平面與平面平行

8.5.3

平面與平面平行第八章立體幾何初步問題1

兩個平面平行可以通過定義來判斷，即通過兩個平面沒有公共點而得到兩個平面平行．由于平面的無限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點，因此很難直接利用定義判斷．數(shù)學中的“定義”都是充要條件，類似于研究直線與平面平行的判定那樣，平面與平面平行的判定，是否有更簡便的方法？一、探究兩個平面平行的判定定理問題2

平面內的直線有無數(shù)多條，我們難以對所有直線逐一檢驗，能否將“一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面”中的“任意一條直線”減少，得到更簡便的方法？一、探究兩個平面平行的判定定理追問1

減少到一條可以嗎？為什么？在如圖所示的長方體中，A1B1在平面A1B1BA內，A1B1//平面ABCD，但平面A1B1BA與平面ABCD相交．追問2

根據(jù)基本事實的推論2，3，兩條平行直線或兩條相交直線都可以確定一個平面．由此可以想到，由“一個平面內的兩條平行直線與另一個平面平行”和“一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行”，能否判斷這兩個平面平行？用語言和符號表示你的結論．一、探究兩個平面平行的判定定理觀察—探究如圖（1），a，b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行．請觀察硬紙片與桌面一定平行嗎？如圖（2），c，d分別是三角尺的兩條邊所在直線，它們都和桌面平行，請觀察這個三角尺與桌面平行嗎？你能從中總結出判定平面與平面平行的方法嗎？GGB動畫素材演示一、探究兩個平面平行的判定定理平面與平面平行的判定定理一、探究兩個平面平行的判定定理圖形表示：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．αabPβ符號表示：線面平行面面平行轉化，a∥α，b∥α

β∥α．

為什么不能用“一個平面內的兩條平行直線平行于另一個平面”判斷兩個平面平行，而可以用“一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面”判斷兩個平面平行？聯(lián)想平面向量基本定理，你能對面面平行判定定理做出進一步解釋嗎？

平面內的兩條相交直線代表兩個不共線向量，而平面內的任意向量可以表示為它們的線性組合，從而平面內的兩條相交直線可以“代表”這個平面上的任意一條直線；而兩條平行直線所表示的向量是共線的，用它們不能“表示”這個平面上的任意一條直線．平面與平面平行的判定定理的深入理解一、探究兩個平面平行的判定定理問題3

在實際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說明這么做的道理嗎？二、應用定理，熟練掌握例1

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．

二、應用定理，熟練掌握看到要證明的結論，你能想到用什么方法？平面AB1D1和平面BC1D哪個平面中的兩條相交直線平行另一個平面？又怎樣證明一條直線平行于一個平面呢？二、應用定理，熟練掌握例1

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．

證明：因為ABCD-A1B1C1D1為正方體，∴．∴．∴四邊形D1C1BA為平行四邊形．∴D1A∥C1B．又

D1A平面BC1D，C1B平面BC1D，∴D1A∥平面BC1D．同理D1B1∥平面BC1D．又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．

問題4

下面我們研究平面與平面平行的性質．類比直線與平面平行的研究，已知兩個平面平行，我們可以得到哪些結論？三、探究并證明兩個平面平行的性質定理如果兩個平面平行，那么：（1）一個平面內的直線必平行另一個平面；（2）一個平面內的直線與另一個平面內的直線沒有公共點，它們或者是異面直線，或者是平行直線．在分別位于兩個平行平面內的直線中，平行是一種特殊情況，什么時候這兩條直線平行呢？三、探究并證明兩個平面平行的性質定理在如圖所示的長方體中，平面A′C′與平面AC平行，在平面AC內過點D有平行于直線B′D′的直線嗎？如果有，怎樣畫出這條直線？由直線B′D′和點D可以確定一個平面，這個平面也是平行直線DD′和BB′確定的平面，它與平面AC有唯一過點D的公共直線BD，直線BD與直線B′D′都在直線B′D′和點D確定平面內，且沒有公共點，所以BD∥B′D′．圖形表示：兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．符號表示：面面平行線性平行轉化你能證明該性質定理嗎？三、探究并證明兩個平面平行的性質定理平面與平面平行的判定定理α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b．

例2

求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．四、應用定理，熟練掌握如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．在本題條件下，要證明AB＝CD，你想到了什么？構造平行四邊形．AB與CD是一個平行四邊形的一組對邊，那么另一組對邊怎么構造呢？題目的條件如何使用？過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD．例2

求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．四、應用定理，熟練掌握如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD．∵α∥β，

∴BD∥AC．又AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB＝CD．五、鞏固練習1．在描述箭頭的括號處填上適當?shù)脑~．2．教科書第142頁練習第1，2，3題．（1）平面與平面平行的判定定理和性質定理分別是什么？利用它們分別可以證明什么樣的命題？（2）在平面與平面平行的判定定理的探究中，為什么可以將“一個平面內任意一條直線平行于另一個平面，則兩個平面平行”，轉化為“一個平面內兩條相交直線平行于另一個平面，則兩個平面平行”？（3）回顧直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行的學習，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？六、歸納小結教科書第143頁練習第4題．教科書習題8.5第8題．七、布置作業(yè)目標檢測1．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)，R分別是棱PA，PB，PC，AB上的點，且平面DEF∥平面A