2021-2022學(xué)年吉林省長春市田家炳實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年吉林省長春市田家炳實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線在點（－1，－3）處的切線方程是（

）A．B．C．

D．參考答案：A2.已知復(fù)數(shù)，，.在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點分別為，，若，其中O是坐標(biāo)原點，則函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)運算和三角函數(shù)的最值求解.【詳解】據(jù)條件，，，且，所以，，化簡得，，當(dāng)時，取得最大值為.【點睛】本題考查向量數(shù)量積運算和三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列{an}，且是方程的兩根，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則的值為（

）A.110 B.66 C.44 D.33參考答案：B【分析】由韋達(dá)定理可得：，再由等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可計算得解。【詳解】因為是方程的兩根，所以.所以故選：B【點睛】本題主要考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題。4.袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1個球，取2次，則關(guān)于事件“直到第二次才取到黃色球”與事件“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率說法正確的是（）A．事件“直到第二次才取到黃色球”與事件“第一次取到白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率都等于B．事件“直到第二次才取到黃色球”與事件“第一次取到白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率都等于C．事件“直到第二次才取到黃色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率等于D．事件“直到第二次才取到黃色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率等于參考答案：D【考點】C3：概率的基本性質(zhì)．【分析】設(shè)事件A表示“直到第二次才取到黃色球”，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出P（A）；設(shè)事件B表示“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”，利用條件概率計算公式能求出P（B）．【解答】解：袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1個球，取2次，設(shè)事件A表示“直到第二次才取到黃色球”，事件B表示“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”，則P（A）==，P（B）==．故選：D．5.由拋物線y2=2x與直線y=x﹣4所圍成的圖形的面積是（）A．18B．C．D．16參考答案：A

考點：定積分．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和微積分基本定理即可得出．解答：解：聯(lián)立，解得或，∴由拋物線y2=2x與直線y=x﹣4所圍成的圖形的面積S=∵，∴S=+=18．故選A．點評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算法則和微積分基本定理是解題的關(guān)鍵．6.已知圓x2﹣2x+y2﹣2my+2m﹣1=0，當(dāng)圓的面積最小時，直線y=x+b與圓相切，則b=(

)A．±1 B．1 C． D．參考答案：C【考點】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】求出圓的圓心和半徑，由二次函數(shù)的最值，可得最小值為1，m=1，再由直線和圓相切的條件：d=r，解方程即可得到b．【解答】解：圓x2﹣2x+y2﹣2my+2m﹣1=0的圓心為（1，m），半徑為r=，當(dāng)圓的面積最小時，半徑r=1，此時m=1，即圓心為（1，1），由直線和圓相切的條件：d=r，可得=1，解得b=．故選：C．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系：相切，主要考查直線和圓相切的條件：d=r，同時考查點到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．7.圓上的點到直線的距離最大值是（

）A.

2

B.

1+

C.

D.1+參考答案：B略8.已知平行六面體中，AB=4，AD=3，，，，則等于 （

）A．85

B．

C．

D．50參考答案：B9.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率e∈[，2]，則一條漸近線與實軸所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由及c2=a2+b2，得的取值范圍，設(shè)一條漸近線與實軸所成的角為θ，可由tanθ=及0＜θ＜探求θ的取值范圍．【解答】解：∵e，∴2≤≤4，又∵c2=a2+b2，∴2≤≤4，即1≤≤3，得1≤≤．由題意知，為雙曲線的一條漸近線的方程，設(shè)此漸近線與實軸所成的角為θ，則，即1≤tanθ≤．∵0＜θ＜，∴≤θ≤，即θ的取值范圍是．故答案為：C．10.命題：“若，則”的逆否命題是

（

）A.若，則

B.若，則C.若，則

D.若，或，則參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點坐標(biāo)是

；長軸長為

．參考答案：，4．【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得C的焦點在y軸上，且a==2，b=1，進(jìn)而計算可得c的值，由焦點坐標(biāo)公式以及長軸的定義計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓，則C的焦點在y軸上，且a==2，b=1，故c===3，故C的焦點坐標(biāo)為（0，±），長軸長2a=4；故答案為：，4．12.設(shè)a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項，則+的最小值是

．參考答案：4【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)等比中項的性質(zhì)求得a+b的值，進(jìn)而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化簡整理，根據(jù)ab的范圍，求得答案．【解答】解：∵是3a與3b的等比中項∴3a?3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（當(dāng)a=b時等號成立）∴+==≥4．故答案為：4【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．使用基本不等式時要注意等號成立的條件．13.若x，y滿足約束條件，則z=x﹣y的最小值為．參考答案：﹣1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移求出z最小值即可．【解答】解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直線y=x﹣z，由平移可知當(dāng)直線y=x﹣z，與x﹣y+1=0重合時，直線y=x﹣z的截距最大，此時z取得最小值，可得x﹣y=﹣1，即z=x﹣y的最小值是﹣1，故答案為：﹣114.若直線y=x+b與曲線恰有一個公共點，則b的取值范圍為．參考答案：（﹣1，3]∪{1﹣2}【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】曲線即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得b=1+，b=1﹣．當(dāng)直線過點（4，3）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=﹣1，結(jié)合圖象可得b的范圍．【解答】解：如圖所示：曲線y=3﹣即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（﹣1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得=2，∴b=1+，b=1﹣．當(dāng)直線過點（4，3）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=﹣1結(jié)合圖象可得﹣1＜b≤3或b=1﹣．故答案為：（﹣1，3]∪{1﹣}15.若復(fù)數(shù)，則

．參考答案：

16.如圖空間四邊形，，分別是，的中點，則______，_________，_________．參考答案：

17.數(shù)列……的前100項的和等于

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C的方程為．（Ⅰ）求圓C的半徑及圓心坐標(biāo)；（Ⅱ）求經(jīng)過點（0，6）且與圓C相切的直線l的方程．參考答案：略19.(本小題滿分12分)求函數(shù)在上的值域。參考答案：函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為①當(dāng)時值域為…………3分②當(dāng)時值域為…………5分③當(dāng)時值域為…………8分④當(dāng)時值域為

綜上，略…………12略20.某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上（含85分）的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)；（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？參考答案：解：（Ⅰ）其它組的頻率為（0．01+0．07+0．06+0．02）×5=0．8，所以第四組的頻率為0．2，頻率/組距是0.04

頻率分布圖如圖：

（Ⅱ）設(shè)樣本的中位數(shù)為，則

解得

所以樣本中位數(shù)的估計值為（Ⅲ）依題意良好的人數(shù)為人，優(yōu)秀的人數(shù)為人抽取比例為1/8，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人法1：記從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀為事件M將考試成績優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A,B，C，考試成績良好的兩名學(xué)生記為a,b

從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab共10個基本事件

事件M含的情況是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9個所以

法2：P=略21.已知拋物線y2=2px（p＞0）焦點為F，拋物線上橫坐標(biāo)為的點到拋物線頂點的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)過點P（6，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過點F，求直線l的方程．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）確定拋物線上橫坐標(biāo)為的點的坐標(biāo)為（，），利用拋物線上橫坐標(biāo)為的點到拋物線頂點的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，求出p，即可求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用以AB為直徑的圓過點F，可得FA⊥FB，即=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線上橫坐標(biāo)為的點的坐標(biāo)為（，），到拋物線頂點的距離的平方為，∵拋物線上橫坐標(biāo)為的點到拋物線頂點的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，∴=（+）2，∴p=2拋物線的方程為：y2=4x．…（Ⅱ）由題意可知，直線l不垂直于y軸可設(shè)直線l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵以AB為直徑的圓過點F，∴FA⊥FB，即=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20