原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復習》數學 第五章 第2講 等差數列配套課件

第2講等差數列課標要求考情分析1.通過實例，理解等差數列的概念.2.探索并掌握等差數列的通項公式與前n項和的公式.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題.4.體會等差數列與一次函數的關系1.對高考?？嫉牡炔顢盗械亩x與性質、通項公式、前n項和公式等概念要記熟記準，并能熟練應用.2.掌握等差數列的判斷方法，等差數列求和的方法.3.平常學習過程中，能通過題目強化對基礎知識的認識、理解和應用，以便解決與其他章節(jié)有聯系的題目

1.等差數列的定義

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母______表示.d

2.等差數列的通項公式

如果等差數列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.3.等差中項4.等差數列的前n項和公式設等差數列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝___________5.等差數列的前n項和公式與函數的關系6.等差數列的常用性質(1)若數列{an}是等差數列，則數列{an＋p}，{pan}(p是常數)都是等差數列.(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq；特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.(4)若等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數列.

(5)等差數列的單調性：若公差d>0，則數列單調遞增；若公差d<0，則數列單調遞減；若公差d＝0，則數列為常數列.7.等差數列的最值小

在等差數列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn

存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn

存在最______值.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列命題正確的是()

A.若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列

B.等差數列{an}的單調性是由公差d決定的

C.等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數

D.若{an}是等差數列，公差為d，則數列{a3n}也是等差數列解析：對于A，同一個常數.

對于B，因為在等差數列{an}中，當公差d>0時，該數列是遞增數列，當公差d<0時，該數列是遞減數列，當公差d＝0時，該數列是常數列，所以命題正確.對于C，常數列的前n項和公式為一次函數.

對于D，因為{an}是等差數列，公差為d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(與n值無關的常數)，所以數列{a3n}也是等差數列.故選BD.答案：BD題組二走進教材2.(必修5P67A組第1題改編)在等差數列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，則n＝()A.99B.100C.96D.101

解析：

a1＝1，d＝3，an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝298，n＝100.

答案：B答案：A題組三真題展現4.(2018年全國Ⅰ)設

Sn為等差數列{an}的前

n項和，若

3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝()A.－12B.－10C.10D.12

解析：

3S3＝S2＋S4?3a1＋2d＝0，∴d＝－3，a5＝a1＋

4d＝2－12＝－10.故選B.

答案：B

5.(2020年全國Ⅱ)記

Sn為等差數列{an}的前

n項和.若

a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝__________.

解析：∵{an}是等差數列，且a1＝－2，a2＋a6＝2， 設等差數列{an}的公差為d， 根據等差數列通項公式：an＝a1＋(n－1)d， 可得a1＋d＋a1＋5d＝2， 即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，整理可得6d＝6，解得d＝1，∴S10＝25.故答案為25.答案：25考點1等差數列的基本運算自主練習1.(2017年全國Ⅰ)記

Sn為等差數列{an}的前

n項和，若

a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A.1B.2C.4D.8

解析：方法一，設公差為d，

a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝

2a1＋7d＝24，答案：CC.Sn＝2n2－8n2.(2019年全國Ⅰ)記

Sn為等差數列{an}的前

n項和.已知

)S4＝0，a5＝5，則( A.an＝2n－5B.an＝3n－10

解析：

S4＝4a1＋6d＝0，a5＝a1＋4d＝5，∴a1＝－3，d＝2，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝－3n＋n(n－1)

2×2＝n2－4n.故選A.

答案：A

3.(2020年新高考Ⅰ)設將數列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為________.

解析：因為數列{2n－1}是以

1為首項，以

2為公差的等差數列， 數列{3n－2}是以1為首項，以3為公差的等差數列， 所以這兩個數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以{an}的前n項和為n·1＋n(n－1)

2·6＝3n2－2n.答案：3n2－2n4.(多選題)已知{an}為等差數列，其前n項和為Sn

，且2a1＋3a3＝S6，則以下結論正確的是()A.a10＝0C.S7＝S12B.S10

最小D.S19＝0

解析：∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，

∴a1＋9d＝0即a10＝0，A正確； 當d<0時，Sn

沒有最小值，B錯誤；

S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正確；S19＝(a1＋a19)×19 2＝19a10＝0，D正確.故選ACD.答案：ACD

【題后反思】在解決等差數列問題時，已知a1，an，d，n，Sn中的任意三個，可求其余兩個，稱為“知三求二”.而求得a1和d是解決等差數列{an}所有運算的基本思想和方法.考點2等差數列的基本性質及應用師生互動[例1](1)(2016年四川雙流中學模擬)已知等差數列{an}的前n項和為

Sn，若

S10＝1，S30＝5，則

S40＝(

)A.7B.8C.9D.10解析：方法一，設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則

答案：B

(2)在等差數列{an}中，已知前三項和為15，最后三項和為78，所有項和為155，則項數n＝________.

解析：由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.答案：10

(3)(2020年大數據精選模擬卷)我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，中間三尺重幾何.”意思是：“現有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構成等差數列，問中間三尺共重多少斤？”()A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤

解析：原問題等價于等差數列中，已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值，由等差數列的性質可知：a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝a1＋a5

2＝3，則a2＋a3＋a4＝9，即中間三尺共重9斤.本題選擇D選項.

答案：DA.2B.3C.4D.14

因此，正整數n的可能取值有2，4，14.

故選ACD.

答案：ACD【題后反思】(1)利用等差數列{an}的性質“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”.(2)等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數列.

(4)可以把an

與Sn

結合起來，給計算帶來很大便利，是解決等差數列的有效方法.“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數列的計算中非常重要，但也要用好“基本量法”，運用方程的思想“知三求二”.

【考法全練】

(2020年全國Ⅱ)北京天壇的圜丘壇(圖

5-2-1)為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()圖5-2-1A.3699塊C.3402塊B.3474塊D.3339塊

解析：設第n環(huán)天石心塊數為an，第一層共有n環(huán)， 則{an}是以9為首項，9為公差的等差數列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，27(9＋9×27)

設Sn為{an}的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因為下層比中層多729塊， 所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即3n(9＋27n)

2－2n(9＋18n)

2＝2n(9＋18n)

2－n(9＋9n)

2＋729，即9n2＝729，解得n＝9，所以S3n＝S27＝2＝3402.故選C.答案：C考點3等差數列前n項和的最值問題多維探究

[例2](1)(2014年北京)若等差數列{an}滿足

a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大.

解析：由等差數列的性質，及a7＋a8＋a9＝3a8，得a8＞0. ∵a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0. ∴a9＜0.∴公差d<0.故數列{an}的前8項和最大.

答案：8

(2)(2019年北京)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn

的最小值為________.

解析：等差數列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2.

又a2＝－3，∴公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.

由等差數列{an}的性質得

n≤5時，an≤0；n≥6時，an>0， ∴Sn的最小值為S4

或S5，即為－10.答案：0－10

(3)(2013年全國Ⅱ)等差數列{an}的前n項和為Sn

，已知S10＝0，S15＝25，則nSn

的最小值為________.

解析：設等差數列{an}的首項為

a1，公差為

d，由等差數列前n項和公式可得答案：－49n(a1＋an)【題后反思】設等差數列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝2或Sn＝na1＋n(n－1)

2d.【考法全練】(2019年北京)設{an}是等差數列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數列.(1)求{an}的通項公式；(2)記{an}的前n項和為Sn，求Sn

的最小值.解：(1)設等差數列{an}的公差為d，因為a2＋10，a3

＋8，a4＋6成等比數列，所以(a3

＋8)2

＝(a2＋10)(a4＋6)，即(2d－2)2＝d(3d－4)，解得d＝2，所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.(2)方法一，由(1)知an＝2n－12，當n＝5或者n＝6時，Sn取到最小值－30.

所以當n＝5或者n＝6時，Sn取到最小值S5＝S6

＝25－55＝－30.

⊙利用函數的思想求等差數列的最值

[例3](2019年北京海淀模擬)等差數列{an}中，設

Sn為其前n項和，且

a1>0，S3＝S11，則當

n為多少時，Sn最大？

解：方法一，由

S3＝S11，得

方法二，由于Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數，由S3＝S11，解得6.5≤n≤7.5，故當n＝7時，Sn

最大.方法四，由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11

可知d<0，∴a7>0，a8<0，∴當n＝7時，Sn

最大.

【策略指導】求等差數列前n項和的最值常用的方法：①利用等差數列的性質求出其正負轉折項，便可求得和的最值；②將等差數列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)看作二次函數，根據二次函數的性質或圖象求最值.d，

【高分訓練】

在等差數列{an}中，已知a1＝10，前n項和為Sn，若S9＝S12，則Sn取得最大值時，n＝_______，S