2023學(xué)年完整公開課版勾股定理2

bac勾股定理的證明(一)bacbacbac大正方形的面積可以表示為；也可以表示為。(a+b)2所以bac合作交流，解讀探究：

bacbacbacacbbac勾股定理的證明(二)2ab+（b-a）2=c2

即2ab+b2-2ab+a2=c2

∴a2+b2=c2

合作交流，解讀探究：

大正方形的面積可以表示為

；也可以表示為

。美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話

人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

有趣的總統(tǒng)證法伽菲爾德證法合作交流解讀探究例1

小丁的媽媽買了一臺(tái)顯示器為22英寸（56厘米）的液晶電腦。小丁量了顯示器的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有49厘米長和27厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了。你能解釋這是為什么嗎？∴售貨員沒搞錯(cuò)熒屏對(duì)角線大約為56厘米解：∵492+272=3130562=313631303136≈

我們通常所說的22英寸或56厘米的電腦顯示器或電視機(jī)，是指其屏幕對(duì)角線的長度應(yīng)用遷移，鞏固提高

例2

如圖所示，為了求出湖兩岸的A、B兩點(diǎn)間的距離，一個(gè)觀測(cè)者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為直角三角形．通過測(cè)量，得到AC的長為140米，BC長為112米．問從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？

答：從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)B有84米。解：在直角三角形ABC中，AC=140米，BC=112米，根據(jù)勾股定理可得應(yīng)用遷移，鞏固提高

140米112米BACDEFGH現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用：1、如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊形ABCD的面積與周長.

2、小明發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米抻直后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他們把旗桿的高度和繩子的長度計(jì)算出來嗎？

ABC５xx+1現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用：1這節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？3、你還有什么疑惑或沒有弄懂的地方？2運(yùn)用“勾股定理”應(yīng)注意什么問題？小結(jié)4.如圖，CD是Rt⊿ABC斜邊上的高，若AB=，AC:BC=4:1,求CD的長。補(bǔ)充練習(xí)CADB3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,求CD的長。(第3、4題）1.已知等邊三角形的邊長為2cm，求等邊三角形的面積。2.在⊿ABC中，∠C=90°，

AB=12cm,AC=BC，求BC的長。5.一個(gè)等腰三角形的周長為14cm，一邊長為4cm，求底邊上的高。8.直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，求此三角形的面積。

7.等腰三角形腰和底邊的比是3：2，若底邊為6，求一腰上的高。6.一直角三角形的斜邊長比一直角邊大2，另一直角邊長為6，求斜邊長。作業(yè)1、課本第55頁4、5題。2、閱讀課本55頁的閱讀材料3、（選做題）《九章算術(shù)》勾股章第6題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長幾何？（本題的意思是：有一水池一丈見方，池中生有一棵類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊嬉怀?，如把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多長？）再見！X直角三角形的判定古埃及人曾用下面的方法得到直角按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。1、了解勾股定理的逆定理與勾股定理的互逆性。2、會(huì)通過三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷它是否為直角三角形。學(xué)習(xí)目標(biāo)：自學(xué)指導(dǎo)：1、按要求作出53頁的三角形，并觀察是什么三角形。2、閱讀教材53-54頁，理解勾股定理的逆定理。動(dòng)手畫一畫

下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長a，b，c：3，4，4；2，3，4；3，4，5（1）這三組數(shù)都滿足嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形。a2+b2=c2互為逆定理勾股定理的逆定理設(shè)AB是△ABC中三邊中最長邊，則有：

AC2+BC2<AB2→∠ACB為鈍角AC2+BC2=AB2→∠ACB為直角AC2+BC2>AB2→∠ACB為銳角BACABCABC例1設(shè)三角形三邊長分別為下列各組數(shù),試判斷各三角形是否是直角三角形:(1)7,24,25(2)12,35,37(3)13,11,9例題解析分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。

解:因?yàn)樗愿鶕?jù)前面的判定方法可知,以(1)、(2)兩組數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，而以組(3)的數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形。

下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;是不是是∠A=900∠B=900(3)a=1b=2c=_________;

像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).小試牛刀1、請(qǐng)你寫出三組勾股數(shù)；2、一組勾股數(shù)的整數(shù)倍一定是勾股數(shù)嗎？為什么？挑戰(zhàn)自我例2設(shè)三角形⊿ABC分別滿足下列條件,試判斷各三角形是否是直角三角形:例題解析提示：三角形的內(nèi)角和等于1800BA、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形練一練ABCD13ABCD34512例3一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？例題解析

思考:此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少?解釋“古埃及人畫直角”的理論根據(jù).準(zhǔn)備好了嗎?練一練ACB解：如圖，設(shè)每兩個(gè)結(jié)的距離為a（a>0），則AC=3a，BC=4a，AB=5a.本節(jié)課你有什么收獲?1.教科書54頁，習(xí)題14.1第6題

2.（選做題）已知△ABC的三邊分別為a,b,c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m>n,m、n是正整數(shù))，△ABC是直角三角形嗎？說明理由。作業(yè)：提示：先來判斷a,b,c三邊哪條最長，可以代m,n為滿足條件的特殊值來試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大。再見！勾股定理的應(yīng)用（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用勾股定理和勾股定理逆定理解決簡單的實(shí)際問題；在學(xué)習(xí)的過程中注意理論與實(shí)際問題的聯(lián)系；通過學(xué)習(xí)提高同學(xué)們的空間想象能力.AB一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.(精確到0.01cm)

CD了解下面題目，再自學(xué)課本

第57頁例1；重點(diǎn)了解怎樣利用課本

知識(shí)解決實(shí)際問題.我怎么走會(huì)最近呢?例1如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.(精確到0.01cm)ABCD我怎么走會(huì)最近呢?分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開（如圖），得到矩形ＡＢＣD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形對(duì)角線AC之長．解如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的一半＝１０cm，∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）答：最短路程約為１０．７７cm．ACBD拓展1

如果圓柱換成如圖的棱長為10cm的正方體盒子，螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？ABAB101010BCA拓展2

如果盒子換成如圖長為3cm，寬為2cm，高為1cm的長方體，螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB分析：螞蟻由A爬到B過程中較短的路線有多少種情況？(1)經(jīng)過前面和上底面;(2)經(jīng)過前面和右面;(3)經(jīng)過左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA(1)當(dāng)螞蟻經(jīng)過前面和上底面時(shí)，如圖，最短路程為解:AB23AB1CAB＝＝＝(2)當(dāng)螞蟻經(jīng)過前面和右面時(shí)，如圖，最短路程為AB321BCAAB＝＝＝(3)當(dāng)螞蟻經(jīng)過左面和上底面時(shí)，如圖，最短路程為ABAB＝＝＝321BCA例2一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?說明理由。

ABMNOC┏DH2米2.3米分析：由于廠門寬度足夠,所以卡車能否通過,只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH．如圖所示,點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處,且CD⊥AB,與地面交于H．解：CD＝CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門．在Rt△OCD中，由勾股定理得＝＝0.6米，練習(xí)1.如圖,從電桿離地面5米處向地面拉一條長7米的鋼纜，求地面鋼纜固定點(diǎn)A到電桿底部B的距離.C解：如圖，在Rt△ＡＢＣ中，AC=7米，BC=5米，

答：地面鋼纜固定點(diǎn)A到電桿底部B的距離是米.（米）由勾股定理，得練習(xí)2.如圖所示，校園內(nèi)有兩棵樹相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛

米.13米12米8米ABC132.

在運(yùn)用勾股定理時(shí)，我們必須首先明確哪兩條邊是直角邊，哪一條是斜邊.3.

數(shù)學(xué)來源與生活，同時(shí)又服務(wù)于我們的生活.數(shù)學(xué)就在我們的身邊，我們要能夠?qū)W以致用.

1.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題,關(guān)鍵在于“找”到合適的直角三角形.

小結(jié)

作業(yè)

1.必做題：課本P60習(xí)題14.2第1、3題.

2.選做題:在一棵樹的10米高處B有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘A，另一只猴子爬到樹頂D后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過距離相等，試問這棵樹有多高？.DBCA再見！勾股定理的應(yīng)用（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)：能熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題；通過學(xué)習(xí)提高同學(xué)們的邏輯推理能力.自學(xué)指導(dǎo)：

閱讀教材59頁，注意理解例題中的邏輯推理過程。例1如右圖，已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°，BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求圖中陰影部分的面積．解：在Rt△ADC中，

∴△ACB為直角三角形（如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是