軌跡方程求法及經(jīng)典例題匯總

軌跡方程求法及經(jīng)典例題匯總軌跡為圓的例題：必修2課本P124B組2：長為2a的線段的兩個端點在軸和軸上移動，求線段AB的中點M的軌跡方程：必修2課本P124B組：已知M與兩個定點（0,0），A（3,0）的距離之比為，求點M的軌跡方程;（一般地：必修2課本P144B組2：已知點M(,)與兩個定點的距離之比為一個常數(shù)；討論點M(,)的軌跡方程（分=1，與1進行討論）必修2課本P122例5：線段AB的端點B的坐標是（4,3），端點A在圓上運動，求AB的中點M的軌跡。（2013新課標2卷文20）在平面直角坐標系中，已知圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為。（1）求圓心的的軌跡方程；（2）若點到直線的距離為，求圓的方程。如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為，圓心在上．（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．（2013陜西卷理20）已知動圓過定點，且在軸上截得弦的長為8.求動圓圓心的軌跡的方程；已知點，設不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，若軸是的角平分線，證明直線過定點。橢圓類型：定義法：（選修2-1P50第3題）點M(,)與定點F(2，0)的距離和它到定直線的距離之比為，求點M的軌跡方程.(圓錐曲線第二定義)討論：當這個比例常數(shù)不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（對應雙曲線，拋物線）圓錐曲線第一定義：（選修2-1P50第2題）一個動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓的圓心軌跡方程。圓錐曲線第一定義：點M()圓上的一個動點,點（1,0）為定點。線段的垂直平分線與相交于點Q(,),求點Q的軌跡方程;(注意點（1,0）在圓內)其他形式：（選修2-1P50例3）設點A,B的坐標分別是（-5,0），（5,0），直線AM,BM相交于點M，且他們的斜率的乘積為，求點M的軌跡方程:（是一個橢圓）（討論當他們的斜率的乘積為時可以得到雙曲線）（2013新課標1卷20）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。（1）求的方程；（2）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點，當圓的半徑最長時，求（2013陜西卷文20）已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍。（1）求動點的軌跡的方程（2）過點的直線與軌跡交于兩點，若是的中點，求直線的斜率。(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值.一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點2.解析：設交點P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共線，∴∵A2、P2、P共線，∴解得x0=二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.答案：4.解析：設P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：設過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y≠0)6.解：設P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由條件而點P(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2()2=a2b2化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).8.解：(1)∵點F2關于l的對稱點為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因為l為∠F1PF2外角的平分線，故點F1、P、Q在同一直線上，設存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)又得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右圖，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB當∠AOB=90°時，S△AOB最大值為a2.此時弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習：1．如圖1，中，已知，，點在軸上方運動，且，則頂點的軌跡方程是．圖1圖2圖3圖42．如圖2，若圓：上的動點與點連線的垂直平分線交于點，圖1圖2圖3圖4則的軌跡方程是．3．如圖3，已知點，點在圓上運動，的平分線交于，則的軌跡方程是．4．與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程為．5．如圖4，垂直于軸的直線與軸及拋物線分別交于點、，點在軸上，且點滿足，則線段的中點的軌跡方程是．幾種常見求軌跡方程的方法：1．直接法：由題設所給（或通過分析圖形的幾何性質而得出）的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．直接法求軌跡方程的一般步驟：建系——設點——列式——代換——化簡——檢驗；【例1】（1）求和定圓的圓周的距離等于的動點的軌跡方程；（2）過點作圓：的割線，求割線被圓截得弦的中點的軌跡．解：（1）設動點，則有或．即或．故所求動點的軌跡方程為或．（2）設弦的中點為，連結，則．∵，∴，化簡得：．其軌跡是以為直徑的圓在圓內的一段?。ú缓它c）．【例2】已知直角坐標平面上一點和圓：，動點到圓的切線長等于圓的半徑與的和．求動點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．解：如圖，設切圓于，又圓的半徑，∴，∴，由已知．設，則，∴，即．可化為．故所求的軌跡是以點為中心，實軸在軸上的雙曲線的右支，頂點為，如圖．【例4】已知定圓的半徑為，定點與圓的圓心的距離為．又一動圓過定點，且與定圓相切．求動圓圓心的軌跡方程．解：以所在的直線為軸，以的中點為原點建立坐標系，如圖．當動圓與定圓外切時，；當動圓與定圓外切時，．由雙曲線的定義知動圓圓心的軌跡應是以、為兩焦點的雙曲線（外切時為右支，內切時為左支）．顯然，，又，故．所以所求的點軌跡方程是：．3．動點轉移法：若動點隨已知曲線上的點的變動而變動，且、可用、表示，則將點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點的軌跡方程．這種方法稱為動點轉移法（或代換法或相關點法）．【例5】已知定點、為拋物線，上任意一點，點在線段的中點，當點在拋物線上變動時，求點的軌跡方程．解：設點，且設點，則有．∵點是線段的中點．由中點坐標公式得：，∴．將此式代入中，并整理得：，即為所求軌跡方程．它是一條拋物線．4．待定系數(shù)法：當動點的軌跡是確定的某種曲線時，設出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設的參數(shù)，進而求出方程．如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．【例7】若拋物線和以坐標軸為對稱軸、實軸在軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又直線被雙曲線截得的線段長等于，求此雙曲線方程．解：設所求雙曲線方程為，將代入整理得：．∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程應有等根．∴，即．由和得：．由弦長公式得：．即．由得：，．∴雙曲線的方程是．5．參數(shù)法：當動點的坐標、之間的直接關系不易建立時，可適當?shù)剡x取中間變量，并用表示動點的坐標、，從而動點軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)，便可得到動點的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有的范圍確定出、的范圍．【例8】拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于不同兩點、，以、為鄰邊作平行四邊形，求頂點的軌跡方程．解：設，：，中點為，，，與聯(lián)立得：．，，．，．，∵，為中點，∴，．消得：．鞏固練習：1．平面上和兩相交的定圓（半徑不等）同時相外切的動圓圓心的軌為（）（A）橢圓的一部分（B）橢圓（C）雙曲線的一部分（D）雙曲線2．已知動點與定點的距離比動點到軸的距離大，則動點的軌跡（）（A）拋物線（B）拋物線的一部分（C）拋物線和一射線（D）拋物線和一直線3．已知定直線和外一點，過與相切的圓的圓心軌跡是（）（A）拋物線（B）雙曲線（C）橢圓（D）直線4．一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線的一支（D）拋物線5．已知橢圓的焦點是、、是橢圓上的一個動點．如果延長到，使得，那么動點的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線的一支（D）拋物線6．已知點、，動點滿足，則點的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線7．與圓外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是（）（A）（B）和（C）（D）和8．過拋物線的焦點作直線與此拋物線相交于兩點、，則線段中點的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）9．過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于A、B兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）（A）（B）（C）（D）10．已知兩點、，點為坐標平面內的動點，滿足，則動點的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）11．與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程是（）（A）（B）（C）（D）12．設為雙曲線上一動點，為坐標原點，為線段的中點，則點的軌跡方程是．13．已知，是圓：（為圓心）上一動點，線段的垂直平分線交于，則動點的軌跡方程為．14．傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則線段中點的軌跡方程是．15．求焦點在坐標軸上，中心在原點且經(jīng)過和兩點的橢圓方程．16．已知雙曲線與橢圓共焦點，它的一條漸近線方程為，則雙曲線的方程是．17．已知是橢圓上的任意一點，從右焦點作的外角平分線的垂線，垂足為，求點的軌跡方程．18．如圖，直線：與直線：之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為，其左半部分記為，右半部分記為．（1）分別用不等式組表示和；（2）若區(qū)域中的動點到，的距離之積等于，求點的軌跡的方程；19．設橢圓方程為，過點的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程．20．過雙曲線：的左焦點作直線與雙曲線交于、兩點，以線段、為鄰邊作平行四邊形，求頂點的軌跡方程．21．設點和為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，，求點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．（一）求軌跡方程的一般方法：1.定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2.直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。3.參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點坐標x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關系x＝f（t），y＝g（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相關點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（x，y），用（x，y）表示出相關點P'的坐標，然后把P'的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。5：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。一：用定義法求軌跡方程例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C為動點，且滿足求點C的軌跡?！咀兪健浚阂阎獔A的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。二：用直譯法求軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關系。例2：一條線段兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，且BM=a，AM=b，求AB中點M的軌跡方程？【變式】:動點P（x,y）到兩定點A（－3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？三：用參數(shù)法求軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3．過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程。四：用代入法求軌跡方程例4.軌跡方程?！咀兪健咳鐖D所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程五、用交軌法求軌跡方程例5.已知橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2，求A1P1與A2P2交點M的軌跡方程.六、用點差法求軌跡方程例6.已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；練習1.在中，B，C坐標分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，則點A的軌跡方程是_______________________________.2.兩條直線與的交點的軌跡方程是__________.3.已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是_____4.當參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為______。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為________。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_____________7.拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求△ABC重心P的軌跡方程。8.已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程。9.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。高二（上）求軌跡方程的常用方法答案例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C為動點，且滿足求點C的軌跡。【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關鍵。圓：到定點的距離等于定長橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）到定點與定直線距離相等?！咀兪?】:1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。?！鄤訄A圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關系。例2：一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P解設M點的坐標為由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點的軌跡是以O為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了OM=這一等量關系是此題成功的關鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設中的已知等量關系：若動點的規(guī)律由題設中的已知等量關系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設條件的等式：有時題中無坐標系，需選定適當位置的坐標系，再根據(jù)題設條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運用有關公式：有時要運用符合題設的有關公式，使其公式中含有動點坐標，并作相應的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關定理和性質：有時動點規(guī)律的數(shù)量關系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關定理、性質、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等等，從而分析出其數(shù)量的關系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.【變式2】:動點P（x,y）到兩定點A（－3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？【解答】∵|PA|=代入得化簡得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3．過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?：從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線l1引發(fā)的，可設出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設M（x，y），設直線l1的方程為y－4＝k（x－2），（k≠０）∵M為AB的中點，消去k，得x＋2y－5＝0。另外，當k＝0時，AB中點為M（1，2），滿足上述軌跡方程；當k不存在時，AB中點為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述，M的軌跡方程為x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性：解法2：設M（x，y），連結MP，則A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程。分析3：：設M（x，y），由已知l1⊥l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標之間的聯(lián)系。解法3：設M（x，y），∵M為AB中點，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2過點P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，從而kPA·kPB＝－1，注意到l1⊥x軸時，l2⊥y軸，此時A（2，0），B（0，4）中點M（1，2），經(jīng)檢驗，它也滿足方程x＋2y－5＝0綜上可知，點M的軌跡方程為x＋2y－5＝0?！军c評】解法1用了參數(shù)法，消參時應注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運用了kPA·kPB＝－1，這些等量關系。。用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2+y2=4外一點A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。解法一：“幾何法”設點M的坐標為（x,y）,因為點M是弦BC的中點，所以OM⊥BC,所以|OM|２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ|２，

即(x2+y2)+(x－４)2+y2=16化簡得：（x－2）2+y2=4................................①由方程①與方程x2+y2=4得兩圓的交點的橫坐標為1，所以點M的軌跡方程為（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內的部分。解法二：“參數(shù)法”設點M的坐標為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x－4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........(*),由點M為BC的中點，所以x=...............(1),又OM⊥BC，所以k=.................(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2

≤,所以x＜1.所以點M的軌跡方程為（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例4.軌跡方程。分析：題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規(guī)律的，顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見M、B為相關點，故采用相關點法求動點M的軌跡方程?！窘馕觥吭O動點M的坐標為（x，y），而設B點坐標為（x0，y0）則由M為線段AB中點，可得即點B坐標可表為（2x－2a，2y）【點評】代入法的關鍵在于找到動點和其相關點坐標間的等量關系【變式4】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程【解析】：設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程五、用交軌法求軌跡方程六、用點差法求軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法．解：設弦兩端點分別為，，線段的中點，則①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．（2）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內部分）（3）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內部分）練習1【正確解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。軌跡方程里應除去點，即軌跡方程為2.兩條直線與的交點的軌跡方程是.【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是.【解答】:令M點的坐標為(,則A的坐標為(2,代入圓的方程里面得:4:當參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為【分析】：把所求軌跡上的動點坐標x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動點的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點坐標為消去參數(shù)m得：故所求動點的軌跡方程為。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為【分析】：點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M的軌跡方程。【解答】：依題意，點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點M的軌跡是以F（4，0）為焦點、為準線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_________【分析】:設動點為P，由題意，則依照點P在運動中所遵循的條件，可列出等量關系式。【解答】：設是所求軌跡上一點，依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求△ABC重心P的軌跡方程。【分析】：拋物線的焦點為。設△ABC重心P的坐標為，點C的坐標為。其中【解答】：因點是重心，則由分點坐標公式得：即由點在拋物線上，得：將代入并化簡，得：（9.已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程?！窘獯稹浚涸O點P的坐標為（x，y），則由題意可得。（1）當x≤3時，方程變?yōu)?，化簡得。?）當x>3時，方程變?yōu)?，化簡得。故所求的點P的軌跡方程是或10.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！窘獯稹浚河深}意分析知直線l的斜率一定存在，設直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程，得。因為直線和拋物線相交，所以△>0，解得。設A（），B（），M（x，y），由韋達定理得。由消去k得。又，所以?！帱cM的軌跡方程為?！净A練習】1．到兩坐標軸的距離相等的動點的軌跡方程是()A．B．C．D．2．已知點的坐標滿足，則動點P的軌跡是()A．橢圓B．雙曲線C．兩條射線D．以上都不對3．設定點、，動點滿足條件，則點P的軌跡()A．橢圓B．線段C.不存在D．橢圓或線段4．動點P與定點、的連線的斜率之積為，則點的軌跡方程為______________.【例題精選】直接法求曲線方程根據(jù)題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式（兩點距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡。即把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程了。例1．已知中，，試求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.練習：已知兩點M（-1，0）、N（1，0），且點P使，，成公差小于零的等差數(shù)列。點P的軌跡是什么曲線？二定義法若動點軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量，求出動點的軌跡方程。例1．⊙C：內部一點與圓周上動點Q連線AQ的中垂線交CQ于P，求點P的軌跡方程.例2．設動點到定點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大。記點P的軌跡為曲線C求點P的軌跡方程；練習．若動圓與圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心軌跡方程是.三代入法有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）而運動的。如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，根據(jù)相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關點法。這種方法是一種極常用的方法，連續(xù)好幾年高考都考查。例1、已知定點A(3,0)，P是圓x2+y2=1上的動點，∠AOP的平分線交AP于M，求M點的軌跡。例2、如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.針對練習一、客觀題1．平面內到點、距離之和為的點的軌跡為()A．橢圓B．一條射線C．兩條射線D．一條線段2．平面上動點到定點的距離比到軸的距離大，則動點的軌跡方程為()A．B．C．或D．或3．已知拋物線的方程為，且拋物線上各點與焦點距離的最小值為2,若點M在此拋物線上運動,點N與點M關于點A(1,1)對稱,則點N的軌跡方程為（）A． B．C． D．4．動點P在拋物線上移動，則點P與點連線中點M軌跡方程是_____________.5．一動點P到點F(2，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，則點P的軌跡方程是.二、解答題 6．動圓M過定點P（－4，0），且與圓C：x2+y2－8x=0相切，求動圓圓心M的軌跡方程。、、、7．已知拋物線=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點在直線上，數(shù)列{bn}滿足，b3=11，且{bn}的前9項和為153.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)設，記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求使不等式對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值．19.（本題滿分14分）已知點C(1，0)，點A、B是⊙O:x2+y2=9上任意兩個不同的點，且滿足，設P為弦AB的中點。(1)求點P的軌跡T的方程；(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x=-1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由．20、(本題滿分14分)過點作直線交圓M：于點B、C，在BC上取一點P，使P點滿足：,（1）求點P的軌跡方程；（2）若（1）的軌跡交圓M于點R、S，求面積的最大值。一、知識概要：1.定義法:若動點軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量，求出動點的軌跡方程。2.直接法:根據(jù)題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式（兩點距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡。即把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程了。二、基本訓練：1、已知ABC的一邊BC的長為6，周長為16，則頂點A的軌跡是什么？答:.2、若,則點M的軌跡方程是.(注意區(qū)別軌跡與軌跡方程兩概念)三、例題：例1、兩根桿分別繞著定點A和B(AB=2a)在平面內轉動,并且轉動時兩桿保持相互垂直求兩桿交點的軌跡方程.

例3、過點，作直線l交雙曲線于A、B不同兩點，已知。（1）、求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（2）、是否存在這樣的直線，使若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。解：（1）、設直線l的方程為，代入得，當時，設，，則，設，由，則，解之得再將代入得……（1）當時，滿足（1）式；當斜率不存在是，易知滿足（1）式，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線；當時，l與雙曲線只有一個交點，不滿足題意。（2），所以平行四邊形OAPB為矩形，OAPB為矩形的充要條件是，即。當不存在時，A、B坐標分別為，，不滿足上式。又化簡得：，此方程無實數(shù)解，故不存直線l使OAPB為矩形。點評：平面向量和平面解析幾何是新老教材的結合點，也是近幾年高考?？疾榈臒狳c，解此類題應注重從向量積的定義和向量的加減法的運算入手，還應該盡量聯(lián)系向量與解析幾何的共同點，綜合運用解析幾何知識和技巧，使問題有效解決。

課外作業(yè)：1．已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線2．如圖,已知圓B：(x+1)2+y2=16及點A(1,0),C為圓B上任意一點，則線段AC的垂直平分l與線段CB的交點P的軌跡方程是.3．已知,A(3,0),B(-3,0),且三邊長|AC|、|AB|、|BC|依次成等差數(shù)列，則頂點C的軌跡方程是.6*．△ABC中，A為動點，B、C為定點，B(－,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,則動點A的軌跡方程為.

8．(06全國Ⅰ)在平面直角坐標系xoy中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x,y軸的交點分別為A、B，且向量。求點M的軌跡方程.9．如圖,過A(-1,0),斜率為k的直線l與拋物線C:交于P、Q兩點，若曲線C的焦點F與P、Q、R三點按圖中順序構成平行四邊形，求點R的軌跡方程。

一、知識概要：代入法（相關點法）有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）而運動的。如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，根據(jù)相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關點法。這種方法是一種極常用的方法，連續(xù)好幾年高考都考查。二、基本訓練：1、雙曲線有動點P，F(xiàn)1,F2是曲線的兩個焦點，求△PF1F2的重心M的軌跡方程。例2、已知定點A(3,0)，P是圓x2+y2=1上的動點，∠AOP的平分線交AP于M，求M點的軌跡。解：如圖，設M(x,y)、P(x1,y1)。由于OM平分∠AOP，故M分AP的比為：λ==3由定比分點公式，得，即，由于x12+y12=1，故，即。故所求軌跡是以為圓心，以為半徑的圓。例3、如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.錯解分析:欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質