數理統計基本概念演示文稿

數理統計基本概念演示文稿當前第1頁\共有59頁\編于星期五\0點數理統計基本概念當前第2頁\共有59頁\編于星期五\0點

一、引言

數理統計以概率論為理論基礎,研究

2)

研究如何合理地分析隨機數據從而作出科學的推斷

(稱為統計推斷).§6.1

總體、樣本與統計量

1）研究如何以有效的方式收集和整理隨機數據;數理統計的引入當前第3頁\共有59頁\編于星期五\0點

兩類工作有密切聯系.將主要介紹統計推斷方面的內容.總體：研究對象的全體所組成的集合.個體：組成總體的每個單位元素.

例1

要考察本校男生的身體情況，則將本校的所有男生視為一個總體，而每一位男生就是一個個體.二、總體當前第4頁\共有59頁\編于星期五\0點

如，關心電子元件的壽命，則壽命

X

為其一個數量指標，且X

是服從指數分布的隨機變量.

例2考察某廠生產的電子元器件的質量，將全部產品視為總體，每一個元器件即為一個個體.

通常需要對總體的一項或幾項數量指標進行研究.

如僅考慮男生的身高和體重(X,Y),不考慮男生的視力、胸圍等. 當前第5頁\共有59頁\編于星期五\0點以后將(實際)總體和數量指標X等同起來.總體是隨機變量

由于上述數量指標往往是隨機變量，具有一定的分布.總體分布是指數量指標

X的分布.三、樣本

一般，從總體中抽取一部分(取

n個)進行觀測，再依據這

n個個體的試驗(或觀察)的結果去推斷總體的性質.當前第6頁\共有59頁\編于星期五\0點

樣本:按照一定的規(guī)則從總體中抽取的一部分個體.抽樣：抽取樣本的過程.樣本容量：樣本中個體的數目

n.

將第

i

個個體的對應指標記為

Xi，i=1,2,…,n,構成的隨機向量(X1

,X2

,···,Xn

)稱為樣本.

樣本是一組隨機變量，其具體試驗(觀察)數值記為：x1,x2,···,xn

，稱為樣本觀測值，簡稱樣本值.當前第7頁\共有59頁\編于星期五\0點為使樣本具有代表性，抽樣應滿足什么條件

從民意測驗看抽樣?（1）Xi與總體同分布；（2）X1,X2,···,Xn

相互獨立.

定義

設X1

,X2

,···,Xn是來自總體X的樣本，如果相互獨立且每個分量與總體同分布，稱其為簡單隨機樣本，簡稱樣本.當前第8頁\共有59頁\編于星期五\0點

若總體X的分布函數為F(x),則樣本X1

,X2

,···,Xn的聯合分布函數為當前第9頁\共有59頁\編于星期五\0點當前第10頁\共有59頁\編于星期五\0點#

故(X1

,X2

,…,X5

)的聯合分布律為P{X1=x1

,X2

=x2,…,X5

=x5}解：因當前第11頁\共有59頁\編于星期五\0點～當前第12頁\共有59頁\編于星期五\0點當前第13頁\共有59頁\編于星期五\0點判斷統計量是隨機變量且不含未知參數，稱T為統計量.

對相應的樣本值(x1

,x2

,…,xn)，稱

t=T(x1,x2

,…,xn)

為統計量的統計值.四、統計量

定義

設X1

,X2

,···,Xn是總體X的樣本，T為n元實值函數，若樣本的函數T=T(X1

,X2

,···,Xn)當前第14頁\共有59頁\編于星期五\0點

例1

設總體X

~

B(1,p)，其中

p

是未知參數，(X1

,X2

,…,X5

)是來自X

的簡單隨機樣本， 1)指出以下變量哪些是統計量，為什么？2)確定(X1

,X2

,…,X5

)的聯合概率分布？解只有不是統計量,因p是未知參數.當前第15頁\共有59頁\編于星期五\0點總體是隨機變量

統計量是隨機變量(或向量）樣本是隨機向量當前第16頁\共有59頁\編于星期五\0點

樣本均值： 樣本方差：常見統計量：

樣本

k

階原點矩： 樣本k階中心矩：

統稱樣本矩當前第17頁\共有59頁\編于星期五\0點幾個重要關系式：X,S2,Ak,Bkx,s2,ak,bk統計量統計值當前第18頁\共有59頁\編于星期五\0點

思考

樣本矩與總體矩(即第四章中定義的矩)的概念有什么區(qū)別？

樣本矩是隨機變量!

總體矩是數值!當前第19頁\共有59頁\編于星期五\0點總體、個體簡單隨機樣本統計量求樣本的聯合分布律或密度函數樣本均值樣本方差樣本矩當前第20頁\共有59頁\編于星期五\0點數理統計的引入

某廠生產的一批產品中次品率為

p

。從中抽取10件產品裝箱。1）沒有次品的概率2）平均有幾件次品概率3）為以0.95的概率保證箱中有10件正品，箱中至少要裝多少件產品。當前第21頁\共有59頁\編于星期五\0點所有這些問題的關鍵是

p

是已知的！如何獲取p?這就是數理統計的任務了！一個很自然的想法就是：首先從這批產品中隨機抽取產品進行檢驗。怎樣隨機抽取這屬于抽樣理論與方法問題。本書不討論。其次利用概率論的知識處理實測數據。

如何分析、處理實測數據。這屬于統計推斷的問題。也是我們研究的內容。統計推斷常解決的問題：1）如何估計次品率p?2）如果以p<0.01為出廠的標準，這批產品能否出廠？數理統計的引入參數估計問題假設檢驗問題#當前第22頁\共有59頁\編于星期五\0點§6.2

常用統計分布上側分位數u

(0<<1）滿足標準正態(tài)分布一、四種常用統計分布當前第23頁\共有59頁\編于星期五\0點對于正態(tài)分布有：上側分位點u陰影部分面積為當前第24頁\共有59頁\編于星期五\0點查表

如

＝0.025時，u＝？當前第25頁\共有59頁\編于星期五\0點

例

設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的α(0<α<1)，數uα滿足，則x等于uα是上側α分位點.解當前第26頁\共有59頁\編于星期五\0點陰影部分面積為(1-)/2面積為α#雙側分位點α當前第27頁\共有59頁\編于星期五\0點2.2(chi方)分布當前第28頁\共有59頁\編于星期五\0點由度為n

的2分布，記為稱隨機變量X服從自當前第29頁\共有59頁\編于星期五\0點統計量的分布(之一)

定理1

設

X1，X2，…，Xn相互獨立且都服從標準正態(tài)分布，則即隨機變量

2服從自由度為

n

的卡方分布.標準正態(tài)隨機變量的獨立平方和結構定理當前第30頁\共有59頁\編于星期五\0點2分布的三條性質：性質1.(數字特征)

設2~2(n)，則有

E(2)=n

， D(2)=2n證明且

X1，X2，…,Xn相互獨立，Xi～N(0,1)，當前第31頁\共有59頁\編于星期五\0點性質2(可加性)設Y1，Y2相互獨立,且Y1～2(n1),Y1～2(n2)，則

Y1+Y2

～2(n1+n2).證明

記當前第32頁\共有59頁\編于星期五\0點從而

Y1+Y2～2

(n1+n2).且Xi

,i=1,2,…,n1+n2相互獨立，Xi～N(0,1),

性質3.(大樣本分位數)當n足夠大(如n

>45)時，有 當前第33頁\共有59頁\編于星期五\0點2(n)的上側分位數(0<<1)：陰影部分面積為當前第34頁\共有59頁\編于星期五\0點例

查表計算概率當前第35頁\共有59頁\編于星期五\0點注意應注意分布表的定義與查法！#當前第36頁\共有59頁\編于星期五\0點3.自由度為

n的

t

分布

T～t(n)

又稱學生氏分布--第一個研究者以Student作筆名發(fā)表文章.當前第37頁\共有59頁\編于星期五\0點即隨機變量

T

服從自由度為

n

的

t

分布.

定理2

設隨機變量X,Y相互獨立,

X~N(0,1)，Y～2(n)，則結構定理當前第38頁\共有59頁\編于星期五\0點陰影部分面積為t(n)的上側分位數

t(n)

(0<<1)：當前第39頁\共有59頁\編于星期五\0點T

分布的特點：1.關于縱軸對稱：例

查表計算：當前第40頁\共有59頁\編于星期五\0點tα-tα=t1-α因

α=P{T＞tα}=P{T≤-tα}=1-

P{T＞-tα}故

P{T＞－tα}=1－α.即

tα=-

t1-α當前第41頁\共有59頁\編于星期五\0點例

查表計算：2.n

較大時，當前第42頁\共有59頁\編于星期五\0點

4.F

分布

F

～F

(

n1,n2)

稱X

服從第一自由度為n1,第二自由度為n2的F分布.當前第43頁\共有59頁\編于星期五\0點

定理3

設隨機變量X，Y相互獨立，X~2(n1)，Y～2(n2)，則即隨機變量

F

服從第一自由度為n1，第二自由度為n2

的F分布.結構定理當前第44頁\共有59頁\編于星期五\0點F

(

n1

,n2)的上側分位數F

(

n1

,n2

)

(0<<1)：陰影部分面積為當前第45頁\共有59頁\編于星期五\0點推論1推論2當前第46頁\共有59頁\編于星期五\0點證當前第47頁\共有59頁\編于星期五\0點二、抽樣分布定理定理1當前第48頁\共有59頁\編于星期五\0點應用例當前第49頁\共有59頁\編于星期五\0點定理2設正態(tài)總體

X

與

Y

相互獨立，

X

～,樣本為(X1,X2，…X

n1),樣本均值和樣本方差為；

Y

～，樣本為(

Y1,Y2，…Yn2)，樣本均值和樣本方差為

.有當前第50頁\共有59頁\編于星期五\0點[分析]證明:(2)

服從正態(tài)分布，Sw2可化為2分布,二者組合而成的統計量應服從

t分布.當前第51頁\共有59頁\編于星期五\0點當前第52頁\共有59頁\編于星期五\0點

因