原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復(fù)習(xí)》數(shù)學(xué) 第五章 第2講 等差數(shù)列配套課件

第2講等差數(shù)列課標(biāo)要求考情分析1.通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念.2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系1.對高考?？嫉牡炔顢?shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等概念要記熟記準(zhǔn)，并能熟練應(yīng)用.2.掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法.3.平常學(xué)習(xí)過程中，能通過題目強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的認(rèn)識、理解和應(yīng)用，以便解決與其他章節(jié)有聯(lián)系的題目

1.等差數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母______表示.d

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.3.等差中項(xiàng)4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝___________5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系6.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an＋p}，{pan}(p是常數(shù))都是等差數(shù)列.(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq；特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.(4)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列.

(5)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列單調(diào)遞增；若公差d<0，則數(shù)列單調(diào)遞減；若公差d＝0，則數(shù)列為常數(shù)列.7.等差數(shù)列的最值小

在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn

存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn

存在最______值.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列命題正確的是()

A.若一個數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列

B.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的

C.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)

D.若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列解析：對于A，同一個常數(shù).

對于B，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，當(dāng)公差d>0時，該數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)公差d<0時，該數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)公差d＝0時，該數(shù)列是常數(shù)列，所以命題正確.對于C，常數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為一次函數(shù).

對于D，因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，公差為d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(與n值無關(guān)的常數(shù))，所以數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列.故選BD.答案：BD題組二走進(jìn)教材2.(必修5P67A組第1題改編)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，則n＝()A.99B.100C.96D.101

解析：

a1＝1，d＝3，an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝298，n＝100.

答案：B答案：A題組三真題展現(xiàn)4.(2018年全國Ⅰ)設(shè)

Sn為等差數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和，若

3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝()A.－12B.－10C.10D.12

解析：

3S3＝S2＋S4?3a1＋2d＝0，∴d＝－3，a5＝a1＋

4d＝2－12＝－10.故選B.

答案：B

5.(2020年全國Ⅱ)記

Sn為等差數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和.若

a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝__________.

解析：∵{an}是等差數(shù)列，且a1＝－2，a2＋a6＝2， 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d， 可得a1＋d＋a1＋5d＝2， 即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，整理可得6d＝6，解得d＝1，∴S10＝25.故答案為25.答案：25考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本運(yùn)算自主練習(xí)1.(2017年全國Ⅰ)記

Sn為等差數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和，若

a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A.1B.2C.4D.8

解析：方法一，設(shè)公差為d，

a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝

2a1＋7d＝24，答案：CC.Sn＝2n2－8n2.(2019年全國Ⅰ)記

Sn為等差數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和.已知

)S4＝0，a5＝5，則( A.an＝2n－5B.an＝3n－10

解析：

S4＝4a1＋6d＝0，a5＝a1＋4d＝5，∴a1＝－3，d＝2，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝－3n＋n(n－1)

2×2＝n2－4n.故選A.

答案：A

3.(2020年新高考Ⅰ)設(shè)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________.

解析：因?yàn)閿?shù)列{2n－1}是以

1為首項(xiàng)，以

2為公差的等差數(shù)列， 數(shù)列{3n－2}是以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列， 所以這兩個數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以{an}的前n項(xiàng)和為n·1＋n(n－1)

2·6＝3n2－2n.答案：3n2－2n4.(多選題)已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn

，且2a1＋3a3＝S6，則以下結(jié)論正確的是()A.a10＝0C.S7＝S12B.S10

最小D.S19＝0

解析：∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，

∴a1＋9d＝0即a10＝0，A正確； 當(dāng)d<0時，Sn

沒有最小值，B錯誤；

S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正確；S19＝(a1＋a19)×19 2＝19a10＝0，D正確.故選ACD.答案：ACD

【題后反思】在解決等差數(shù)列問題時，已知a1，an，d，n，Sn中的任意三個，可求其余兩個，稱為“知三求二”.而求得a1和d是解決等差數(shù)列{an}所有運(yùn)算的基本思想和方法.考點(diǎn)2等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用師生互動[例1](1)(2016年四川雙流中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

Sn，若

S10＝1，S30＝5，則

S40＝(

)A.7B.8C.9D.10解析：方法一，設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則

答案：B

(2)在等差數(shù)列{an}中，已知前三項(xiàng)和為15，最后三項(xiàng)和為78，所有項(xiàng)和為155，則項(xiàng)數(shù)n＝________.

解析：由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.答案：10

(3)(2020年大數(shù)據(jù)精選模擬卷)我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，中間三尺重幾何.”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重多少斤？”()A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤

解析：原問題等價于等差數(shù)列中，已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝a1＋a5

2＝3，則a2＋a3＋a4＝9，即中間三尺共重9斤.本題選擇D選項(xiàng).

答案：DA.2B.3C.4D.14

因此，正整數(shù)n的可能取值有2，4，14.

故選ACD.

答案：ACD【題后反思】(1)利用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”.(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列.

(4)可以把a(bǔ)n

與Sn

結(jié)合起來，給計算帶來很大便利，是解決等差數(shù)列的有效方法.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但也要用好“基本量法”，運(yùn)用方程的思想“知三求二”.

【考法全練】

(2020年全國Ⅱ)北京天壇的圜丘壇(圖

5-2-1)為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()圖5-2-1A.3699塊C.3402塊B.3474塊D.3339塊

解析：設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為an，第一層共有n環(huán)， 則{an}是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，27(9＋9×27)

設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊， 所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即3n(9＋27n)

2－2n(9＋18n)

2＝2n(9＋18n)

2－n(9＋9n)

2＋729，即9n2＝729，解得n＝9，所以S3n＝S27＝2＝3402.故選C.答案：C考點(diǎn)3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題多維探究

[例2](1)(2014年北京)若等差數(shù)列{an}滿足

a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當(dāng)n＝________時，{an}的前n項(xiàng)和最大.

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，及a7＋a8＋a9＝3a8，得a8＞0. ∵a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0. ∴a9＜0.∴公差d<0.故數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和最大.

答案：8

(2)(2019年北京)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn

的最小值為________.

解析：等差數(shù)列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2.

又a2＝－3，∴公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.

由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)得

n≤5時，an≤0；n≥6時，an>0， ∴Sn的最小值為S4

或S5，即為－10.答案：0－10

(3)(2013年全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

，已知S10＝0，S15＝25，則nSn

的最小值為________.

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為

a1，公差為

d，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得答案：－49n(a1＋an)【題后反思】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝2或Sn＝na1＋n(n－1)

2d.【考法全練】(2019年北京)設(shè){an}是等差數(shù)列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn

的最小值.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2＋10，a3

＋8，a4＋6成等比數(shù)列，所以(a3

＋8)2

＝(a2＋10)(a4＋6)，即(2d－2)2＝d(3d－4)，解得d＝2，所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.(2)方法一，由(1)知an＝2n－12，當(dāng)n＝5或者n＝6時，Sn取到最小值－30.

所以當(dāng)n＝5或者n＝6時，Sn取到最小值S5＝S6

＝25－55＝－30.

⊙利用函數(shù)的思想求等差數(shù)列的最值

[例3](2019年北京海淀模擬)等差數(shù)列{an}中，設(shè)

Sn為其前n項(xiàng)和，且

a1>0，S3＝S11，則當(dāng)

n為多少時，Sn最大？

解：方法一，由

S3＝S11，得

方法二，由于Sn＝An2＋Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3＝S11，解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時，Sn

最大.方法四，由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11

可知d<0，∴a7>0，a8<0，∴當(dāng)n＝7時，Sn

最大.

【策略指導(dǎo)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法：①利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；②將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)或圖象求最值.d，

【高分訓(xùn)練】

在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝S12，則Sn取得最大值時，n＝_______，S