湖南省懷化市實(shí)驗(yàn)中學(xué)南雜店高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

湖南省懷化市實(shí)驗(yàn)中學(xué)南雜店高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的定義域是（

）

參考答案：C2.已知直線與直線平行且與圓：相切,則直線的方程是(

)A.

B.或C.

D.或參考答案：D3.已知，則為

(

）A．-2

B．-1

C．0

D．1參考答案：B4.

函數(shù)的圖象大致是(

）參考答案：C5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D,選D.6.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，對(duì)任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；（2）對(duì)任意，.則函數(shù)的最小值為（）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=25，則=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：∵（3+4i）z=25，z===3﹣4i．∴=3+4i．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．參考答案：9.已知集合A={（x,y）|-1≤x≤1.0≤y≤2},B={(x,y)|}.若在區(qū)域A中隨機(jī)的扔一顆豆子，則該豆子落在區(qū)域B中的概率為

A．

B．

C．1-

D．參考答案：C10.（5分）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）及拋物線y2=2x，若拋物線上點(diǎn)P滿足|PA|=m|PB|，則m的最大值為（）A．3B．2C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】：計(jì)算題；壓軸題．【分析】：由題意可得m2====1+≤3，可得m≤．解：設(shè)P（，y），由題意可得m2====1+≤1+=3，∴m≤，當(dāng)且僅當(dāng)y2=2時(shí)，等號(hào)成立，故選

C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，運(yùn)用基本不等式求出m2≤3，是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)________．參考答案：-1

12.已知向量a=(1，-2)，b=(x，y)，若x，y∈[1，4]，則滿足的概率為

．

參考答案：13.在中，,,，若在線段上任取一點(diǎn),則為銳角的概率是______參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型的概率公式的應(yīng)用.

K3

解析：當(dāng)∠BAD是直角時(shí)，BD=2，使為銳角的線段BD的取值范圍是（0,2），所以所求概率為.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)幾何概型的概率公式，只需求出使為銳角的線段BD的長(zhǎng)，此長(zhǎng)除以線段BC的長(zhǎng)度為所求.14.已知函數(shù)f（x）=，則f（6）=

．參考答案：1【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用分段函數(shù)以及抽象函數(shù)求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值的求法，抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．15.若雙曲線－=1的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：216.已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，則A∪B=．參考答案：R【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】集合．【分析】根據(jù)A與B，求出兩集合的并集即可．【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，∴A∪B=R．故答案為：R【點(diǎn)評(píng)】此題考查了并集及其運(yùn)算，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．17.體積為18的正三棱錐A﹣BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R：BC=2：3，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是

．參考答案：[8π，16π]【分析】利用體積公式，求出DB，R，進(jìn)而求出OE，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)BC=3a，R=2a，則O到平面DCB的距離為OO′=a，三棱錐的高為3a，∴=18，∴a=2，∴DB=6，R=4．由余弦定理可得O′E==2，∴OE=2，與OE垂直的截面圓的半徑為=2，面積為π?8=8π，以O(shè)E所在直徑為圓的直徑的圓面積為π?16=16π，故答案為：[8π，16π]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查圓的面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，，分別為的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：平面平面．（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．參考答案：．證明：（Ⅰ）∵四邊形是菱形，∴．在中，，，

∴．∴，即．又，

∴．...............................................2分∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，.............................................................4分又∵平面，

∴平面平面．

........................................6分（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，∴平面平面

...................................................................6分∵平面，∴．由（Ⅰ）知，又∴平面，又平面，∴平面平面．∴平面是平面與平面的公垂面．..........................................8分所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．..........................9分在中，，即．....................10分又，∴．所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．.........................12分

理（Ⅱ）解法二：以為原點(diǎn)，、分別為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，，所以，、、、，則，，．...............7分由（Ⅰ）知平面，故平面的一個(gè)法向量為．.....................................8分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

，即，令，則．

..........................................10分∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．................12分19.已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為F，圓C：x2+y2﹣2ax+a2﹣4=0，直線l與拋物線E交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與圓C切于點(diǎn)P．（1）當(dāng)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時(shí)，求直線l及圓C的方程；（2）當(dāng)a=2時(shí)，證明：|FA|+|FB|﹣|AB|是定值，并求出該定值．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）將P代入圓方程，即可求得a的值，求得圓心，根據(jù)直線的斜率公式求得CP的斜率k，則直線l的方程斜率為﹣，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得l的方程；（2）將當(dāng)l垂直與x軸時(shí)，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的斜率公式，即可求得|FA|+|FB|﹣|AB|的值；當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由直線l與圓C相切，求得4kb+b2=4，將直線l代入拋物線方程．利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得|AB|，利用拋物線的定義，丨FA丨+丨FB丨=x1+x2+p，即可求得|FA|+|FB|﹣|AB|是定值．【解答】解：（1）由圓（x﹣a）2+y2=4，則圓心（a，0），半徑為2，將P（，）代入圓方程，解得：a=2，或a=﹣，∴圓的方程（x﹣2）2+y2=4，或（x+）2+y2=4，當(dāng)a=2，圓心C（2，0）則直線CP的斜率k==﹣，由直線l的斜率為﹣=，則直線l的方程y﹣=（x﹣），整理得：4y﹣3x﹣4=0；當(dāng)a=﹣圓心C（﹣，0）則直線CP的斜率k==，由直線l的斜率為﹣=﹣，則直線l的方程y﹣=﹣（x﹣），整理得：20y+15x﹣44=0，綜上可知：直線l方程：4y﹣3x﹣4=0，圓C的方程（x﹣2）2+y2=4或直線l方程：20y+15x﹣44=0，圓C的方程（x+）2+y2=4；（2）當(dāng)a=2時(shí)，圓C的方程（x﹣2）2+y2=4，當(dāng)l垂直與x軸時(shí)，則x=4，A（4，4），B（4，﹣4），∴丨FA丨=丨FB丨=5，丨AB丨=8，∴|FA|+|FB|﹣|AB|=2；當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0），直線l與圓C相切，則=2，則4kb+b2=4，∴b≠0，kb＜0，則，整理得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=﹣16kb+4（4kb+b2）=4b2＞0，由x1+x2=﹣，x1x2=，丨AB丨=?=?=?，=?，=，=，=，由拋物線的性質(zhì)可知：丨FA丨+丨FB丨=x1+x2+p=x1+x2+2，∴|FA|+|FB|=﹣+2，∴|FA|+|FB|﹣|AB|=﹣+2﹣=2，∴|FA|+|FB|﹣|AB|是定值，定值為2．20.數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等差數(shù)列滿足.(1)分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：(1)由an＋1＝2Sn＋1①得an＝2Sn－1＋1(n≥2)②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝3an，∴an＝3n－1；b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3＋(n－3)×3＝3n－6.(2)Sn＝＝＝，∴k≥3n－6對(duì)n∈N*恒成立，即k≥對(duì)任意n∈N*恒成立，令cn＝，cn－cn－1＝－＝，當(dāng)n≤3時(shí)，cn>cn－1，當(dāng)n≥4時(shí)，cn<cn－1，∴(cn)max＝c3＝，k≥.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，

求直線的方程。參考答案：解（I）由已知得，解得

∴∴所求橢圓的方程為

.

…4分（II）由（I）得、①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、，

∴，這與已知相矛盾。②若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得∴

，∴

，

…7分

又∵∴

∴

化簡(jiǎn)得解得∴

∴

所求直線的方程為

.

…12分22.已知，函數(shù)f（x）=．（1）如果x≥0時(shí)，f（x）≤恒成立，求m的取值范圍；（2）當(dāng)a≤2時(shí)，求證：f（x）ln（2x+a）＜x+1．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)條件化簡(jiǎn)f（x）≤得＞0，轉(zhuǎn)化為，令（x≥0）利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，即可確定m的取值范圍；（2）利用分析法，要證f（x）ln（2x+a）＜x+1可轉(zhuǎn)化為證，由a≤2得只需證h（t）=et﹣ln（t+2）＞0，（t=2x＞﹣2）即可，利用導(dǎo)數(shù)求出h（t）的最小值大于0即可得證．【解答】解：（1）∵x≥0，，∴＞0，∴．令（x≥0），∵，∴g（x）遞減，∴g（x）max=g（0）=