關(guān)鍵：建立幾何方程建立物理方程從而可得補充方程BC

DAF3.

特點內(nèi)力按剛度比