高考預(yù)測卷-理數(shù)答案【全國卷】

【答案】C機(jī)密啟用前姓名準(zhǔn)考證號【解析】等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和.在等差數(shù)列{a}中，2a＝a＋a，a＝2a，故n546452023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)風(fēng)向卷（二）?7a＝0.又2a＝a＋a，所以a＝－a，則S＝S＋a＋a＋a＝S，故＝1.故選C．665775745674?42?+??4≤0,4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件2???+1≥0,則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為(){注意事項(xiàng)：??2?+2≤0,1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效。55A．2B．C．D．5【答案】A【解析】本題考查線性規(guī)劃．根據(jù)實(shí)數(shù)x，y滿足的約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示(含邊界)．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知全集U，集合A，B(A≠B)為其子集，若B∩(?A)＝?，則A∪B＝()UA．?AB．?BC．AD．BUU【答案】C【解析】集合的關(guān)系、集合的基本運(yùn)算.因?yàn)锽∩(?A)＝?且A≠B，則有BA，所以A∪B＝U將目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y化為y＝3x－z，平移直線y＝3x，可知直線y＝3x－z經(jīng)過點(diǎn)C時z取得A．故選C．??2?+2=0,2?+??4=0,6868最大值．聯(lián)立{得C(.所以z＝×3－＝2.故選A．,max55552．復(fù)數(shù)z＝＋2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()?A．第一象限【答案】BB．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限→??→→→1→388．在△ABG中，已知＝，＝，AE與BF交于點(diǎn)O，則＝()????????31【解析】復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義.因?yàn)閦＝＋2i＝－1＋2i＝－i－1＋2i＝－1＋i，所以復(fù)??數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(－1，1)，位于第二象限，故選B．?2→1→4→3→7A．B．3．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，a＝2a，則＝()＋＋????????nn45?73547454→??→??→??→??A．B．－1C．1D．473347C．＋D．＋第1頁共18頁◎第2頁共18頁【答案】C7．若圓x2＋y2＝4的一條切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，則|AB|的最小值為()【考點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算A．4B．42C．6D．8【答案】A??【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．由題意設(shè)切線方程為＋＝1(a≠0且b≠0)，即bx＋ay??+－ab＝0.由題可知該圓的圓心為(0，0)，半徑為2，所以圓心到切線的距離d＝＝2，所22?+?【詳解】2?+?2以|a|·|b|＝22≤(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時取等號)．令t＝2(t＞0)，則t2－4t≥0，解得如圖，過點(diǎn)E作直線EH∥BF交AG于點(diǎn)H.?+??+?2→??→??t≥4，所以t的最小值為4.由題意知t＝|AB|，所以|AB|的最小值為4.故選A．383因?yàn)椋?，所以＝＝?【一題多解】由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)(x≠0，y≠0)，A(x，0)，B(0，y)，則x2＋y2＝4，→??→??0000AB001因?yàn)椋?，所以設(shè)AF＝1，32+)448切線方程為xx＋yy＝4，得y＝，x＝，|AB|＝?2+?2＝00＝，x2＋y2＝3300BA??00則FG＝2，所以FH＝2×＝.?0?02??|0000844≥2|xy|(當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝|y|＝2時取等號)，則|AB|≥4.故選A．140000因?yàn)镋H∥BF，所以＝＝＝，3471+??【關(guān)鍵點(diǎn)撥】若在解題過程中涉及直線的橫截距和縱截距，則可以設(shè)直線的截距式方程＋＝??→→??→→→→→??→47443473所以＝＝(＋????)＝(＝＋.故選C．??????+??7781(a≠0且b≠0)．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】平面向量的線性運(yùn)算要多考慮結(jié)合平面幾何中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系求解，例如本題中的三角形相似比．618．已知(x3＋a)2??)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()2?A．80B．160C．240D．3206．記一年為365天，我們可以把(1＋1%)365看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后的值是1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是1%，一年后的值是0.99365.照此計(jì)算，若要使“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，則大約需經(jīng)過(參考數(shù)據(jù)：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436)()【答案】D61【解析】本題考查二項(xiàng)式定理．令x＝1，得(1＋a)(2－1)6＝3，解得a＝2.已知2??)展開式2??611的通項(xiàng)Tr＋1＝Cr(2x)6－r·?)＝(－1)r26－rCrx6－3r，則(x3＋2)2??)展開式中常數(shù)項(xiàng)為2×(－662?2?A．100天B．108天C．115天D．124天1)2×26－2×C2＋(－1)3×26－3×C3＝320.故選D．66【答案】C【解析】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的換底公式．設(shè)大約需經(jīng)過x天“進(jìn)步”后的值??9．若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)?>0,|?|<的最小正周期為π，且其圖像向左平移個單位長度26??是“退步”后的值的10倍，則1.01x＝10×0.99x，即＝10，()＝10，所以x＝log10＝?后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則f(x)的圖像()111?＝＝≈+≈115(天)．A．關(guān)于直線x＝對稱B．關(guān)于點(diǎn)(對稱,03??C．關(guān)于直線x＝－對稱D．關(guān)于點(diǎn)(對稱所以若要使“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，則大約需經(jīng)過115天．故選C．,066【答案】D第3頁共18頁◎第4頁共18頁【解析】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．由函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π可得T＝＝π，則解得離心率e＝.故選D．?2??→→ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，將其圖像向左平移個單位長度可得g(x)＝2sin[2(＋φ]＝4?+【關(guān)鍵點(diǎn)撥】設(shè)|AF|＝m，根據(jù)·＝0，且cosFAF＝，結(jié)合雙曲線的定義求得m＝????∠21256611????2sin(的圖像．若要使函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則＋φ＝kπ，k∈Z.因?yàn)閨φ|<，所以φ＝－5a，然后在Rt△BFF中利用勾股定理得出關(guān)于a與c的關(guān)系式后即可得解．2?++?1233231??????+,?≤0,，所以f(x)＝2sin(2x－)．函數(shù)f(x)圖像的對稱軸方程為2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，12．已知函數(shù)f(x)＝{若函數(shù)y＝f(f(x)－a)有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為?33222??2?,?>0.?k∈Z，可得A，C選項(xiàng)錯誤．由函數(shù)f(x)圖像的對稱中心的性質(zhì)得2x－＝kπ，k∈Z，即對稱中3()?心的橫坐標(biāo)為x＝＋，k∈Z，可得D選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤．故選D．11A．()B．1,1+)C．(2，e)D．(－1，?)0,26????【快解】求出f(x)＝2sin2??3后，可以直接帶入選項(xiàng)中的答案驗(yàn)證．當(dāng)x＝時，f(x)＝0，所【答案】B【解析】本題考查分段函數(shù)求零點(diǎn)問題．6?1以f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(對稱．故選D．???+,?≤0,,0已知函數(shù)f(x)＝{2??2?,?>0.?6當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值為－1.當(dāng)x≤0時，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－1.當(dāng)x＜－1時，f′(x)＜0，當(dāng)－1＜x＜0時，f′(x)＞0.11110．已知函數(shù)f(x)＝(ex＋e－x)，記a＝f(，b＝f(，c＝f(π)，則a，b，c的大小關(guān)系為2logπ2?2()A．a(chǎn)＜b＜c【答案】C【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性再比較函數(shù)值的大?。?yàn)閒(x)B．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a11所以f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，0)上單調(diào)遞增，且f(0)＝，當(dāng)x→－∞時，f(x)→.??綜上，作出函數(shù)f(x)的大致圖像，如圖．11的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝(e－x＋ex)＝f(x)，所以f(x)在R上為偶函數(shù)．當(dāng)x>0時，f′(x)＝(ex2211－e－x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則b＝f(log)＝f(log2)．所以0<log2<1<2<2<π，即π2ππ?b<a<c.故選C．由圖可知，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，即x＝－1和x＝2，(*)22??11．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過F的直線交雙曲線右支12222??由(*)式可知，f(x)－a＝－1或f(x)－a＝2，即f(x)＝a－1或f(x)＝a＋2時滿足題意．根據(jù)題意，這兩個方程共有四個根，即函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝a－1和直線y＝a＋2共有四個交→→4于A，B兩點(diǎn)．若A．2·＝0，且cos∠FAF＝，則該雙曲線的離心率為()????212513252B．C．D．點(diǎn)．結(jié)合f(x)的圖像可知，當(dāng)a－1∈(－1，0]時，a＋2∈(2，3]，此時函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝2→??111a－1和y＝a＋2有三個交點(diǎn)，即方程有三個根；當(dāng)a－1∈(時，a＋2∈(，此時函數(shù)【答案】D【解析】本題考查雙曲線的定義及離心率的相關(guān)計(jì)算．設(shè)|AF|＝m，因?yàn)椤?,3,+31??→??243341＝0，且cos∠FAF＝，所以在Rt△ABF中，sin∠FAF＝，|BF|＝m，|AB|＝m.由雙曲f(x)的圖像與直線y＝a－1和y＝a＋2有四個交點(diǎn)，即方程有四個根，此時a∈(；同理，1,+11211215555?3345線的定義得|BF|＝m－2a，|AF|＝m－2a.因?yàn)閨AF|＋|BF|＝|AB|，所以有m－2a＋m－2a＝11當(dāng)a－1∈(?,+∞時，方程有兩個根．綜上，a∈1,1+?滿足題意．故選B．2222552?m，解得m＝5a.所以在Rt△BFF中，|BF|2＋|BF|2＝|FF|2，即9a2＋a2＝4c2，所以a2＝，【關(guān)鍵點(diǎn)撥】對于函數(shù)零點(diǎn)的判定，通常可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合函數(shù)圖像得出零點(diǎn)1212125第5頁共18頁◎第6頁共18頁個數(shù)．對于復(fù)合函數(shù)，如y＝f(f(x))這類函數(shù)問題，可以采用換元法，由里到外一層一層分析．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知遞增的等比數(shù)列{a}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S.若a＋a＝30，aa＝81，nn2415則S＝________．615．已知命題p：f(x)lg(ax24xa)－＋的定義域?yàn)椋幻}：不等式2x2＋Rq＋x≥2ax在x∈(－＝【答案】364∞，－1)上恒成立．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】[1，2]【解析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式．設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，由aa＝81，得aa＝81，n1524216?4?<0,【解析】本題考查真假命題的判斷．若p為真命題，則{解得a>2；若q為真命題，?>0,??=81,?=3,?=274?=27,?=3.4聯(lián)立{24解得{2或{2?+?=30,24222則a≥2x－＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立．令y＝2x－＋1，x＜－1，可知y′＝2＋＞0，則y??2??=3,?=27,4??=3,2即{1因?yàn)閧a}為遞增數(shù)列，所以{n32??=27,＝2x－＋1在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x趨近于－1時，y趨近于1，a≥1.若pq為真命∴∴∨1??)6?>2,?<1,解得q2＝9.又因?yàn)榈缺葦?shù)列{a}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以q＝3，a＝1，所以S＝1＝題，∧為假命題，則，一真一假．若為真命題為假命題，則pqpqpq{解集為?；若p為n16＝364.?≤2,?≥1,假命題q為真命題，則{解得1≤a≤2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，2]．14．某幾何體的三視圖如圖所示，若網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1，那么該幾何體的表面積為________．16．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足∠AFB＝60°，過弦AB的中點(diǎn)C作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則的最小值為________．【答案】1【解析】本題考查拋物線的定義及利用基本不等式求最值．設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，過點(diǎn)A，作AQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為Q，過點(diǎn)B，作BP垂直于準(zhǔn)線，垂足為P，如圖．由拋物線定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，有2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.【答案】92＋18【解析】本題考查空間幾何體的三視圖及表面積．根據(jù)題中三視圖還原幾何體如圖所示，該幾何體是一個底面為正方形的四棱錐P－ABCD，將其補(bǔ)形成一個正方體．易知PB⊥平面在ABF中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－△3ab.2ABCD，BC⊥平面PAB，則△PAD，△PCD，△PBC，△PAB均為直角三角形，故S表面積＝?+?311∵ab≤()，∴(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，即|AB|≥(a＋b)＝|CD|，當(dāng)且僅當(dāng)a＝24421S△PAD＋S△PCD＋S△PBC＋S△PAB＋S＝×(3×32＋3×32＋3×3＋3×3)＋3×3＝92＋18.正方形ABCDb時，等號成立．2∴≥1，即的最小值為1.第7頁共18頁◎第8頁共18頁三棱錐Q－BCD的體積．三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)17．(本小題滿分12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知C＝2A．(1)求證：c＝2acosA；【考點(diǎn)】線面垂直的判定，空間向量法求二面角的余弦值，三棱錐的體積【答案】(1)【證明】如圖，延長BA，CD交于E，連接SE，則SE為平面SCD與平面SAB的交線l.15證明過程如下：在△SAD中，SA＝1，AD＝，SD＝，則SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD．22(2)若A<B<C，b＝10，且a＋c＝2b，求△ABC的面積．又AD⊥AB，SA∩AB＝A，SA，AB?平面SAB，所以AD⊥平面SAB．因?yàn)锽C∥AD，所以BC⊥平面SAB，又SE?平面SAB，所以BC⊥SE.【答案】利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式1由PD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝，得AE＝1.2???(1)【證明】因?yàn)镃＝2A，由正弦定理得＝＝，又sinA≠0，所以c＝2acosA．???所以AE＝AB＝SA，所以SE⊥SB．2?+?222+?22+?2??(2)【解】由(1)得cosA＝，由余弦定理得cosA＝＝，所以＝，即又BC∩SB＝B，BC，SB?平面CSB，所以SE⊥平面CSB，即l⊥平面CSB．(10－a)c2－100a＋a3＝0，①將a＋c＝20，c＝20－a代入①，得(10－a)(20－a)2－100a＋a3＝0，即(10－a)(8－a)＝0，解得a＝8或a＝10.因?yàn)锽>A，所以b>a，所以a＝10舍去，所以a＝8，c＝20－8＝12.?3?從而cosA＝＝＝>0，可知0<A<，2×842(2)【解】由(1)知，SA⊥AB，AD⊥AB，AD⊥SA．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如237所以sinA＝2＝1?()＝.441?cos?117所以△ABC的面積S△ABC＝bcsinA＝×10×12×＝157.圖所示．易得A(0，0，0)，D(，B(0，1，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，則＝(,?1,0.224→??11,0,02218.(本小題滿分12分)如圖，在四邊形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD→??→??→??設(shè)＝λ(0<λ<1)，則Q(λ，λ，1－λ)，＝(λ，λ－1，1－λ)．15＝.沿BA將△PAB翻折到△SAB的位置，使得SD＝.設(shè)n＝(x，y，z)是平面QBD的法向量，22→(1)作出平面SCD與平面SAB的交線l，并證明l⊥平面CSB；??+(??1)?+(1??)?=0,??·?=0,→??·?=0,則{即{令x＝2，則n＝2,1,.12???=0,6(2)Q是棱SC上異于S，C的一點(diǎn)，連接QD，當(dāng)二面角Q－BD－C的余弦值為時，求此時6第9頁共18頁◎第10頁共18頁→??單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)(2)的結(jié)果，判斷企業(yè)想獲得更高的利潤，產(chǎn)品單價應(yīng)選擇100元還是90元，請說明理由．易知＝(0，0，1)是平面CBD的一個法向量．→|||→??61由|cos〈n，〉|＝＝＝，所以λ＝，所以Q是棱SC的中點(diǎn)．262→|)5+(113111314易知四邊形ABCD為直角梯形，其面積為×(×1＝，S＝×1×＝，所以S＝－+1△ABD△BCD224224411111111＝，所以V＝S×SA＝××＝，即三棱錐Q－BCD的體積為.Q－BCD△BCD232322【方法速記】利用向量法求解空間二面角的相關(guān)問題的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，分別求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”，根據(jù)所求問題進(jìn)一步利用公式求解．19.(本小題滿分12分)某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)繪制了散點(diǎn)圖，如圖．?現(xiàn)用反比例函數(shù)模型y＝a＋(a＞0，b＞0)和指數(shù)函數(shù)模型y＝cedx(c＞0，d＜0，e為自然對數(shù)?的底數(shù))分別對兩個變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，已知用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為＝96.54e－?0.2x，lny與x的相關(guān)系數(shù)r＝－0.94.1(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程．(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好(結(jié)果精確到0.01)，并求產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本y的預(yù)測值．(3)該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出)，根據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2.若第11頁共18頁◎第12頁共18頁當(dāng)簽訂訂單為11千件時，每件產(chǎn)品的成本為＋21元，企業(yè)的利潤為11×(?21＝90?659(千元)．該企業(yè)利潤Y(千元)的分布列為YP5906590.30.7所以E(Y)＝590×0.3＋659×0.7＝638.3(千元)．綜上，企業(yè)想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應(yīng)選擇90元．2?2?20．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(322??3，0)，離心率e＝.2(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)D(1，3)為橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)D作兩條斜率之和為1的直線，分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，線段AB，PQ的中點(diǎn)分別為M，N，試證：直線MN過定點(diǎn)．【思路導(dǎo)引】(2)設(shè)直線??的方程為?=??+?直線??,??的斜率分別為?,?直線??的方程與橢圓方程聯(lián)立直線??的方程與直線??的方程聯(lián)立→[→關(guān)于k，k的一元二次方1212程m和k的關(guān)系→直線MN→直線MN所過定點(diǎn)?+?=1――→12(3)①若產(chǎn)品單價為100元，記企業(yè)利潤為X(千元)．【考點(diǎn)】求橢圓方程、直線和橢圓的位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題9當(dāng)簽訂訂單為9千件時，每件產(chǎn)品的成本為＋21元，企業(yè)的利潤為9×(?21＝100?9【答案】611(千元)；3?3(1)【解】因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為F(3，0)，離心率e＝，所以c＝3，＝，解得a＝2，又2?2當(dāng)簽訂訂單為10千件時，每件產(chǎn)品的成本為31元，企業(yè)的利潤為10×(100－31)＝690(千2?a2＝b2＋c2，所以b＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.元)．4(2)【證明】設(shè)A(x，y)，B(x，y)，由題意知直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)直線MN的方該企業(yè)利潤X(千元)的分布列為1122程為y＝kx＋m，直線AB，PQ的斜率分別為k，k，且k≠k，k≠k，k＋k＝1，直線AB的方XP6116900.80.2121212程為y－3＝k(x－1)．1??3=?(??1),所以E(X)＝611×0.8＋690×0.2＝626.8(千元)．②若產(chǎn)品單價為90元，記企業(yè)利潤為Y(千元)．1聯(lián)立{得(1＋4k2)x2＋(24k－8k2)x＋4k2－24k＋32＝0，Δ>0，2211111+?=1,422??+?2＝?11當(dāng)簽訂訂單為10千件時，每件產(chǎn)品的成本為31元，企業(yè)的利潤為10×(90－31)＝590(千元)；故x＋x＝11，x＝1.212M2121+?1+?1第13頁共18頁◎第14頁共18頁??3=?(??1),?=??+?,1+又因?yàn)間′(0)＝0，所以當(dāng)0<x<x時，g′(x)<g′(0)＝0，聯(lián)立{1得x＝M，0?1g(x)在(0，x)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，x)時，g(x)<g(0)＝0，不滿足g(x)＝ex－mx2－2x＋sin200??+11＝，整理得(4m＋4k)k2＋(1－12k)k＋m－3＝0，11?所以21x－1≥01+?1恒成立，不符合題意，故舍去．同理有(4m＋4k)k2＋(1－12k)k＋m－3＝0，122m的取值范圍為?∞,.綜上所述，實(shí)數(shù)2所以k，k是方程(4m＋4k)x2＋(1－12k)x＋m－3＝0的兩根，121則k＋k＝－，即1＝－，所以m＝2k－，12(二)選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題++411所以直線MN的方程為y＝kx＋2k－＝k(x＋2)－，計(jì)分．44122．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程故直線MN過定點(diǎn)?2,?.42?=4?,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x?=4?21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－mx2(m∈R)．軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ－ρsinθ－2＝0.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；(1)若直線y＝0是曲線y＝f(x)的一條切線，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥2x－sinx＋1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)若直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求△OMN的面積．(1)根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0)，由f(x)＝ex－mx2可得f′(x)＝ex－2mx，切線的斜率k＝02?=4?,(1)由{(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，可得曲線C的普通方程為y2＝4x.將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ?=4?f′(x)＝ex－2mx＝0.又因?yàn)榍悬c(diǎn)(x，0)在曲線y＝f(x)上，所以f(x)＝ex－mx2＝0，由0000000代入2ρcosθ－ρsinθ－2＝0，???2??=0,2200??{可得x＝2，m＝，所以實(shí)數(shù)m的值為.0442?????=0,00得2x－y－2＝0，即直線l的直角坐標(biāo)方程為2x－y－2＝0.(2)當(dāng)x≥0時，有f(x)≥2x－sinx＋1，則ex－mx2－2x＋sinx－1≥0對x≥0恒成立．令g(x)＝ex－5?=1+?,(2)由(1)知直線l的參數(shù)方程為{5(m為參數(shù))，mx2－2x＋sinx－1(x≥0)，只需g(x)≥0.25min?=?5對g(x)求導(dǎo)得g′(x)＝ex－2mx－2＋cosx，令h(x)＝g′(x)(x≥0)，則h′(x)＝ex－2m－sinx.令t(x)＝h′(x)，x≥0，則t′(x)＝ex－cosx≥0，2255代入拋物線