演示文稿一階線性微分方程及其解法

演示文稿一階線性微分方程及其解法當(dāng)前第1頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)（優(yōu)選）一階線性微分方程及其解法當(dāng)前第2頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)可以驗(yàn)證:(1.4)式為微分方程(1)的(隱式)通解.注:

若題目只需求通解，則不必討論當(dāng)前第3頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例1求微分方程解分離變量兩端積分C當(dāng)前第4頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例2求微分方程解分離變量兩端積分C注意到:當(dāng)C=0時(shí)即y=0也是方程的解當(dāng)前第5頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)應(yīng)用:衰變問題:放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量不斷減少,由物理學(xué)知識(shí),鈾的衰變速度與未衰變的原子的含量M成正比,已知t=0時(shí),鈾的含量為M0,求衰變過程中鈾含量M(t)隨t的變化規(guī)律解變量分離兩端積分即又故故,衰變規(guī)律為當(dāng)前第6頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)練習(xí)12.1第3題,增加一個(gè)條件:曲線過(2,3)點(diǎn),求曲線方程變量分離兩端積分即又當(dāng)前第7頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)練習(xí):12.2第3題兩邊求導(dǎo)得:變量分離注意:這里隱藏一個(gè)初始條件當(dāng)前第8頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為例6變量代換是解方程的一種常用的手段當(dāng)前第9頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)當(dāng)前第10頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)二、齊次方程形如的一階微分方程稱為齊次方程或當(dāng)前第11頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)解法：

針對(duì)齊次方程，作變量代換即

，則將其代入原式，得：，即這是一個(gè)關(guān)于變量u與x的可分離變量的方程；然后，利用分離變量法求得當(dāng)前第12頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例1

求方程的通解解原方程化為,即這是齊次方程，令,即故代入得：當(dāng)前第13頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)進(jìn)行分離變量整理，并兩邊積分，故所求通解為：這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，得：書上還有一個(gè)例子，自己可以練習(xí)練習(xí)當(dāng)前第14頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)求微分方程，滿足初始條件

的特解

解：方程可化為：

它是齊次方程。令代入整理后，有分離變量，則有

兩邊積分，得

即

代入上式，于是所求方程的通解為

把初始條件代入上式，求出，故所求方程的特解為

當(dāng)前第15頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例3

求方程的通解解：這是一個(gè)齊次方程。先將方程變形為令

,即

，故

當(dāng)前第16頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)代入得：這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，分離變量，并兩邊積分，得：故所以，原方程通解為：當(dāng)前第17頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)五、小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容是：1．齊次方程2．齊次方程的解法：關(guān)鍵是令，從而原方程轉(zhuǎn)化為可分離變量方程去求解；，則，代入原方程后，或當(dāng)前第18頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)判下列微分方程是否為一階線性微分方程：一、一階線性微分方程及其解法例1在微分方程中，若未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱其為一階線性微分方程。1.一階線性微分方程的定義（是）（是）當(dāng)前第19頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)2.一階線性微分方程的一般式3.一階線性微分方程的分類

當(dāng)時(shí)，方程（1）稱為一階線性齊次微分方程。

當(dāng)時(shí)，方程（1）稱為一階線性非齊次微分方程。或當(dāng)前第20頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)齊次線性方程的通解為：1o齊次線性方程：求解法:分離變量：1.常數(shù)變易法當(dāng)前第21頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)2o非齊次線性方程：作變換可分離變量方程當(dāng)前第22頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)積分得一階非齊次線性微分方程(2.1)的通解為:2.常數(shù)變易公式當(dāng)前第23頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)（2）一階線性非齊次微分方程常數(shù)變易法1）一般式2）解法3）通解公式齊次的通解非齊次的特解當(dāng)前第24頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)關(guān)于通解公式要注意：只表示某一個(gè)函數(shù)若時(shí)，絕對(duì)值符號(hào)可不寫即特別注意：

而是當(dāng)前第25頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例1、求微分方程的通解.解法1（常數(shù)變易法）原方程變形為:

對(duì)應(yīng)的齊次方程為：得通解為設(shè)原方程的解為

從而代入原方程得當(dāng)前第26頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)化簡得

兩邊積分，得

所以，原方程的通解

解法2（用公式法）把它們代入公式得當(dāng)前第27頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)解例2則通解為

當(dāng)前第28頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)解練習(xí)則通解為

原方程變形為其中當(dāng)前第29頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)解(不)例4通解：當(dāng)前第30頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)因此方程滿足初始條件的特解為(講)求以下方程在下的特解原方程可化為：原方程通解為：或當(dāng)前第31頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)求方程通解：若化為：則不是一階線性的而化為：則是一階線性的再見書上習(xí)題當(dāng)前第32頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)解例9當(dāng)前第33頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)(方法1)一階非齊次線性方程當(dāng)前第34頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)選擇題考點(diǎn)（間斷點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)體體積，求平面圖形面積，全微分，偏導(dǎo)數(shù)的幾意義，二重積分幾何意義，交換積分次序）大題考點(diǎn)1、求極限2、隱函數(shù)求導(dǎo)（一個(gè)方程和方程組情形）3、抽象函數(shù)求導(dǎo)4、求極值5、直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分6、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（或是化為極坐標(biāo)）7、解齊次方程（令U=。。，轉(zhuǎn)化為U和X的方程）8、解一階線性方程（用公式或常數(shù)變易法）9、討論函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性當(dāng)前第35頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選為積分變量例畫草圖如右當(dāng)前第36頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)xyo當(dāng)前第37頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)注：，即動(dòng)點(diǎn)P以任意方式即沿任意曲線趨向定點(diǎn)P0時(shí)，都有f(P)A求二重極限方法類似一元函數(shù)的一些方法：等價(jià)無窮小替換；重要極限公式；無窮小的性質(zhì)；（恒等變形；利用連續(xù)性；夾逼準(zhǔn)則；換元；利用公式和運(yùn)算法則）等價(jià)無窮小替換；當(dāng)前第38頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)對(duì)于多元函數(shù)的極限要求不高，只要求會(huì)求些較簡單的二重極限注意：在多元函數(shù)中，洛必達(dá)法則不再適用，但如果通過換元后的一元函數(shù)照樣可用例求或用重要公式原式當(dāng)前第39頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例求無窮小的性質(zhì)當(dāng)前第40頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)設(shè)確定兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：再對(duì)上式對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：（按商的求導(dǎo)公式）對(duì)于一階偏導(dǎo)數(shù)，還可用公式法當(dāng)前第41頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)當(dāng)前第42頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例1討論(1)連續(xù)；(2)偏導(dǎo)數(shù)存在；(3)可微.解(1)=0=f(0,0)當(dāng)前第43頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)(2)當(dāng)前第44頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)(3)？則rrwrr22)(0)(0limlimyxxyxyxy+==?=?當(dāng)前第45頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)當(dāng)前第46頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例2當(dāng)前第47頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)證令則同理故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù);當(dāng)前第48頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)下面證明：可微.令則注此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.而非必要條件.當(dāng)前第49頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)前第50頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)前第51頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)重復(fù)是學(xué)習(xí)之母——弗萊格

世界上最快而又最慢，最長而又最短，最平凡而又最珍貴，最容易被人忽視，而又最令人后悔的就是時(shí)間－－－－高爾基

謝謝大家對(duì)我的支持?。∽４蠹铱荚嚾〉煤贸煽?！當(dāng)前第52頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)因此方程滿足初始條件的特解為二、一階線性微分方程的應(yīng)用

1.分析問題,設(shè)出所求未知函數(shù),確定初始條件。2.建立微分方程。3.確定方程類型,求其通解.4.代入初始條件求特解.應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題的步驟:當(dāng)前第53頁\共有56頁\編于星期二\9點(diǎn)例5