13.4將軍飲馬-最短路徑問題教學(xué)設(shè)計(jì)

WORD格式.分享精品.資料13.4將軍飲馬——最短路徑問題教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析為了解決生產(chǎn)，經(jīng)營(yíng)中省時(shí)省力省錢而希望尋求最佳的解決方案而產(chǎn)生了最短路徑問題.初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”，“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”，為理論基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)平移、軸對(duì)稱等變換的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱、平移將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題.從中，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，分析問題和解決、驗(yàn)證問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間，數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間及其他學(xué)科的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，它既是軸對(duì)稱、平移知識(shí)運(yùn)用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學(xué)生自行探究，學(xué)會(huì)思考，在知識(shí)與能力轉(zhuǎn)化上起到橋梁作用。基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：[教學(xué)重點(diǎn)]利用軸對(duì)稱、平移等變換將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題.二、教學(xué)目標(biāo)解析新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，還要包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面得到發(fā)展.因此，確定教學(xué)目標(biāo)如下：[教學(xué)目標(biāo)]能利用軸對(duì)稱、平移解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣和合作交流的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體驗(yàn)自己探究出問題的成就感.[目標(biāo)解析]達(dá)線目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”、“河”、“草地”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把最短路徑問題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，能利用軸對(duì)稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題，能通過邏輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱、平移的作用，體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三、學(xué)生學(xué)情診斷八年級(jí)的學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)少，理解能力差，抽象思維水平較低，處于直覺經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯思維的過渡階段，辯證思維還只是處在萌芽和初始的狀態(tài)上.最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問題，更會(huì)感到陌生，無從下手.解答：“當(dāng)點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)時(shí)，如何在上找點(diǎn)C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線異側(cè)的兩點(diǎn)，與上的點(diǎn)的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解和操作方面的困難.在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)，證明所連線段和大于或等于所求作的線段和.這種思路和方法，一些學(xué)生還想不到.在解答“使處在直線兩側(cè)的兩線段和最小”的問題，需要把它們平移拼接在一起，一些學(xué)生想不到.教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線的異側(cè)的兩點(diǎn)，與上的點(diǎn)的線段和最小”，給予學(xué)生啟發(fā)，在證明“最短”時(shí)，點(diǎn)撥學(xué)生要另選一個(gè)量，通過與求證的那個(gè)量進(jìn)行比較來證明，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)“任意”的作用，因此確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：[教學(xué)難點(diǎn)]如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.四、教學(xué)策略分析建構(gòu)主義理論的核心是“知識(shí)不是被動(dòng)接受的而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的.”根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和實(shí)際水平，教學(xué)上采用“引導(dǎo)——探究——發(fā)現(xiàn)——證明——?dú)w納總結(jié)”的教學(xué)模式，鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生、開動(dòng)腦筋、大膽嘗試，在探究活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與想象能力.教師的教法：突出解題方法的引導(dǎo)與啟發(fā)，注重思維習(xí)慣的培養(yǎng)，為學(xué)生搭建參與和交流的平臺(tái).通過對(duì)“將軍飲馬問題”而改編與設(shè)計(jì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂趣味性,相同背景，不同問題，由淺入深、層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生分析與解決問題，同時(shí)利用現(xiàn)代的信息技術(shù)，直觀地展示圖形的變化過程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與激情.學(xué)生的學(xué)法：突出探究與發(fā)現(xiàn)，思考與歸納提升，在動(dòng)手探究、自主思考、互動(dòng)交流中，獲取知識(shí)與能力.五、教學(xué)基本流程探索新知——運(yùn)用新知——拓展新知——提煉新知——課外思考六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）探索新知1、建立模型問題1唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題．如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到軍營(yíng)B地，到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？追問1，這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么呢？師生活動(dòng)：將A、B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河抽象為一條直線追問2，你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)的問題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生交流討論，回答并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）行走的路線：從A地出發(fā)，到河邊飲馬，然后到B地；（2）路線全程最短轉(zhuǎn)化為兩條線段和最短；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線上的點(diǎn).設(shè)C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。墼O(shè)計(jì)意圖］從數(shù)學(xué)史上久負(fù)盛名的“將軍飲馬問題”引入，增加學(xué)生們的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，提高其人文思想.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析題意，畫出圖形.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題更有利于分析問題、解決問題.解決問題問題2如圖點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)，點(diǎn)C位直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考、畫圖分析，并展示如果學(xué)生有困難，教師作如下提示：（1）如圖，如果軍營(yíng)B地在河對(duì)岸，點(diǎn)C在的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？由此受到什么啟發(fā)呢？（2）如圖，如何將點(diǎn)B“移”到的另一側(cè)B′處，且滿足直線上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？學(xué)生在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，完成作圖.［設(shè)計(jì)意圖］先通過學(xué)生對(duì)本題的思考嘗試，并展示，師生共同糾錯(cuò)，提高認(rèn)識(shí)與辯證思想，再通過老師的引導(dǎo)啟發(fā)明白解決這個(gè)問題應(yīng)該運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將兩點(diǎn)在直線同側(cè)的問題，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異測(cè)的問題，提高學(xué)生的空間想象能力與邏輯思維能力，讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中，提高甄別是非的能力，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.證明“最短”問題3，為什么這種作法是正確的呢？你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+CB最短嗎？師生活動(dòng)：分組討論，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥，結(jié)合多媒體的演示，師生共同完成證明過程.證明：如圖，在直線上任取一點(diǎn)Cˊ.連接AC′、BC′、B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC=B′CBC′.=B′C′∴AC+BC=AC+B′C=AB′AC′+BC′=AC′+B′C′當(dāng)C′與C不重合時(shí)AB′＜AC′+C′B′∴AC+BC＜AC′+C′B當(dāng)C′與C重合時(shí)AC+BC=AC′+C′B總之，AC+BC≤AC′+C′B即AC+BC最短［設(shè)計(jì)意圖］利用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過移動(dòng)點(diǎn)C′的位置，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)C′與C不重合時(shí)，AC+BC＜AC′+C′B，當(dāng)C′與C重合時(shí)，AC+BC=AC′+C′B.讓學(xué)生很容易知道AC+BC最短，消除了學(xué)生的疑慮，發(fā)揮了多媒體的作用，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高了邏輯思維能力.小結(jié)新知回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程，借助什么解決問題的？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充.［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生在反思的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，明確解題的方法與策略，為后面進(jìn)一步的學(xué)習(xí)探究做準(zhǔn)備.（二）運(yùn)用新知如圖，如果將軍從指揮部A地出發(fā)，先到河邊a某一處飲馬，再到草地邊b某一處牧馬，然后來到軍營(yíng)B地，請(qǐng)畫出最短路徑.師生活動(dòng)：分組討論，教師點(diǎn)撥，點(diǎn)學(xué)生上臺(tái)操作演示，畫出最短路徑.［設(shè)計(jì)意圖］對(duì)前面所學(xué)的解題方法與思路得以鞏固，讓學(xué)生形成技能，進(jìn)一步體會(huì)感悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，點(diǎn)學(xué)生上臺(tái)操作演示，提高他們的學(xué)生興趣與實(shí)踐能力，體會(huì)成功的喜悅，激發(fā)他們進(jìn)一步探究問題的欲望.（三）拓展新知有一天，將軍突發(fā)奇想：如果從指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到軍營(yíng)B地，到河邊什么地方飲馬可使所走的路線全程最短？師生活動(dòng)：1、老師首先解釋行走一定的路程的含義，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再提出如下問題：（1）要使所走的路線全程最短，實(shí)際上是使幾條線段之和最短？（2）怎樣將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題.2、分組討論，師生共同分析.3、完成作圖，體會(huì)作圖的步驟與分析問題的思路的聯(lián)系與區(qū)別.［設(shè)計(jì)意圖］本題在“將軍飲馬問題”的背景下進(jìn)行改編，有造橋選址問題的影子，既增強(qiáng)了課堂教學(xué)的趣味性，又完成了教學(xué)任務(wù)，可謂一舉兩得..教學(xué)由問題引領(lǐng)，老師引導(dǎo)，學(xué)生小組合作討論交流的方式，充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的作用完成分析與解答的過程，讓學(xué)生學(xué)得輕松與愉悅，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、綜合與分析能力，在解決問題的過程中，體會(huì)作圖題的解題方法與策略.讓學(xué)生的能力得到進(jìn)一步鍛煉與提高.（四）提煉新知師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1、本節(jié)課研究問題的過程是什么？2、解決上述問題運(yùn)用了什么知識(shí)？3、在解決問題的過程運(yùn)用了什么方法？4、運(yùn)用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生把握研究問題的策略、思路、方法的同時(shí)，并從運(yùn)用的知識(shí)、方法、思想方面進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課有一個(gè)更清晰、更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)軸對(duì)稱、平移在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值.（五）課外思考將軍又提出一個(gè)問題：如圖，如果將軍從指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到草地邊b某一處牧馬，最后來到軍營(yíng)B