XXX科技大學(xué)2021年物理類專業(yè)研究生入學(xué)考試《量子力學(xué)》試題及答案(試卷一、二、三)

#/15XXX大學(xué)2021年物理類專業(yè)究生入學(xué)考試《量子力學(xué)》試題（試卷一、二、三）

、簡(jiǎn)答題（每題8分，共40分）。1、設(shè)方為么正算符，而3=，0+小）/=，。-辦），試證:2 2i（1）3和月均為厄密算符；(2)A2+52=1o2、已知￡|m)=^(/-m)(l+m+i)h|/,根+1),（1）寫出矩陣元（（1）寫出矩陣元（r,mL+（2）若/=2,試寫出￡的全部不為零的矩陣元。+3、氫原子處于態(tài)W（r,0,①）=1RY+2RY_2RY中，問(wèn)：3 4331 3 4110 3 411-1wG,o,①）是否為能量的本征態(tài)？若是，寫出其本征值。若不是，說(shuō)明理由；（2）在w（r,o,①）中，測(cè)角動(dòng)量平方的結(jié)果有幾種可能值？相應(yīng)幾率為多少？4、一小球在沖平面內(nèi)繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫出同時(shí)確定此轉(zhuǎn)子的方位角中和角動(dòng)量分量L的不準(zhǔn)關(guān)系。z二、（15分）。粒子被約束在半徑為廠的圓周上運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)立路障進(jìn)一步限制粒子在0＜中＜中的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，0U(p)=0,0U(p)=08,①<p<2兀0求粒子的能量本征值和本征函數(shù);（2）設(shè)粒子處于（1）的基態(tài)，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能態(tài)的幾率是多少？三、（15分）。0、0、0，1>（0k0、八H'=k00；V000）其中常數(shù)k?1，（1）用微擾法求體系的能級(jí)，精確到二級(jí)近似;（2）求出體系能量的精確解，并與（1）式結(jié)果比較。四、（15分）?？紤]微弱地相互作用著的三個(gè)玻色子組成的系統(tǒng)，各粒子皆處于已知的單粒子態(tài)W（^）,其中q表示包含空間和自旋運(yùn)動(dòng)的第％個(gè)態(tài)，qij i己表示第j個(gè)粒子的所有坐標(biāo)。試寫出系統(tǒng)的各種可能的零級(jí)近似波j函數(shù)。五、（15分）。設(shè)一帶電為q，質(zhì)量為加,在寬度為〃的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，在入射光照射下發(fā)生躍遷，光波長(zhǎng)X?〃，求躍遷選擇定則。簡(jiǎn)答題(40分)。簡(jiǎn)答題(40分)。試卷二0)0,b0)0,b?1,,用微擾論求體系21、一量子體系的哈密頓算符H=b1100能量至二級(jí)近似；2、能量為E=20MeV的中子受到力程a=10-15m的勢(shì)場(chǎng)作用，如用分波法求散射截面，需計(jì)算幾個(gè)分波相移？設(shè)憶求出相移，寫出計(jì)算散射總截面的表達(dá)式。(m=1.6x10-27kg，力=1.05x10-34J.s)。n3、有一雙電子體系，其單電子基態(tài)波函數(shù)的空間部分用V」sin（"］描述，其中,?為電子的編號(hào)。若以aG）和PG）分別表示電zrI"i子自旋向上和向下波函數(shù)，試寫出描述該體系的基態(tài)波函數(shù)。4、設(shè)氫原子處于態(tài)w（「,4、設(shè)氫原子處于態(tài)w（「,s）=J_z72(r)200(r)+200(r)211J否是能量本征態(tài)？若是，寫出其本征值。又問(wèn)在該態(tài)中測(cè)量角動(dòng)量&角動(dòng)量分量力及自旋磁矩的分量M的平均值各為多少？SZ

二、（20分）。設(shè)|r,|u2）,|u3〉為一組正交歸一基，已知在這組基張成的希爾伯特空間中H空間中H和N的矩陣為H=0E001、H和A是否存在共同的本征函數(shù)？寫出這些本征函數(shù)相應(yīng)的本征值。2、\2,才或\,A應(yīng)否構(gòu)成完全測(cè)量集合？為什么?3、若t3、若t=0時(shí)，體系處于態(tài)M；=3中，測(cè)量其能量的可能值、相應(yīng)幾率及平均值的結(jié)果是什么？是否隨時(shí)間變化？為什么?

三、（20分）。自旋磁矩為p=-1S的電子處于磁場(chǎng)后=（Bcos3t,Bsin3t,B）中。m 0 0 01、寫出電子的哈密頓算符在S表象中的矩陣形式；z2、設(shè)電子在t=0時(shí)處于S=-2的態(tài)（用向）表示，把哈密頓算符中與時(shí)間有關(guān)的部分作為微擾，求在微擾作用下到時(shí)刻t電子躍遷到S上態(tài)幾率的幾率表式。（記M=巴）。z2 B2m四、（20分）。求在B求在B工的共同本征態(tài)l，,m；,中，l，L及L2,L的平均值，并由xyxy此導(dǎo)出在該態(tài)中同時(shí)測(cè)量L工的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。xy、回答下列問(wèn)題（40分）。1、若系統(tǒng)的波函數(shù)的形式為w（x,DhG）e京田+6（x）問(wèn)wG"）1 2是否定態(tài)波函數(shù)？為什么？2、算符3和B滿足對(duì)易關(guān)系，［B,可=I,C=AB是厄密算符，且滿足本征方程品=刖,問(wèn)：（1）狀態(tài)^=財(cái)是否C的本征態(tài)？若是，寫出本征值。若不是，說(shuō)明理由。（2）算符A和B是否厄密算符？用簡(jiǎn)單的算符運(yùn)算說(shuō)明之。3、粒子處于態(tài)w（Q=Asin2正，其中人為波數(shù)，求其動(dòng)量取2泳的幾率;率;4、氫原子的波函數(shù)\|;（尸）=紳+v+依/+JM，求能量的可100 210 211 21-1）石［6）石［6一九），試證:5、設(shè)方為么正算符，而九二工6+小2（1）人和方均為厄密算符；A2+52=1o

二、（15分）。量子體系的哈密頓算符二、（15分）。量子體系的哈密頓算符在H為對(duì)角表象中的矩陣形0式為：0、00、00/01>1、用微擾法求體系的能量，精確到二級(jí)近似；2、求精確解，與1、比較。三、（15分）。A和B是屬于同一體系的兩個(gè)互相對(duì)易的力學(xué)量算符。1、若W）,[w2）是屬于A的不同本征值的本征態(tài)，試證明2、問(wèn)：當(dāng)體系處于力學(xué)量N的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量B是否有確定值?試就N的本征值簡(jiǎn)并與非簡(jiǎn)并兩種情形加以說(shuō)明。四、（20分）。自旋為1的粒子，處于一維無(wú)限深勢(shì)阱U（。=，0,0<“<0之中，2 |*x<0,x>a寫出勢(shì)阱內(nèi)單粒子能級(jí)和波函數(shù)。1、計(jì)及自旋每個(gè)能級(jí)有多少個(gè)狀態(tài)?說(shuō)明理由。2、計(jì)算勢(shì)阱中的態(tài)密度。即每單位能量間隔內(nèi)有多少個(gè)不同的狀態(tài)。3、