2023年北京市高考理科數(shù)學試題及答案2

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(理)

第I卷選擇題供40分)

本大題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的4個選項中，選出符合題目

要求的一項。

1,集合P={XWZ|04X<3},M={X€/?|X249},那么PM=

(A){1,2}(B){0,1,2}(C]{x|0<x<3}(D]{x|0<x<3)

2,在等比數(shù)列{%}中,q=l,公比假設1a2%。4as，那么，〃=

(A)9(B)10(C)11(D)12

3,一個長方體去掉一個小長方體，所得集

合體的正(主)視圖與側(左)視圖分別如

右圖所示，那么該幾何體的俯視圖為

4,8名學

⑻

(D)

5,極坐標方程3-1)(6-幻=0(夕20)表示的圖形是

(A)兩個圓(B)兩條直線

(C)一個圓和一條射線(D)一條直線和一條射線

6,。力為非零向量，是''函數(shù)/(x)=(m+勿?(x6-a)為一次函數(shù)”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

'x+y-ll>0

7,設不等式組3x-y+320表示的平面區(qū)域為D,假設指數(shù)函數(shù)y="的圖象上存

5x-3y+9<0

在區(qū)域D上的點，那么a的取值范圍是

(A)(1,3](B)[2,3](O(1,21(D)[3,+oo)

8,如圖，正方體43CO-A8cA的棱長

為2,動點E,F在棱A區(qū)上，動點P,Q

分別在棱A￡),CD上，假設EFULAEUMOQUNQPMZ(x,y,z大于零)，那么四面

體PEFQ的體積

(A)與％,y,z都有關

(B)與x有關，與y,z無關

(C)與y有關，與羽z無關

(D)與z有關，與無關

第II卷(共110分)

二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分。

10,在AABC中，假設b=l,c=G,NC=&^,那么

3

頻率/組距

11,從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單

0.035\................?--------1

位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，由圖'?.....

中數(shù)據(jù)可知a=.假設要從身高在

[120,130),[130,140),[140,150)三組內的學生中，用分層抽。。2。.....................

樣的方法選取18人參加一項活動，那么從身高在

[140,150]內的學生中選取的人數(shù)應為_______.

005

12,如圖，。的弦即,C8的延長線交于點A,假設0(___L

BD±AE,AB=4,BC=2,AD=3,那么夕《----'/'取身高

DE=;CE=(\-O

13,雙曲線的離心率為2,焦點與橢圓

22

三+匯=1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為;

259

漸近線方程為.

14,如圖放置的邊長為1的正方形A48c沿x軸滾動，

設頂點P(x,y)的軌跡方程是y=/(x),那么函數(shù)/(x)的

最小正周期為；y=f(x)在其兩個相鄰零點間的圖

象與x軸所圍區(qū)域的面積為.

說明：“正方形以8c沿x軸滾動”包括沿x軸正方向、/________.

OIA

和沿X軸負方向滾動.沿X軸正方向滾動指的是先以頂

點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在X軸上時，再以

頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續(xù).類似地，正方形沿x軸負方向滾動.

三、解答題。本大題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15,(本小題共13分)

函數(shù)/(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,

⑴求y(g的值;

(II)求/(X)的最大值和最小值.

16,(本小題共14分)

如圖，正方形ABCD和四邊形ACE尸所在的平面互相垂直，CE1AC,EF//AC,

AB=6,CE=EF=l.

(1)求證：A/〃平面瓦)￡；

⑵求證：C「_L平面比)E；

(3)求二面角A—5E—。的大小.

17,(本小題共13分)

某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取

得的優(yōu)秀成績的概率為±，第二、第三門課程取得優(yōu)

5

秀成績的概率分別為〃，式p>幻，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立，記J為該生

取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

0123

P6ab24

725?25

⑴求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率;

⑵求p,q的值；

⑶求數(shù)學期望

18,(本小題共13分)

2

函A=(al,a2,...,an),B=(bl,h2,...,h?)&Sn^(/(x)=ln(l+x)-x+|x(A:>0).

(1)當k=2,求曲線y=f(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)求/(x)的單調區(qū)間.

19,〔本小題共14分)

在平面直角坐標系xOy中，點B與點關于原點0對稱，P是動點，且直線釬與8P

的斜率之積等于-L

3

⑴求動點P的軌跡方程；

(2)設直線AP和分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得與APMV

的面積相等？假設存在，求出點P的坐標：假設不存在，說明理由.

20,(本小題共13分)

集合S"={X|X=(x?x2,...,xn),xie{0,1},z=1,2，…,n\(n>2).對于，定義A與B的差為:

A-B=(|q-可，|出~b2\，…,-2|)；

A與8之間的距離為d(A,B)=為q-用.

1=1

⑴證明：VA,B,CeS“，有A-8eS“，且d(4-C,8-C)="(A,B)；

(2)證明：VAB,CeS?,"(A,8)/(A,C),"(8,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù);

設PqS〃，P中有皿m之2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為2(P).證明:

Z(P”nm

2(/?t-1)

參考答案

一，選擇題

BC.C.A.C.B.A.D.

二、填2s空題

9,(-1,1).

10,lo

11,7T+\0.030,3

12,5,

13,(±4,。)，y=±Gx

14,4,

三、解答題

15(I)/(—)=2cos—+sin2--4cos—=-l+—-2=--.

333344

/(x)=2(2cos2x-l)+(l-cos2x)-4cosx

=3cos2x-4cosx-l

⑵297

=3(cosx--)2--R

27

因為COSX￡[-1川,所以當cosx=-l時，/(x)取最大值6;當COSX=§時，取最小值一§o

16

證明：⑴設AC與BD交于點G,因為EFIIAG,且EF=1,

AG=-AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形。所以AFIIEG。

2

因為EGuP平面BDE,AF.平面BDE,所以AFII平面BDE。

(II)因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,

且CE_LAC,所以CE_LAC,所以CEJ■平面ABCD。如圖，以

C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz。那么C(0,0,0),

A(&,VI,0),D〔6,0,0),E[0,0,1),

F(―,立，1)。所以CF=(也，—,1),BE=

2222

(0,一也,1),DE=1―6,0,1)。所以=

0-1+1=0,C尸?￡>￡1=-1+0+1=0。所以CF_LBE,CF±DE,所以CF_L平面BDE

(Ill)由(II)知，。戶=(巫，立，1),是平面BDE的一個法向量，設平面ABE的

22

法向量〃=(x,y,z),那么〃出,力，n-BE=O^

刖(x,y,z)?(0,0,0)=0

即〈L

(x,y,z).(0,-V2,l)=0

所以x=0,且z=J^y。令y=l,那么z=正。所以n=(0,1,右),從而cos(n,CF)

nCF也

=HM=T

TT

因為二面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D為一。

6

17解：事件A,表示“該生第i門課程取得優(yōu)異成績"，i=l,2,3。由題意可知

(I)由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件"J=0”是對立的，所以該生至

少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是

(II)由題意可知，

32

整理得pq=—=—。

(III)由題意知，

18解：(I)當左=2時，/(x)=ln(l+x)-x+x2,f\x)=-----l+2x.

1+x

由于/⑴=ln(2),/⑴=|,所以曲線丁=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為

y=ln2=g(x—1)。即3x-2y+21n2-3=0

(11)/'(1)=J.+)_D,XG(_1,+8).當6=0時,f\x)=---.

1+x1+x

因此在區(qū)間(-1,0)上，/,(x)>o；在區(qū)間(0,田)上，/,(x)<0；

所以/(X)的單調遞增區(qū)間為(-1,0),單調遞減區(qū)間為(0,”)；

當0<%<1時，f'(x)=M"+D=0,Wx,=0,^=—>0;

1+xk

\-bI-k

因此，在區(qū)間(-1,0)和(——,+8)上，/'(x)>0；在區(qū)間(0,——)上，/'(x)<0；

kk

即函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間為(-1,0)W(―,+=0),單調遞減區(qū)間為(0,上X)；

kk

2

當％=1時，/'(X)=出,fM的遞增區(qū)間為(T+00)

、x(kx+k-l)l-k

當4>1時，由/(力=-7-----=°=0,^=——€(-1,0)；

1+X，得K

因此，在區(qū)間（-1,上勺和（0,+＜?）上，/1（x）＞0,在區(qū)間（上±0）上，/,（x）＜0；

kk

即函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（一1，1）和（0,也），單調遞減區(qū)間為（一，°）。

19,解：（1）因點B與（-1,1）關于原點對稱，得B點坐標為（1,-1）。

設P點坐標為（《A,那么"a="，軟戶=告，由題意得廿.告=一：，

化簡得：/+39=4,*片±1）。即p點軌跡為：d+3y2=4,（xx±l）

(2)因NAPB=NMPN,可得sinNAP3=sinNA7PN,

又S?B=；|%||P8|sinNAPB,SAM/w=g|PM||/WkinNMPN,

假設SWB=S,MN,那么有|PA||P8|=|PM|PN],即高=需.

設P點坐標為（x。，%）,那么有：號號=￥號解得：％=（,又因片+34=4,解得

%=±丁。

故存在點P使得A/V由與APMN的面積相等，此時P點坐標為

20,解：(1)設A=(q,%,％8=(々也,…也),C=(q,C2q,)eS?

因4，"e{0,l},故B-4|W{0,1},=

即A-B=(|q—耳,㈤一仇|,.“M

又“也,qw{0,1},i=1,2,...,九

當q=。時，有M-q|T4-C』=舊一可.

當q=1