一元三次方程

一元三次方程數(shù)學(xué)術(shù)語01配方法三次重根式的化簡求根公式的推導(dǎo)解只含有一次項的三次方程求根公式有三個實根的三次方程目錄030502040607求根公式的檢驗未知數(shù)與常數(shù)互易法Excel求解三次方程目錄0908基本信息一元三次方程（英文：cubicequationwithoneunknown）是只含有1個未知數(shù)（即“元”），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為3次的整式方程。一元三次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）。一元三次方程的公式解法為卡爾丹公式法。配方法配方法與換元法的等價性不能用配方法直接求解的三次方程可用配方法直接求解的三次方程配方法配方法與換元法的等價性對于一元n次方程，配方法和換元法是等價的。

在一元二次方程中，用x=y-b/2a換元能消去方程中的一次項，只剩下二次項和常數(shù)項，所以配方法能解所有的一元二次方程。但在一元三次方程中，用x=y-b/3a換元不一定能同時消去二次項和一次項，只留下三次項和常數(shù)項，所以配方法只能直接求解一部分一元三次方程?？捎门浞椒ㄖ苯忧蠼獾娜畏匠虧M足下面形式的方程可以直接通過配立方來求解兩邊除以a，把常數(shù)項移到右邊，然后再在兩邊加上，可以配成，方程的解為。開立方可以開出三個根出來，所以x也有三個解。這類方程用x=y-b/3a換元，可同時消去二次項和一次項，即不能用配方法直接求解的三次方程對于不能用配方法直接求解的一元三次方程，配方法只能消去方程的二次項。配方是根據(jù)三次項系數(shù)和二次項系數(shù)來配的。例如x3+6x2+x=10這個方程，三次項和二次項的系數(shù)分別為1和6，對應(yīng)的完全立方式的一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為12和8，所以在方程兩邊加上11x+8，得到x3+6x2+12x+8=11x+18即(x+2)3=11x+18右邊的11x+18可以表示成11x+22-4=11(x+2)-4(x+2)3=11(x+2)-4這和二次方程很不一樣。二次方程配方后只有左邊有x，可以兩邊開平方求解。三次方程配方后，方程的兩邊都有x，所以無法直接開立方求解，我們必須要尋找新方法解出x+2的值才行（這個所謂的新方法就是卡丹公式法）。解只含有一次項的三次方程解只含有一次項的三次方程一般的一元三次方程通過配方法轉(zhuǎn)換后，或通過代換后，可消去二次項，得到，所以解三次方程的關(guān)鍵是解只含有一次項的方程。含有二次項但不含有一次項的一元三次方程，經(jīng)過代換后可以消掉二次項，但是卻會冒出一次項出來。對于方程，代換后得到的是。因為b≠0，所以一定會有一次項冒出來。下面我們通過解一個具體的方程來說明只帶一次項的一元三次方程的解法。

解方程：首先，我們令x=u+v，其中u和v是任取的，把這個式子代入方程，我們得到展開(u+v)3，得提取3u2v+3uv2的公因式3uv，得合并同類項，得由于u和v可以任取，只要滿足u+v=x就行。如果我們?nèi)?uv+6=0，那么就可以將式子化簡為u3+v3-20=0，于是得到方程組三次重根式的化簡三次重根式的化簡在已知的情況下，可以利用一元二次方程將化簡為的形式。例如，在解三次方程的過程中，我們會遇到下面這個式子強行開平方、開立方后計算出來，這個式子的值大約為5。用計算器分別計算兩個三次根式的值，算到小數(shù)點后29位，可以發(fā)現(xiàn)小數(shù)部分是一模一樣的（就算不一樣，也僅僅是最后一位或兩位）。所以我們可以直接肯定，這兩個根式的和就是5。+8.-3.通過平方差公式，可以求出這兩個三次重根式的乘積這可以組成一個二元二次方程組其中u和v是待化簡的三次重根式用代入消元法消去v，得到關(guān)于u的一元二次方程求根公式一般的特殊的求根公式特殊的一元三次方程都可化為。它的解是：其中。根與系數(shù)的關(guān)系為。判別式為。當(dāng)時，有一個實根和兩個復(fù)根；時，有三個實根，當(dāng)時，為三重零根，時，三個實根中有兩個相等；時，有三個不等實根。三個根的三角函數(shù)表達(dá)式（僅當(dāng)時）為其中。一般的一般的一元三次方程的形式為其中a≠0，這個方程的根為其中ω為1的其中一個立方根，是模長為1，輻角為120°的虛數(shù)三個根與系數(shù)的關(guān)系為判別式為標(biāo)準(zhǔn)型方程中卡爾丹公式的一個實根當(dāng)△大于0時，有一個實根和兩個共軛虛根。當(dāng)△=0時，有三個實根。若p=q=0，三個實根都相等；否則三個實根中有兩個相等。當(dāng)△小于0時，有三個不相等的實根。求根公式的推導(dǎo)卡爾丹諾法韋達(dá)代換法推導(dǎo)過程中產(chǎn)生的增根判別式求根公式的推導(dǎo)卡爾丹諾法卡爾丹諾法的基本思想是：將x分解為u和v的和（即x=u+v），使一元方程先變?yōu)槎匠獭Ｈ缓笤偬砑右粋€關(guān)于u和v的方程，形成二元方程組。這個方程組經(jīng)過消元后會變成一元二次方程，解這個方程可求出u和v，u和v相加便得到了x。首先，令x=u+v，代入方程，得到(u+v)3+p(u+v)+q=0展開立方項，得u3+v3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0方程有兩個未知數(shù)，卻只有一個方程，沒有辦法解。需要添加一個方程，形成方程組之后才能解。我們可以添加下面這個方程3uv+p=0添加這個方程后，就會使原來方程中的(3uv+p)(u+v)這一項變?yōu)?，從而變得更加簡單，并形成方程組韋達(dá)代換法在上面的推導(dǎo)過程中，新添加的方程是3uv+p=0，即u和v之間的關(guān)系是v=-p/3u，所以x=u+v=u-p/3u。我們只需要令x=u-p/3u就可以將缺二次項的一元三次方程降次為一元二次方程，這個代換叫做韋達(dá)代換。代換后得到的方程為兩邊同乘u3，得令M=u3，這個方程和之前卡丹公式法的二次方程是一模一樣的，只是符號剛好相反。由于沒有v的存在，最終得到的求根公式稍微有些復(fù)雜但實際上，根據(jù)平方差公式所以由韋達(dá)代換得到的公式和卡丹公式是等價的。推導(dǎo)過程中產(chǎn)生的增根任何正實數(shù)都有兩個平方根，一個為正，另一個為負(fù)，正的稱為算術(shù)平方根。例如4的平方根是2和-2，其中2是算術(shù)平方根。我們將算術(shù)平方根的概念推廣到復(fù)數(shù)，-9的平方根為3i和-3i，其中3i是算術(shù)平方根。對于3+4i這個數(shù)，模長為5，輻角約為53.13°，兩個平方根為2+i和-2-i，模長都是√5，輻角大約為26.565°和-153.435°。由于2+i的輻角是3+4i輻角的一半，所以2+i是3+4i的算術(shù)平方根。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，任何非零數(shù)都有三個立方根。而三次根號開方結(jié)果僅為其中的一個立方根，這個立方根叫做算術(shù)立方根。在求根公式中有兩個三次根號，每個三次根號都能開出三個立方根，總共組合起來有9個根。但實際上，9個根里面只有3個根是原三次方程的根。其余6個根都是增根，不是原三次方程的根。上面的推導(dǎo)過程中已經(jīng)提到，這6個增根是在uv=-p/3兩邊立方變?yōu)閡3v3=-p3/27的過程中產(chǎn)生的。我們先看1有哪些立方根。求1的立方根，其實就是求方程x3-1=0的三根。方程可根據(jù)立方差公式，因式分解為(x-1)(x2+x+1)=0，得到x1=1，x2,3=(-1±√3i)/2，通常將x2=(-1+√3i)/2記為ω。于是1的三個立方根可記為x1=ωo=1，x2=ω1，x3=ω2，其中x1=1是1的算術(shù)立方根：3√1=1。類似數(shù)a的全部平方根為±√a的表示方法，數(shù)a的全部立方根可表示為。判別式二次根號下的式子就是一元三次方程的判別式M的±取正號，N取負(fù)號。將x1表示為u+v，把虛數(shù)ω的值代入公式后，x2為x3=ω2u+ωv，其實就是把x2里面的u和v換了下位置，u+v和v+u相等，u-v和v-u互為相反數(shù)，即u-v=-(v-u)所以，x2和x3可表示為當(dāng)△大于0時，△開平方后是正數(shù)，u和v是不相等的實數(shù)，于是x1是實數(shù)。由于u-v≠0，所以x2和x3為共軛虛數(shù)。當(dāng)△=0時，△開平方為0，u和v相等，u-v=0，于是三個根都是實數(shù)。x1=2u；x2和x3相等，都等于-u。特別地，當(dāng)q=0時（因△=0此時p也等于0），u=0，為三重零根。當(dāng)△小于0時，△開平方為純虛數(shù)，M和N為共軛虛數(shù)。共軛虛數(shù)的輻角互為相反數(shù)，開n次方后輻角除以n，仍然為相反數(shù)，所以共軛虛數(shù)開任意次方結(jié)果仍是共軛虛數(shù)。因此M和N開立方后的u和v也是共軛虛數(shù)，且u≠v。根據(jù)共軛虛數(shù)的性質(zhì)，共軛虛數(shù)的和為實數(shù)（即(a+bi)+(a-bi)=2a），所以x1為實數(shù)。共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù)（即(a+bi)-(a-bi)=2bi），而純虛數(shù)與i相乘一定為實數(shù)，因此(u-v)i為實數(shù)，x2和x3都是實數(shù)，方程有三個不相等的實根。有三個實根的三次方程有三個實根的三次方程當(dāng)判別式△小于0時，三次方程的三個根都是實數(shù)根。此時求根公式中的二次根號下是負(fù)數(shù)，開平方后是虛數(shù)，所以這類方程需要用到虛數(shù)才能求解。比如，解方程：x3+3x2-12x-18=0。其中a=1,b=3,c=-12,d=-18。先算出p和q：p=(3ac-b2)/3a2=-15，q=(27a2d-9abc+2b3)/27a3=-4所以-121開平方后是11i，接下來需要對2+11i和2-11i開立方。2+11i的模長為√(22+112)=√125，輻角為arctan(11/2)=arctan5.5≈79.°所以2+11i≈√125∠79.°開立方后是3√(√125)∠(79.°/3)=√5∠26.°√5≈2.求根公式的檢驗求根公式的檢驗我們可以將求根公式代入回原方程中來檢驗公式是否正確。特殊型一元三次方程其中一個解為u和v的關(guān)系的證明代入x3，展開后得到u和v的立方和為u和v的乘積可以用平方差公式計算所以因此，卡丹公式是正確的。Excel求解三次方程Excel求解三次方程Excel求解三次方程A~D欄填寫方程的系數(shù)（實數(shù)）F欄計算參數(shù)p：=(3A2C2-B2B2)/(3A2A2)G欄計算參數(shù)q：=(27A2A2D2-9A2B2C2+2B2B2B2)/(27A2A2A2)H欄計算判別式△：=G2G2/4+F2F2F2/27I欄計算判別式的平方根：=IMSQRT(H2)J欄為