第五章固體電子論基礎

固體電子論基礎[引言]在前面幾章中，我們介紹了晶體的結(jié)構(gòu)、晶體的結(jié)合、晶格振動及熱學性質(zhì)以及晶體中缺陷與擴散，其內(nèi)容涉及固體中原子（或離子）的狀態(tài)及運動規(guī)律，屬于固體的原子理論。但要全面深入地認識固體，還必須研究固體中電子的狀態(tài)及運動規(guī)律，建立與發(fā)展固體的電子理論。固體電子理論的發(fā)展是從金屬電子理論開始的。金屬具有良好的導熱和導電能力，很早就為人們所應用的研究。大約1900年左右，特魯?shù)率紫忍岢觯航饘僦械膬r電子可以在金屬體內(nèi)自由運動，如同理想氣體中的粒子，電子與電子、電子與離子之間的相互作用都可以忽略不計。后來洛侖茲又假設：平衡時電子速度服從麥克斯韋——玻耳茲曼分布律。這就是經(jīng)典的自由電子氣模型。自由電子的經(jīng)典理論遇到根據(jù)性的困難——金屬中電子比熱容等問題。量子力學創(chuàng)立以后，大約在1928年，索末菲提出金屬自由電子論的量子理論，認為金屬內(nèi)的勢場是恒定的，金屬中的價電子在這個平均勢場中彼此獨立運動，如同理想氣體中的粒子一樣是“自由”的；每個電子的運動由薛定諤方程描述，電子滿足泡利不相容原理，故電子不服從經(jīng)典的統(tǒng)計分布而是服從費米——狄拉克統(tǒng)計律。這就是現(xiàn)代的金屬電子理論——通常稱為金屬的自由電子模型。這個理論得到電子氣對晶體熱容的貢獻是很小的，解決了經(jīng)典理論的困難。但晶體為什么會分為導體、絕緣體和半導體呢？上世紀30年代初布洛赫和布里淵等人研究了周期場中運動的電子性質(zhì)，為固體電子的能帶理論奠定了基礎。能帶論是以單電子在周期性場中運動的特征來表述晶體中電子的特征，是一個近似理論，但對固體中電子的狀態(tài)作出了較為正確的物理描述，因此，能帶論是固體電子論中極其重要的部分。本章首先講述了金屬的自由電子模型；然后介紹單電子在周期場中的運動；并用兩種近似方法——近自由電子近似和緊束縛近似，討論周期場中單電子的本征值和本征態(tài)，得出能帶論的基本結(jié)果；在講述晶體中電子的準經(jīng)典運動后，介紹了金屬、絕緣體和半導體的能帶模型等。[本章重點]自由電子模型；費米能；布洛赫定理；近自由電子近似；緊束縛近似；能帶與能級；禁帶；能態(tài)密度；晶體中電子的準經(jīng)典運動及有效質(zhì)量；導體、絕緣體和半導體晶體電子填充能帶的模型?！?-1金屬自由電子論本節(jié)簡要介紹索末菲的量子自由電子論，并計算電子氣的比熱容。一、電子的能量狀態(tài)根據(jù)量子自由電子模型，認為金屬價電子在金屬內(nèi)的恒定勢場中運動，其薛定諤方程為：………………（5-1-1）式中是ψ（r）電子的波函數(shù)，E是電子總能量，m是電子的有效質(zhì)量，V(r)是電子的勢能，在這里是一個常數(shù)，可取作零，則上式可寫為：誘……作……跡……再……畝……克……宋…貧……忽……漏……殲……卷……角……告……糞…戴（提5-托1-憲2菠）挖方程修的解褲可寫求為：星……弱……掏…冶……霸……赤……賣……猜……疲……童……攪……旅……誠…斗（葬5-負1-膽3保）期其中左A是味歸一記化常麻數(shù)，劃由波睛函數(shù)套的歸涌一化昌性質(zhì)哪可求莖：勿……誠……悶…潤……峰……扁……川……膚……名……桌……狹……維…拾……品……污……蠶…甜（奇5-物1-汗4監(jiān)）繳上式毫的積幸分區(qū)灰域V村是晶軟體的疏體積怕。以斷（規(guī)5-蜘1-驗3夕）代神入（領(lǐng)5-浮1-可4）故，并芝假設顧晶體想是每弄邊長咬為L婚的立嘴方體鹽，則土可得也到：漲……課……續(xù)……披……規(guī)…句……券……政……肚……偵……爛……甩……戀……援……猾……底…建（5勒-1各-5烏）哭即金月屬中比自由績電子笑的波廉函數(shù)狀和蒼能量誓為：述……海……創(chuàng)……吳……算……拾……炎……病……兄……攜……笨……笑……忌……東……毅……長…靜（倚5-摔1-賓6籠）很……圾……炊……你……篇……泡……順……夢……廉……藥……結(jié)……緣……釣…橫（殼5-懼1-終7慌）得從上大式中妄可以免看出凱ψ旋（r幅）也仆是電師子動通量有通本征明函數(shù)王，自假由電隙子動獎量的矛本征陶值是囑?享k伙。芳波矢遣的取皂值是店由邊蒙界度條著件確薦定的鄙。為翅方便痛，采機用周女期性唯邊界濕條件傳，可命以寫鋤出：布ψ喂（必x唇,潔y我,池z奮）=叮ψ河（邪x+慈L游,遲y練,逃z暖）=號ψ鞏（便x蔥,舅y+沿L餡,蔽z肉）=搜ψ躁（辮x霞,離y近,有z+祖L猜）連……止……兄……吐…蘭……濕…依…堪……永…邀（聯(lián)5-執(zhí)1-叢8毫）輔以呀（獻5-劈1-拆6鹿）代麻入（飛5-室1-小8）杠，得論：柴可見嗓：磨所以松有：鉗……躬……拘……倍……哀……毯……旅……謹……李……場……豆……患……姐（短5-前1-壇9書）蹦其中獲n彼x背,系n編y情,羽n眼z醬=0貝,酬±膨1,梢擱±搖2,覺糾±近3哥,筑…恒將（到5-鏈1-算9仗）代加入（雞5-罩1-瓣7）咱可得瓶：總……村……婦…謙……革……皮……謀……味……音……禁…左（億5-巧1-叢10躬）kxkykzO圖5-1-1狀態(tài)代表點在k空間中的分布廟式（槽5-振1-捷10蜓）即類為自有由電敞子的吳能量有表達趣式，飯每一睛組量惱子數(shù)辟（似）挺確定輔電子恥的一偶個波亭矢占k波，從災而確譯定了串電子糟的一旬個狀西態(tài)臘。處寇于這益?zhèn)€態(tài)鬧中的紐電子脅具有擁確定勞的動撥量零?也k革及確鐘定的破能量慎，因斧而具延有確火定的買速度欄。假勝如以說為坐牛標軸壽建立押起波坡矢空棉間（條k跑空間勺），諒則每竊一個框電子這的本滑征態(tài)水可以撥用該奏空間穩(wěn)的一添個點圖來代陷表，臂點的望坐標棉由（升5-謙1-禁9）掏來確他定。驅(qū)圖5酷-洞1-謎1畫潑出這悟些狀雁態(tài)贈代表游點在還k厭空間基中分慎布的擔示意鉆圖。喘圖中鉤示出英，沿故及逗軸的冒兩個背相鄰薄代表章點之抄間的磁距離巡是相饞同的妄，由遷（5班-1榜-9箭）可堂知抬，這凍個距態(tài)離就可是租2沈π艙/L幅?？缮饕?，煤狀態(tài)思代表晉點在殊k陣空間泰中的摩分布那是均泥勻的敬，每烤個點最所占脊的導k蛾空間裝體積云是趟，其憐中葛V著是晶灰體的乘體積肝。在順k將空間旬的單提位體堆積中清含有杏的狀麗態(tài)代岔表點穴數(shù)應殺為秘，這仇就是騾k網(wǎng)空間堅中狀鎮(zhèn)態(tài)點韻kxkykzO圖5-1-1狀態(tài)代表點在k空間中的分布的二、盒自由燦電子絨的釀能態(tài)之密度示從自籌由電會子能持量有貓表達慰式（餃5-適1-付10禁）中鑄可以扯得到汽：雁……悠……宗……習…蜓……追……域……要……船……筍……挪……厚……仁……杰……獲……俱…輔（場5-撓1-緩11宜）玉這是團k籮空間豬中半奴徑為宇的球繁面方守程，竭對應略于一自定的任電子踩能量刮E，虜就有扁一個宰半徑聰確定弦的球美面存礎在。虧這些但同心嗽的球恢面稱副作電它子的同等能降面舉。憑當電氧子能聞量值宋在E探~E之+d甲E之如間時夫，商k克空間臟中相錫應的祥等能哄面半果徑則意取k缺~k選+d全k之崖間的逝值。例在這懼樣兩逝個球懼面之任間的巾殼層膜所包匠含的穩(wěn)狀態(tài)搶點，奧就是箏相應佩于能脊量為將數(shù)E攝~E雕+d謠E之銅間電侄子的差所有遇本征飯態(tài)的行數(shù)目慘，這詢個數(shù)膊目應鴉等于渣狀態(tài)屯點密購度乘圍以球國面殼惕層的足體積毛。顯光然，襪上述鵲球面賞殼層捐的體神積是派4須π喇k留2生dk炒。所釋以其象中所資包含攤的狀怖態(tài)數(shù)扒目攔dZ俱是：拔……賓……濟…渾……石……驢……眼……升……罪……油……費……傅……陽……盾……奇……?！瓌?chuàng)（婦5-綿1-芬12悶）伏根據(jù)辰式（圓5-袖1-墊7岸）有茅：尾……秧……奔……頸……感……山……黑……選……情……宴…診……勁……漂……加（爆5-智1-格13榜）歲所以憶有：蜜……評……姻…山…秤……樣……污……盾……泰……洗……攏……礙……蕉……漁……炭…兔（農(nóng)5-長1-跨14間）練這里明若定諷義脆能態(tài)峰密度債函數(shù)襖為：片……照……生……費…購……焰……也……損……茶……浴……館…介（抱5-浙1-泊15館）聲根據(jù)暗（衫5-召1-上14巴）和松（5因-1療-1艇5）尾式，管可以走求得碼：籃……側(cè)……情……襪…蕉……兔……正……襖……紛……定……之……合……賤……緞…佩……災（普5-悅1-吃16移）戰(zhàn)若考糞慮到傲每個三狀態(tài)冤可容玻納兩忠個相擱反的捧電子陜，則旬能態(tài)渣密度練函數(shù)幼可表記示為勁：峰…榨……煌……斤……敗……畫……訊……趣……?！W……狹……稠……誓……兇……勤…真（燃5-濾1-跌17撒）鏟三、兆費米鞋分布扛及躁基態(tài)蒼費米匹能項電子擁系統(tǒng)神服從紀費米玉統(tǒng)計革分布店律，飾即在緞熱平碎衡時下，電顆子占豆據(jù)能豬量為紛E的深狀態(tài)恐的幾短率由奸……死……枝…勵……嚇……性……比……蔥……喘……做……持……把……漠……立……艙…厲（叉5-朗1-癢18奇）儉給出奏?；鴉沿(督E猾)就阻是費燃米統(tǒng)詠計分古布函擊數(shù)。沙在這哈個函及數(shù)中糞，僅遠包含考一個很參量殖，它月具有貫能量罷的量描綱，陷稱作捷費米腔能。憲實際鴉上，俊E濤F將是系哄統(tǒng)中穴電子云的化屢學勢大。吹將碗f擇(盲E特)乘吊以能撤量在吳E拜~欲E寧+圍dE屋之間刪的狀霉態(tài)數(shù)第N仿(音E憂)擠dE泊，就奧得到室能量渴在負E糠~己E普+某dE句之間膨的電妹子平處均數(shù)朽dN貝。這透樣，排系統(tǒng)細中電黨子的嘴總數(shù)賀N神就可綁表示累為：妥……占……授……司……夾……蓋……殺……扇……傭……百……飾……什……依……形（寸5-腐1-燕19熄）婆由于艦f奉(綁E披)中衰包含被費米創(chuàng)能科，優(yōu)故上貼式可窯用來養(yǎng)確定伍系統(tǒng)創(chuàng)的晌。下懼面分乘T=母0K典和鑰T弄≠羅0K臣兩種洞情況厘來討慌論頭。懼首先怠是第垮一種繳情況宜：罩T摔=0臥K暴時跡。這昌時系星統(tǒng)的削費米栽能可陶用劍來標斯記徑。雷在錘時，馳f錢(帳E頂)中填的指挨數(shù)函維數(shù)趨宵于零膛，即混所以明，奴f甲(殃E尖)=羞1。隔這表法明所爪有能市量低搞于梢的態(tài)錘都填零滿了價電子錘。保在E送>蹦E南F鎮(zhèn)0雅時，桂，所畝以有姨f仙(太E子)=窩0。障即所式有能邊量高世于漸的狀憶態(tài)都豬是空串的。陣可見賊，柿就是旋以絕傅對零嘴度時匠，電觀子填毒充的恭最高玉能級序（見修圖宰5昆-1禍-2爺（b尚）趨）。冒在山T沫=0童K睬時，肚（窩5-朗1-狀19狼）式晌就變佳成：戚……目……輕…閑……攤……闖……除……鍛……鍵……卸……內(nèi)……皂……浸……敢……醫(yī)……唐……饑…缺（銅5-己1-議20蔑）盞以自兆由電疼子的笑能態(tài)鄉(xiāng)密度乘（廣5-少1-嫂17角）代沫入上鴉式，屆即可朽得到跟：鼠……杠……折……享…覺……考……薯……勒……袋……模……棒……確……斃……板……犁……獸…沉（些5-旺1-叔21帥）球從而蠻得到悲：仰…踢……雅……孕……貌……逃……漢……擦……敢……里……鄙……己……浩……旁……銜…服（垂5-梅1-貞22懷）麻式中延n濃=暮N荷/推V可是單馬體積濫中的繳電子悔數(shù)戒——雁電子堵濃度熔，一肅般約坑為螞，缸約為化幾個奔到十臣幾個暢電子息伏。去電子伯的平啊均動孟能由諷下式面給出桃：肝……詞……責…阻……儲……番……酒……洋……伙…蚊……欣……體…凡（丙5-磚1-研23?。┬ι鲜竭@是利累用了兔（為5蒼-1絕-浩22拾）式無而得落到的伐結(jié)果暈。上公述結(jié)遼果表桌明，腿在絕憤對零譽度時緒，電侄子的瀉平均看動能糊與費搞米能委有相信同的歡數(shù)量速級。臭因此補，吵電子伏的平掉均動陡能繁也具偷有幾蔬個到宵幾十中個電嘩子伏碎的數(shù)藝量級倒。經(jīng)禁典理策論卻藏得到戚電子抄的平螺均動贊能勢為零銀的結(jié)良果。蠟原因全在于鄰電子始服從臥泡利笨原理位，每爪個本疫征態(tài)臨只能涼由自站旋相融反的根兩個液電子招占據(jù)橋，因零此，傷即使借在絕斗對零識度時熱，也嬸不可底能發(fā)陽生所叨有電琴子都足集中訓在最白低能熄態(tài)上腰的情西況。001f(E)EFET≠0KT=0K(a)0KTKEF(b)圖5-1-2（a）f(E)~E的關(guān)系曲線(b)費米面和熱激發(fā)收四、么T刻≠具0歷K面時的匠費米連能跪當老T引≠脾0協(xié)K售，香有透的情樸況廉，分踩析如秘下：違當體E牽比表低幾猶個唐時，竭，因慶此，猶f戰(zhàn)(E蠢)叮≈俊1；騙當務時，收有濃f短(E持)航=1存/2晴；奶當炎E樣比范高幾蘇個冊時，窗，因延此，羨f新(E簽)觀≈瞧0。著這里童圖欣5-怖1-喪2玉（a柱）描愛繪了宴f稅(壩E沫)深—蛛E乞的關(guān)贈系曲吹線。嶄圖中職畫出鍛了脫f麻(鳴E文)從挺T拜=0贈K掩→鋪TK屑時的百變化另，表爭明：跌T斯≠斬0K欣時，桂一部喇分能用量低浩于散的電鍛子獲疤得大弓小為萄數(shù)量用級的忠熱能循而躍釀遷到衰能量怎高于君的狀鍛態(tài)中侍去（面見圖冰5-逮1-壤2（奪b）伍）。范以叫（河5-象1-月17論）和伐（5箭-1員-1罷8）乳式代邪入（召5-僵1-易19擾）式悼，得捆到：爭……竹……斤…澆……娛……匹……回……截……護……慶…凡……拍……輸…喜（鳳5-蹄1-或24炒）涉令財，喬，師則（宜5-霧1-獻24沃）式尚可寫畏為：胡……嘗……榴……精……飄……水……雨……凝……音……犁……鉤……贈……葉……釘（漲5-猛1-耽25點）煎其中亂……選……曬……宮…調(diào)……借……秘……璃……柔……豎……宣……父……湊……疑…險……痰（吸5-爹1-溝25均）枝這是抹費米存積分導，費餓米積抬分的斤一般聾形式鞋為：筆這類唯積分怪一般喇不可暢能用作解析奧方法桐求解速，通岔常采柔用級攻數(shù)展承開法板，對泥α牧在某悉些區(qū)敗間求乘得近傳似解飛。對紹于岡α施>>領(lǐng)1（慶即教）拖的情木況，膛F（歉α探）可慧用下醋式表穩(wěn)示：?！尽巍瓊?cè)……煉……玩…蔽……抗……旁……澇（繡5-護1-秧26度）泉當政時，迫上式袍變?yōu)闄?quán)：象……首……配…鍬（聰5-沿1-尊27夫）儲顯然垃當n禮=1膊/2循時，弦有五當棕α牽>>肥1時送，級否數(shù)收益斂很壘快擁，可味取前并兩項據(jù)，并民以此錄代入宅（鴿5-布1-接25脅）式穿中，俘得：康若以聲E林F早0留代替脂上式美方括擠號中翅的E希F曬，香并利拜用式偶（羽5-卵1-夕22瓜），愁可得糠：豎…聞……遺……娘……社……悄……狹……敞……恰……涼……宣……評……污…擺…鍵……為……紙（撒5-片1-宜28全）宇由式傳（舊5-償1-絕28報）可趕知，弟費米得能犬E覽F幣隨溫丟度升式高而腹略有揉下降息。由惠于恨k跡B境T谷<<兇E叉F扭0犁，所宋以，車E誕F脆與圓E買F蓮0器數(shù)值吸很接筒近。熄與費辣米能鑰相應育的溫鋼度稱境為晉費米溉溫度緞，莊即祖，一歷般約醋為1跌0更4佛—輛10染5點K松。燕能量之等于浩費米丹能般E引F陰的等陸能面賴稱為坦費米投面盛。對吃于自謝由電捐子，藍費米丹面是盯球面方，球命半徑峰為女，這少里跪k款F榜稱為禾費米傾波矢豪。蜻此時往電子賊的平悅均動保能由影下式科給出縱……雀…蓄……懂……三……紐…暫（普5-霉1-道29商）女上式芒中化，絕，而衫F旦3/愈2蜜（律α肉）可巧由欄n而=3障/2壺代入癢（渾5-御1-友27蠟）求份出：視總之陶，優(yōu)……極……蔑……泊……蓬……販…晌……弟……泡……醫(yī)……離…丘（擁5-金1-潛30廟）順若以烘代表瞞（堪5-災1-撿30儲）式河中方惡括號李中的滔，并像以（甚5-球1-展28厘）式園代入聾，可叮以得替到：唱……敘……剛……拔……父…凍……光……混……愿……浪……五……句……究……雪……鵲…登（順5-畫1-瓜31挪）位這就滋是溫奉度為呆TK楚時電腎子平腫均動燕能的唉表達廟式，羽式中粒第一展項是劈T色=0獅K療時電帆子的孕平均判動能神，第那二項晨是與爭溫度板有關(guān)慣的熱疲激發(fā)旅能。秘五、贈電子剃的熱憲容旨若系捕統(tǒng)共瀉有N的個電跳子，糕則根千據(jù)熱舌容的請定義吐式拆，即下可與刺出系智統(tǒng)的塌電子滴比熱某容：捏……尊……染……邁……密……下……裹……碰……獻…仔……微……沙……每……率……溜（謎5-圣1-陳32峰）兵式中念稱為密金屬每的電寄子比剃熱容傅。上獸式（劑5-例1-親32耍）表位明，讀電子繪的熱彩容與史溫度腰成正繡比侵，但據(jù)由于墾，所鐵以，做電子凍氣的核熱容果是比息較小悔的。賓這個舊結(jié)果王與經(jīng)巧典理拍論的瓶結(jié)果爛大地不相扇同，進原因餐在于話電子猾氣服遣從費疼米分欲布使。從間圖5能-2這可以逆看出扒，當窗溫度眠從0蝶K上塊升到灘TK慕時，蜂費米蠟分布稿函數(shù)待僅在豆附近頑幾個飯的范夕圍內(nèi)足有所慌變化神。這事說明窩金屬釘中雖回有許減多自狀由電要子，截但只茶有能聞量在致費米如能附誤近的墓狀態(tài)幕中的劫電子熄才能仗被熱坐激發(fā)譽到能碗量較霞高的侍狀態(tài)往中去傲，所寨以，吧電子罪系統(tǒng)竟的熱苦容是價很小頂?shù)摹Ｕ娈敎財n度社T榜<<列Θ抬D巨時，千晶格甩振動桶的熱拍容由漲（霧3-淺5-琴21耽）給腿出，灘即犧……棉……宋……志……僻……馬……渣……腔……鋤……榴……皂……瞇……儉……鴨（丑5-辯1-懂33盲）塘其中繡。由共此得冬到：孔……旦……宏……謙……狀……學……果……通……奏……求……濾……峰……去……棗……急（季5-班1-廁34塞）功上式馬表明坦，隨慢著溫門度下銳降，缺比值奔增加廢，即翅電子障氣對紙晶體異熱容羅的貢霜獻只克有在秒低溫準度時擊才是憲重要譽的。軍在液陣氦溫妨度下虜與手大小鍋可以斤相比東。低樓