湖北省高三下學期模擬考試(理科)數(shù)學試卷-附答案解析

第第頁湖北省高三下學期模擬考試(理科)數(shù)學試卷-附答案解析班級:___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C．或 D．2．歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學中的天橋”.若復數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．設拋物線的焦點為，點在上，，若，則（

）A． B．4 C． D．64．從年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學、外語門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構成．等級性考試成績位次由高到低分為、、、、，各等級人數(shù)所占比例依次為：等級，等級，等級，等級，等級．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學生中抽取人作為樣本，則該樣本中獲得或等級的學生人數(shù)為（

）A．55 B．80 C．90 D．1105．若函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為．則下列直線中，圖象的對稱軸是（

）A． B． C． D．6．如圖,O是坐標原點,M,N是單位圓上的兩點,且分別在第一和第三象限,則||的范圍為()A．[0,)B．[0,2)C．[1,)D．[1,2)7．設，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．從1，2，3，4，5中先后選兩個不同的數(shù)，第一個數(shù)記為，第二個數(shù)記為，記事件為“是奇數(shù)”，事件為“”，則（

）．A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)的最小值為0，（為自然常數(shù)，），則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知正實數(shù)x，y，z滿足，則下列正確的選項有（

）A． B． C． D．11．橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上且異于長軸端點，點M，N在△PF1F2所圍區(qū)域之外，若，，則|MN|的可能取值為（

）A．4 B．5 C．6 D．712．已知兩個等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為三、填空題13．若，則______.14．已知雙曲線與有相同的漸近線，若的離心率為2，則的離心率為__________.15．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)的值為______．四、雙空題16．設函數(shù)，.①的值為_______；②若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.五、解答題17．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設，記的前項和為，證明：.18．現(xiàn)有下列三個條件：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象可以由的圖象平移得到；③函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離.從中任選一個條件補充在下面的問題中，并作出正確解答.已知向量，，，函數(shù).且滿足_________.（1）求的表達式，并求方程在閉區(qū)間上的解；（2）在中，角，，的對邊分別為，，.已知，，求的值.19．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的菱形，且，，，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)證明：平面平面．(2)求二面角的大?。?0．在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射擊命中率都是，每次命中與否互相獨立.求：(1)直到第3次射擊汽油才流出的概率；(2)直到第3次射擊汽油罐才被引爆的概率；(3)汽油罐被引爆的概率.21．已知橢圓的左、右頂點分別為，，且，橢圓的一條以為中點的弦所在直線的方程為.(1)求橢圓的方程；(2)點為直線上一點，且不在軸上，直線，與橢圓的另外一個交點分別為M，N，設，的面積分別為，，求的最大值，并求出此時點的坐標.22．已知.(1)當時，求證：函數(shù)在上單調遞增；(2)若只有一個零點，求的取值范圍.參考答案與解析1．C【分析】先化簡集合，再根據(jù)集合交集定義即可求出答案．【詳解】由題意，或，或．故選：C．2．B【分析】利用復數(shù)的三角形式以及復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可求得的值.【詳解】解：由，得，所以，所以．故選：B.3．A【分析】根據(jù)題意，結合焦半徑公式得，再計算即可.【詳解】解：由題知拋物線的焦點為因為，所以因為點在上所以，由焦半徑公式得，解得所以，，.故選：A4．D【解析】利用抽樣比求解【詳解】設該樣本中獲得或等級的學生人數(shù)為，則故選：D【點睛】本題考查分層抽樣的定義與應用，考查計算能力，是基礎題5．B【分析】根據(jù)題意，得到，，代入得，進而可令，得到函數(shù)的對稱軸，然后可以得到答案.【詳解】因為最小正周期為，故恒成立，故，，代入得，所以，令，可得對稱軸為，故結合選項，函數(shù)圖象的對稱軸為，其它直線均不是函數(shù)圖象的對稱軸.故選：B6．A【分析】設的夾角為θ，θ∈，則cosθ∈[﹣1，0），||2=+2=2+2cosθ即可．【詳解】設的夾角為θ,θ∈,則cosθ∈[-1,0),||2=+2=2+2cosθ∈[0,2),故||的范圍為[0,).答案A【點睛】本題考查了向量模的取值范圍的求解，轉化為三角函數(shù)求最值，屬于基礎題．解決向量的小題常用方法有：數(shù)形結合，向量的三角形法則，平行四邊形法則等；建系將向量坐標化；向量基底化，選基底時一般選擇已知大小和方向的向量為基底．7．B【分析】根據(jù)不等式的性質和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】對于A，當，對數(shù)沒有意義，故選項A錯誤；對于B，因為，則，所以，故選項B正確；對于C，當時，，故選項C錯誤；對于D，因為冪函數(shù)在上單調遞增，只有當時，才有，故選項D錯誤故選：.8．B【分析】由列舉法可得答案．【詳解】由題知，表示“第一個數(shù)字是奇數(shù)且取到的兩數(shù)之和不大于5”分別有，，，，，共5種情況即，又，所以．故選：B.9．AD【分析】由已知得當時，，對于AC，當時，為上的減函數(shù)，則，代入解不等式得解；對于BD，當時，由對勾函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，判斷的單調性，求出最小值即可判斷.【詳解】由函數(shù)的最小值為0，當時，，即故當時，的值域為的子集，即對于AC，當時，為上的減函數(shù)又，則，即，故A正確，C錯誤；當時，對勾函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增對于B，當時，對勾函數(shù)在上單調遞增則函數(shù)在上單調遞減，由A知，，故B錯誤；對于D，當時，對勾函數(shù)在上單調遞減則函數(shù)在上單調遞增，又則，即，故D正確；故選：AD10．BD【分析】設，把指數(shù)式改寫為對數(shù)式，利用對數(shù)的運算法則判斷．【詳解】設，則，，所以．所以．故選：BD．11．ABC【分析】先由，，判斷出M、N分別落在以A、B為圓心的圓上，借助于幾何關系分析得到，當直線AB與兩圓的交點（△PF1F2所圍區(qū)域之外）分別為M、N時，|MN|最大，利用幾何關系可求|MN|范圍，即得.【詳解】設PF1、PF2的中點分別為A、B，則AB∥F1F2∵，∴，∴M、N分別落在以A、B為圓心的圓上，如圖：則直線AB與兩圓的交點（△PF1F2所圍區(qū)域之外）分別為M、N時，|MN|最大此時：=6∴.故選：ABC.12．ABD【分析】對于A，利用化簡可得答案；對于B，利用化簡可得答案；對于C，利用化簡可得答案；對于D，根據(jù)可得答案.【詳解】對于A，因為為等差數(shù)列，所以即，所以化簡得，所以，故A正確；對于B，因為為等差數(shù)列，所以所以所以，故B正確；對于C，因為為等差數(shù)列，所以所以化簡得，所以或，故C不正確；對于D，因為，且，所以所以所以所以也為等差數(shù)列，且公差為，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：利用等差數(shù)列的定義以及等差中項求解是解題關鍵.13．【分析】首先根據(jù)兩角和，差公式化簡，再根據(jù)的齊次分式化簡求值.【詳解】上下除以得.故答案為：-3【點睛】本題考查三角恒等變換，的齊次分式，屬于基礎題型，本題的關鍵是熟練掌握公式，并能靈活應用.14．【分析】根據(jù)兩雙曲線有相同的漸近線，可得到，再利用的離心率為2，可推得，從而利用雙曲線的離心率的平方可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為的漸近線方程為由題意可得，由的離心率為2得：，則所以設的離心率為，則故故答案為：15．【分析】將函數(shù)化為，,，討論，和時函數(shù)的單調性，運用單調性可得最大值，解方程即可得到所求值．【詳解】解：函數(shù)，即，,當時，不成立；當，即時，在,遞減，可得為最大值即，解得，成立；當，即時，在,遞增，可得為最大值即，解得，不成立；綜上可得．故答案為：.16．

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【解析】①根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求得的值.②求得的部分解析式，由此畫出和兩個函數(shù)圖象，根據(jù)兩個函數(shù)圖象有個交點，確定的取值范圍.【詳解】①.②當時，，所以.當時，，所以.當時，，所以.當時，，所以.畫出和兩個函數(shù)圖象如下圖所示，由，由.由圖可知，當兩個函數(shù)圖象有個交點，也即函數(shù)恰有個零點時，的取值范圍是故答案為：（1）；（2）【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)求函數(shù)值，考查分段函數(shù)解析式的求法，考查分段函數(shù)的圖象與性質，考查函數(shù)零點問題的求解策略，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.17．(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)設數(shù)列的公比為，由，可得，再由，可得，即可得數(shù)列的通項公式；(2)由題意可得，，從而可得，又由，即可得.【詳解】（1）解：設數(shù)列的公比為則因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列所以由得解得所以.（2）證明：由（1）知，..因為所以即.18．（1）不能選②，，或或；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算公式求得，根據(jù)其性質，可以判斷不可能選②，結合①③的條件，可以求得，得到函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)值以及角的范圍，確定出方程的解；（2）結合（1），求得，根據(jù)正弦定理以及題中條件，求得，根據(jù)平方關系求得，結合誘導公式以及三角形內(nèi)角和，求得的值.【詳解】（1）因為，所以.若滿足條件①：，所以，故.因為無法由的圖象經(jīng)過平移得到的圖象，因此不能選②.若滿足條件③：因為，所以，故，即.綜上，無論選條件①或③，所求.因為，所以.又，所以所以或或，即或或.所以方程在閉區(qū)間上的解為或或.（2）由（1）知所以，，即，.因為，所以，，.又，由正弦定理得整理得.因為，所以，所以.又，得所以.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AD的中點G，連接PG、BG、BD，由線線垂直證平面PGB，即可依次證，，平面DEF，平面平面（2）于G，建立空間直角坐標系如圖所示，由向量法求二面角即可.【詳解】（1）證明：取AD的中點G，連接PG、BG、BD由E，F(xiàn)分別是的中點得由是邊長為2的菱形，且得、為正三角形∴，，，∴，由得，又平面PGB，∴平面PGB∵平面PGB，∴，∴∵平面DEF，∴平面DEF∵平面PAD，∴平面平面.（2）作于G，交于H，∵平面PGB，則可建立空間直角坐標系如圖所示.在中，，由余弦定理得∴，，∴.故設平面、平面的法向量分別為，則有，令，則有故二面角的余弦值由圖可知，二面角所成平面角為鈍角，∴二面角的大小為.20．(1)；(2)；(3).【分析】（1）每次命中與否互相獨立，由題意知本題符合獨立重復試驗的條件，根據(jù)獨立重復試驗的公式求解概率；（2）每次命中與否互相獨立，由題意知本題符合獨立重復試驗的條件，根據(jù)獨立重復試驗的公式求解概率；（3）油罐被引爆的對立事件是油罐不被引爆，油罐不被引爆包括五發(fā)子彈都沒有擊中，五發(fā)子彈中只有一發(fā)擊中，兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)對立事件和互斥事件的概率公式得到結果.【詳解】（1）由已知，每次射擊命中率都是，且每次命中與否互相獨立設直到第3次射擊汽油才流出的事件為所以，直到第3次射擊汽油才流出的概率；（2）由已知，每次射擊命中率都是，且每次命中與否互相獨立設直到第3次射擊汽油罐才被引爆的事件為所以，直到第3次射擊汽油罐才被引爆的概率；（3）記“油罐被引爆”的事件為事件，其對立事件為，油罐不被引爆包括五發(fā)子彈都沒有擊中，五發(fā)子彈中只有一發(fā)擊中這兩種情況則根據(jù)對立事件的概率得到即油罐被引爆的概率為.21．(1)(2)，【分析】（1）由點差法得出，進而由得出橢圓的方程；（2）設，，，聯(lián)立直線（）與橢圓方程，求出，，再由面積公式結合相似三角形的性質得出，令，由二次函數(shù)的性質得出的最大值以及點的坐標.【詳解】（1）設，，則兩式相減得，所以，即即，∴又，所以，所以橢圓的方程為.（2）設，，則：，：聯(lián)立，消去得同理，聯(lián)立，消去得所以.令，則當且僅當，即，即時，取得最大值.綜上所述，當時，取得最大值.22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）當時，分別求、、，結合，可判斷恒成立，即可求證；（2）先證明為奇函數(shù)，，只需證明在上無零點，由（1）知，若可知符合題意，再討論，利用單調性以及零點存在性定理即可求解.【詳解】（1）當時，，，所以在上單調遞增，且所以當時，；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且所以，所以在上單調遞增；（2）因為所以為奇函數(shù)，要證明只有一個零點，只需證明在上無零