2023年甘肅省第一次高考診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

2023年甘肅省第一次高考診斷考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題K上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他.答案標(biāo)號(hào)框.回答午選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共6（）分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合4=IxllogzxWlI,8={Z€1^b<4},則403的子集個(gè)數(shù)為

A.2B.3C.4D.8

施2.復(fù)數(shù)4也在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，若4=1-2i,i為虛數(shù)單位，則Z|"2=

A.5B.-5

舸

C.-5iD.1+2i

g3,已知/（%）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)工>0時(shí)，/（%）=2?，則/（-4）=

A.16B.-16C.~D.-上

1616

郢4.3名男生和2名女生站一排照相，則2名女生互不相鄰且都不站兩端的站法有

菸A.6種B.12種C.24種D.36種

5.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦距長(zhǎng)為4,一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的5倍,

黏

則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為

A.2萬(wàn)B.4C.2D.2%

6.已知M,N,P是正方體45C0-4BC，的棱46，M，Cg的中點(diǎn)，則平面M/VP截正方體

ABCD-A.B.C.D,所得的截面是

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中提出了垛積問(wèn)題，涉及逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差

數(shù)列的高階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為4,7,11,16,22,29,則該數(shù)列的

第18項(xiàng)為

A.172B,183C.191D.21I

8.長(zhǎng)方體/18C0-48IG2中，棱40=1,且其外接球的體積為36%則此長(zhǎng)方體體積的最大值為

A.gB.竽C.8D.4

62

51T

/（X）-/（百）

9.已知函數(shù)/（%）=2sin（如+3）（3>0,㈤<手）的部分圖象如圖所示，則滿足------彳的

Z/（工）-/（五）

第一次診斷理科數(shù)學(xué)試卷?第I頁(yè)（共4頁(yè)）

正整數(shù)。的最小值為

B.2

C.3

[).4

10.若對(duì)"小仁亂三小吐⑹使得&以出=/(2

a-b

成立，則稱函數(shù)/(X)滿足性質(zhì)Q,卜列函數(shù)不滿足性質(zhì)。的是

???

A./(x)=x2+3xB./(x)=

(x+1)2

C./(x)=e*1D./(x)=cos(1-2x)

11.如圖所示.當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)燈泡P(當(dāng)成質(zhì)點(diǎn))發(fā)出的光線照射后,在桌面t

留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn).若籃球的半徑為1個(gè)單位氏度,

燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面上的點(diǎn)為人橢圓的右頂點(diǎn)到4占的

距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度,則此時(shí)橢畫(huà)的離心率e等于

A2_p

12.設(shè)函數(shù)/(x)=x2-1,力(x)=屋?品，a,=i=0,1,2,???,2023.記

7*=l￡(4)—fk(%)I+1-(圖2)~fk(al)?+…+\fk(aDXa)-f"(02022)：,1=1,2,則T],72的大

小關(guān)系是

A.r,>T2B.r,<T2

C.7\=T2D.T,,T2的大小無(wú)法確定

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

產(chǎn)+y-4WO,

13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件上力-y-6WO,則z=x+y的最大值是______.

L-120,

14.已知向量a=(fn，2)力=(2,3zn),若。與，共線且方向相反，則N+M=一

15.某醫(yī)藥廠對(duì)一臺(tái)口罩機(jī)生產(chǎn)的口罩標(biāo)準(zhǔn)尺寸進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)口罩的尺寸誤差X近似服從正態(tài)

分布"(0,0.5?)(誤差單位:mm),已知尺寸誤差的絕對(duì)值在0.5mm內(nèi)的口罩都是合格口罩?

若該口罩機(jī)在某一天共生產(chǎn)了15000個(gè)口罩，則其中合格的口罩總數(shù)約為_(kāi)

附:隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布"(〃,/),則<〃+。)=66826，)

P"-2a<J<〃+2(r)=0.9544.AV"

16.在如圖所示的平面四邊形4BC0中，=3,48=8C=C"="，記\/

△45D,ABCD的面積分別為S1,S?,則S：+S：的最大值上——(；

為-

第一次診斷理科數(shù)學(xué)試卷?第2頁(yè)(共4頁(yè))

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第［7~21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（~~）必考題：共6（）分.

17.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛&｝的前幾項(xiàng)和為S“，且4=2,Ss=5,數(shù)列｛%｝滿足々+與+…+/=？….2,

nGN\

（1）求數(shù)列｛4｝和｛6.｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)°。=寂，及二'數(shù)列｛%）的前〃項(xiàng)和為7rl，求滿足兀N霆:的最小正整數(shù)公

18.（本小題滿分12分）

"稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“為你為未來(lái)付出踏踏

實(shí)實(shí)努力的時(shí)候,那些你覺(jué)得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)談

到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書(shū)破萬(wàn)卷給予我們的力量.為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)

間，從該校隨機(jī)抽取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這800名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單

位:小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求a的值；

（2）為進(jìn)一步了解這800名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在（12.14J.

（14,16］,（16,18］三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽

取3人，記周平均閱讀時(shí)間在（14,16］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）以樣本的頻率估計(jì)概率,從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用P"）表示這20名學(xué)

生中恰有4名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在（8,12］內(nèi)的概率，其中人=0,1,2,…,20.當(dāng)P（A）最大

時(shí)，寫(xiě)出k的值.

19.（本小題滿分12分）

如圖甲所示的正方形中，仇=12,舫=4向=3,

BC=B］Cl=4,對(duì)角線/L4；分另“交85（加于點(diǎn)P，0,將正

方形/U4出沿膽，g折疊使得/%與“科重合，構(gòu)成

如圖乙所示的三棱柱ABC-44G.

⑴若點(diǎn)M在棱4C上，且4M=與,證明：8M〃平面4PQ；

（2）求平面AP。與平面&P。所成角的余弦值?

第一次診斷理科數(shù)學(xué)試卷"第3頁(yè)（共4頁(yè)）

20.(本小題滿分12分)

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(行,0),且與直線工=-不相切.

(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)7(1,0)且斜率為k,,k2的兩條直線分別交曲線C于點(diǎn)點(diǎn)、P,Q分別是線

段M,M/V的中點(diǎn)，若+42=2,求點(diǎn)/到京線PQ的距離的加大值.

21.(本小題滿分12分)

已知/(x)=alrix(a>0).

(1)求證：當(dāng)。=1時(shí)，/(x)於x-1;

(2)若對(duì)于Vxe(0,+8),/(工)Wx恒成立.

①求a的最大值；

②當(dāng)a取最大值時(shí),若函數(shù)H(x)=號(hào)4，-勿氏)，求證:對(duì)于V%］,x2e(0,+oo)(陽(yáng)關(guān)/)，恒

H(x.)-HM4

有-"一3>-e(e為自然對(duì)數(shù)的底).

X\一,2

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題

目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑.按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一

題評(píng)